В результате математических операций не всегда получаются целые числа, да и цифры в условиях задач не всегда целочислены. В алгебре параллельно существует две основных системы дробей: десятичные и обыкновенные дроби, и зачастую приходится уметь выполнять перевод дробей из одного вида записи в другой.
Что такое десятичная дробь
Наиболее распространённой в математике и в быту является десятичная дробь. Первые упоминания о подобных дробях относятся к трудам китайских математиков III века, но широкое употребление десятичные дроби получили в XVI столетии. Современная запись десятичной дроби состоит из двух частей:
- целой;
- дробной.
Дробная часть показывает, сколько десятых, сотых, тысячных и т.д. долей от единицы содержит число. Для тех, кто знаком с обыкновенными дробями, можно сказать, что десятичная дробь – это дробь с основанием, кратным десяти – 10, 100, 1000 и т.д.
В качестве разделителя целой и дробной части используется запятая, реже применяется точка. Целую часть записывают слева от десятичного разделителя, дробную – справа. Например, запись 2,84 означает, что число содержит 2 целых единицы и 84 сотых доли. Читается такая запись, как «две целых (и) восемьдесят четыре сотых». Основание дроби определяется количеством знаков после запятой. Например, запись 0.7 означает, что число содержит 7 десятых долей (так как у числа 10 один ноль в младшем разряде), а 0.007 – 7 тысячных (1000 – три нуля, и 3 знака после запятой).
Свойства десятичных дробей
Первое, и, пожалуй, главное свойство десятичных дробей, которое надо усвоить, состоит в том, что если справа дописать любое количество нулей (от 1 до бесконечности), то дробь не изменит своего значения. Например, число 0.234 не отличается по значению от 0.2340, или от 0.23400000. Это же свойство означает, что нули справа – незначащие, их можно без ущерба для точности отбросить.
Эту особенность можно использовать для сложения чисел, записанных в виде десятичной дроби. Если надо сложить два числа, имеющие разное количество цифр после запятой, к более короткой цифре надо дописать столько нулей, сколько потребуется для того, чтобы разрядность чисел сравнялась.
Например, требуется сложить 0.14 и 0.3456. Второе число имеет после запятой на две цифры больше, поэтому дописываем к нему справа два нуля, чтобы записать в виде десятичной дроби 0.1400. Теперь записываем числа одно под другим, следя, чтобы один десятичный разделитель находился строго под другим, после этого складываем цифры поразрядно в столбик, как обычные целые числа:
Вычитают десятичные дроби по тому же принципу. После приобретения некоторого навыка можно добавлять нули мысленно. Сложим, например, 0.27 и 0.5634. Главное — записать числа так, чтобы совпали разделители. После этого можно производить сложение так, как будто в старших разрядах находятся нули:
Эту же операцию можно использовать для сравнения десятичных дробей между собой. В первую очередь сравнивается целая часть — одно число всегда больше другого, если у него целая часть больше – дальнейшее сравнение дробных частей можно не производить. Так, 1.0001 больше, чем 0.9999. Если целые части равны (или отсутствуют), сравнивают дробные части. Если количество знаков после десятичного разделителя одинаково, то сравнение проблем не вызовет: 0.9754 больше, чем 0.8621, так как 9754>8621. Однако таким сравнивать таким способом 0.75 и 0.1756 на том основании, что 1756>75 некорректно. Надо выравнять разрядность у обоих чисел, для этого к 0.75 требуется приписать справа два незначащих нуля: 0.7500. Тогда сравнение двух чисел будет правильным – 7500>1756 и 0.75>0.1756.
Для перемножения десятичных дробей между собой преобразовывать их не надо. После перемножения в столбик или в строчку, надо сложить количество знаков после разделителя у обоих чисел, и в произведении поставить разделитель в позиции, соответствующей сумме:
Незначащий ноль справа после определения позиции разделителя можно опустить, результат записать в виде 0,0351. Или пример умножения в строчку: 0.05*0.15=0.0075.
Если у одного из чисел дробной части нет, при умножении разделитель ставится в ту же позицию, что была у дробного множителя: 6*0,35=2,10=2,1.
Для выполнения деления десятичных дробей надо преобразовать делимое и делитель так, чтобы у делителя исчезла дробная часть. Для этого надо умножить и делимое, и делитель на 10, или 100, или 1000 и т.д. так, чтобы запятая у обоих чисел сдвинулась на нужное количество разрядов. Так, чтобы разделить 1.2 на 0.6, надо оба числа умножить на 10, десятичный разделитель сдвинется на 1 разряд вправо, и операция сведется к делению 12 на 6. Если у делимого не хватает разрядов в дробной части, значит надо дописать к целой части потребное количество нулей. Например, чтобы разделить 15 на 0.03, надо привести делимое и делитель к виду 1500 и 3 соответственно. Тогда деление будет выглядеть, как 1500:3=500.
Другие важные свойства десятичных дробей:
- При умножении дроби на 10, 100, 1000 и так далее разделитель сдвигается вправо на соответствующее количество нулей. Например, 0.0351*10=0.351, 0.0351*100=3.51 и так далее.
- При делении дроби на 10, 100, 1000 и т.д. разделитель сдвигается уже влево. Например, 1.1287:10=0.11287, 1.1287:100=0.011287 и далее по тому же принципу.
- Умножение десятичной дроби на 0.1, 0.01, 0.001 и т.д. соответствует делению на 10, 100, 1000 и т.д. и также сдвигает разделитель влево. Действия из предыдущего примера: 1.1287*0.1=0.11287, 1.1287*0.01=0.011287.
Чем обычные дроби отличаются от десятичных
Не всегда доли от целого числа могут быть кратны 10. Во многих ситуациях число, обозначающее часть целого, может быть произвольным. В этом случае применяется запись в виде обыкновенных или обычных дробей. Они представляют собой два числа, записанных друг над другом через черту (прямую либо косую), называемую дробной чертой. Число ниже черты называется знаменателем, оно показывает о каких частях от целого идет речь. Число над чертой называется числителем, оно показывает сколько частей, указанных в знаменателе, содержит дробь. Например, число, записанное в виде 3/4 означает, что целое (единицу) разделили на 4 части и взяли 3 таких доли. Как и для десятичной дроби, запись для обычной может содержать и целую часть, например 
означает, что число содержит:
- две целых доли;
- и 1/16 от единицы.
Если у дроби число над чертой меньше, чем под ней — дробь называется правильной, если наоборот — то неправильной. Например, 2/7 — правильная дробь, а 7/2 — неправильная. Если дробь неправильная, значит, она содержит целую часть, и может быть переведена в соответствующий вид. Например, 7/2 можно записать, как 
. Десятичную дробь легко преобразовать в обычную — у нее для этого все имеется. Так, 0.23 можно записать, как 23/100, а 0.345 в виде 345/1000. Обратное преобразование дробей — из дробей обычных в десятичные — менее очевидно.
Как перевести обычную дробь в десятичную
Обычные дроби неудобны для записи (включая компьютерный набор) и для восприятия. Кроме того, математические операции с дробями с отличающимися знаменателями не всегда возможны, и их приходится приводить к единому знаменателю. Выбор удобного для дальнейших действий общего знаменателя — тоже не всегда простая задача. Во многих случаях целесообразно выполнять перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби. Тривиальный случай – когда знаменатель дроби представляет собой 10n. В этом случае дробь переписывается в виде строчки:2/100=0.02, 1/10=0.1, но так бывает далеко не всегда.
Способ 1
В первую очередь надо попытаться перевести знаменатель в число из ряда 10n — 10, 100, 1000, 1000 и т.д. Для этого надо воспользоваться свойством дробей не менять значение при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число.
Пример 1. Имеется дробь 3/5. Очевидно, что ближайший «удобный» знаменатель — 10, так как 10=5*2. Умножаем обе части дроби на 2, получаем 6/10, что можно записать, как 0,6.
Пример 2. Для дроби 3/4 ближайшим десятичным знаменателем будет 10, но простым целочисленным умножением из 4 сделать 10 не получится, поэтому можно попробовать умножить обе цифры исходной дроби на 25: (3*25)/(4*25)=75/100=0,75
Пример 3. Дробь выглядит посложнее — 17/250, но решение довольно простое. Здесь ближайший десятичный знаменатель — 1000. Умножим обе части на 4: (17*4)/(250*4)=68/1000=0,068.
После небольшой тренировки многие дроби переводятся в десятичные в уме, на интуитивном уровне. Однако этот способ не всегда возможен, или не всегда удобен. Например, пусть имеется дробь 1/375. Число в знаменателе поместить в «гладкий»десятичный ряд скорее всего не получится. По крайней мере, перебрав множители от 1 до 200 результата добиться не удастся. Интуитивно понятно, что и дальнейший перебор множителей ни к чесу не приведет. Еще более «устрашающе» выглядят дроби вида 1/481, 1/1567 и т.п. Очевидно, что указанный метод для таких случаев не подходит. Еще пример — уже рассмотренная дробь 3/4. ее можно перевести в десятичную указанным выше способом, а можно умножить и числитель, и знаменатель на 2,5 или на 5/2, получив дробь вида 3*(5/2)/4*(5/2)=(15/2)/(20/2)=15/20=7,5/10=75/100=0,75. Конечно, столь простую дробь, как 3/4 таким чудовищным способом переводить в десятичную нет никакого смысла, но этот пример показывает, насколько громоздкими могут быть выкладки для перевода из обыкновенной в десятичную форму других дробей, более сложных.
Способ 2
Второй способ универсален, и основан на том, что обыкновенную дробь можно представить в виде операции деления. Над чертой написано делимое, которое становится числителем, под разделителем – делитель (знаменатель). Следовательно, для перевода надо просто разделить числитель на знаменатель. Это можно сделать, выполнив деление в столбик, а иногда получится выполнить операцию в уме. В результате деления в большинстве случаев получится бесконечная дробь, поэтому вычисления целесообразно прекратить при достижении необходимой точности (с учетом правил округления).
Пример 1. Как перевести обыкновенную дробь 1/3 в десятичную? Единица делится на 3 в уме, получится бесконечная дробь, которая округляется простым отсечением лишних знаков. Можно представить ее в виде 0.3. А можно в виде 0.33, 0.333 или 0.3333 — смотря какая точность требуется.
Пример 2. Дробь 17/237 в уме разделить трудно, для перевода дроби в десятичную лучше попробовать в столбик или воспользовавшись калькулятором. На каком-то этапе перевод обыкновенной дроби в десятичную (в случае калькулятора – из-за ограничений в разрядности) получится число 0.0717299578059071729957805907173, и это не окончательный результат. Такое количество чисел после запятой будет явно избыточным – ни на практике, ни для подавляющего большинства математических вычислений такая точность не нужна. Поэтому надо округлить результат при машинном вычислении или прекратить деление при ручном, достигнув нужной разрядности. Скорее всего, вида 0.0717 хватит для любых задач.
Пример 3. Если дробь неправильная, лучше превратить ее в правильный вид, выделив целую часть, и лишь потом перевести в десятичную, выполнив операцию деления. Так, дробь 16/7, у которой одно число (числитель) больше другого (знаменатель) надо записать ее в виде 
, а затем разделить 2 на 7. Если вовремя остановиться при делении, получится число 2,28571.
Существует мнение, что преимущество десятичной системы не математическое, а биологическое — если бы у человека было, например, 6 пальцев, то люди пользовались бы шестеричной системой. Даже если это так — десятичная система в любом случае является базовой для изучения алгебры, а десятичные дроби — важной составляющей этой системы. По этой причине умение перевести обыкновенную дробь в десятичную является одним из базовых навыков для дальнейшего освоения других разделов алгебры, и обучение этой операции входит в программу 6 класса средней школы.
