При освоении курса алгебры работа с полиномами степеней 3 и выше (нахождение корней, разложение многочлена на множители, деление многочлена на многочлен и т.п.) вызывает определенные сложности. Выражения становятся все более громоздкими, интуитивное нахождение решений не всегда возможно. Теорема Безу и схема Горнера (этому методу посвящена отдельная статья) в связке являются мощным математическим инструментом, позволяющим значительно облегчить выполнение перечисленных действий и позволяющий находить решение задач, снижая риск ошибок.
Основные понятия
В основе многих действий с полиномами лежит деление многочленов — с остатком или нацело. В первую очередь надо определить базовые понятия для подобных операций.
Пусть имеется полином S(х). Чтобы разделить его нацело на полином D(х) надо подобрать такой многочлен L(х), чтобы выполнялось тождество L(х)* D(х)= S(х). Как и при обычном делении, S(х) называют делимым, D(х) — делителем, L(х) — частным.
Если целочисленное деление невозможно, то решение задачи сводится к нахождению еще и полинома G(х) так, чтобы S(х) =L(х)* D(х)+ G(х). В этом случае G(х) называется остатком от деления S(х) на D(х), а L(х) будет неполным частным.
Формулировка теоремы безу
Строгая формулировка теоремы Безу для многочленов выходит за рамки школьного курса алгебры и требует освоения достаточно сложных понятий аналитической геометрии. Для решения задач, предлагаемых в старших классах и подготовки к ОГЭ используется следующее утверждение:
Остаток от деления полинома от одной переменной Z(х) на бином (х-а) равен Z(а). Иными словами, существует такой полином Q(х), что Z(х)= (х-а)* Q(х)+ Z(а).
Это суждение можно прочитать и с другой стороны:
Полином Z(х) делится на бином (х-а) без остатка, если а является корнем полинома Z(х) (иногда эту формулировку относят к следствиям из теоремы).
Для решения задач и уравнений можно применять любое из суждений. Все эти формулировки, несмотря на кажущуюся разницу, выражают одну и ту же мысль.
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы Безу, записанной в школьной формулировке, несложно. Допустим, имеется полином H(t) и бином (t-а). При делении с остатком получим H(t)=M(t)* (t-а)+r (r — остаток от деления). Если найти значение H(t) в точке а, получим равенство H(а)=M(а)*(а-а)+r. Так как (а-а)=0, то можно записать, что H(а)=r. Это и есть доказательство теоремы.
Следствия из теоремы безу
На практике используется не только и не столько основная теорема Безу, сколько следствия из нее.
Следствие 1.
Множество корней полинома V(z) совпадает с множеством решений уравнения V(z)=0.
Следствие 2.
Теорема может быть применена не только к биномам вида (х-a), но и к произвольным двучленам вида nх+b. При практическом применении бином приравнивается к нулю (nх+b=0), отсюда x = — (b / n) , и остаток от деления полинома U(х) может быть найден в виде r = U (- b / n).
Следствие 3.
Отношение полинома V(x) к двучлену (x-b) является целочисленным только в том случае, если V(b)=0 (или обратное прочтение — число b является корнем многочлена V(x) тогда и только тогда, если V(x) делится на (x-b) нацело). Отсюда следует, что для разложения полинома степени n на множители — полином степени n-1 и бином (x-b) — надо найти (например, методом подбора) корень уравнения V(х)=0. Полином с пониженной степенью можно попробовать разложить еще раз до тех пор, пока в выражении останутся только линейные множители. Этот прием называется понижением степени полинома и основан на следующем следствии.
Следствие 4.
Если имеется полином, максимальная степень переменной которого равна k, и k≥3, то этот полином можно разложить на произведение полиномов степени 1 или 2 (не корректно для множества комплексных чисел).
Следствие 5.
Для приведенного многочлена степени k (если множитель при переменной наибольшей степени равен единице, то есть, полином имеет вид 
), решения уравнения являются целочисленными делителями свободного члена. То есть, свободный коэффициент а0 делится без остатка на любой целый корень полинома R(v). Для этого следствия есть дополнительные условия — все коэффициенты ак должны быть целочисленными.
Следствие 6.
Если решения уравнения 
можно представить в виде 
, где v — натуральное, а u — целое число, при этом дробь сокращению не подлежит (то есть, z является рациональным числом), то в этом случае свободный коэффициент а0 делится на v, а множитель при переменной с наивысшей степенью ак делится на u. На практике это значит, что решения уравнений ищутся в виде дробей вида 
, где числитель принадлежит множеству целочисленных делителей а0, а знаменатель — среди делителей ак.
Следствие 7.
Уравнение степени k может иметь не более k корней ( действительных).
Следствие 8.
Для любого многочлена Q(t) и любого числа a разность (Q(t)-Q(a)) делится без остатка на двучлен (t-a).
Следствие 9.
Если полином D(z) имеет попарно различные корни a1, a2 ,… ,an , то он делится на произведение(z-a1)…(z-an) без остатка. Упрощенное прочтение можно записать в виде: если α и β являются корнями полинома D(z), то D(z) делится нацело на (z— α)(z— β).
Следствие 10.
Если полином F(t) разделить на двучлен (t-1), то остаток будет равен сумме множителей при членах этого полинома.
И еще несколько следствий из теоремы Безу, верных для любого натурального числа k и произвольного числа а:
- бином (хk-аk) без остатка делится на бином (х-а), однако (хk+аk) на (х-а) нацело не делится;
- бином (х2k-а2k) (разность четных степеней) нацело делится на бином (х+а), при этом (х2k+1-а2k+1) (разность нечетных степеней) без остатка на (х+а) разделить нельзя;
- бином (х2k+1+а2k+1) без остатка делится на бином (х+а), а двучлен (х2k+а2k) нацело на этот двучлен не делится.
Эти выводы тоже могут пригодиться для решения некоторых задач и уравнений.
Решение примеров
Для закрепления темы полезно разобрать примеры применения теоремы Безу и следствий из нее для решения уравнений и задач.
Задача 1.
Найти остаток от деления полинома F(v)=6v3-2v2+8v+4 на бином v-5.
Решение.
Для нахождения решения можно разделить непосредственно многочлен на многочлен — как обычные числа, уголком. Этот способ требует навыка, поэтому лучше разобрать его подробно.
В первую очередь, надо записать делимое и делитель в обычный столбик.
Теперь потребуется подобрать первый множитель таким образом, чтобы совпали первые члены делимого и делителя. В данном случае очевидно, что он будет равен 6v2.
Полученный результат надо почленно вычесть из делителя.
Снова подбираем множитель (28v) и производим операцию еще раз с новым полиномом с уменьшенной степенью до значения 2.
Снова производим почленное вычитание:
И еще раз — множителем будет 148.
Итак, остаток от деления, найденный с помощью громоздких вычислений, равен 744. То же решение можно попытаться найти с помощью теоремы Безу. Подставим в полином значение переменной v=5: F(5)=6*53-2*52+8*5+4=6*125-2*25+40+4=750-50+44=744. Тот же ответ получен гораздо быстрее и проще, с меньшей вероятностью ошибки.
Задача 2.
Не производя непосредственного деления, найти остаток от деления многочлена Z(s)=12s3-3s2+5s-16 на бином v+3.
Решение.
На первый взгляд, задача сводится к предыдущей. Тем не менее, требует внимания значение переменной, подставляемой в качестве аргумента — оно рано -3 (не 3!). Отдельно надо обратить внимание на знак результата возведения в нечетную степень.
Подставив это значение в полином, получаем: 12*(-3)3-3*(-3)2+5*(-3)-16=12*(-27)-3*9+(-15)-16=-324-27-15-16=-382. Результат можно проверить делением уголком или используя онлайн-калькулятор.
Задача 3.
Для полинома R(t)=3t18+2t17+3t -16 найти остаток от деления на бином 3t-1.
Решение.
Для нахождения верного ответа воспользуемся теоремой Безу и следствием из нее для произвольного двучлена. Сначала надо приравнять бином 3t-1 нулю. Получим 3t-1=0 и t = 1/3 — это и будет точка, в которой предстоит найти значение полинома. 
, вычисляя степени и раскрывая скобки, получим 
.
Задача 4.
Проверить, делится ли полином Т(u)=14u4-5u2-4u-3488 нацело на бином u-4.
Решение.
Для решения надо найти значение Т(u) в точке u=4. Подставим это значение переменной в многочлен: Т(4)=14*44-5*42-4*4-3488=14*256-5*16-16-3488=3584-80-16-3488=0. Следовательно, имеет место целочисленное деление. Результат можно проверить делением в столбик.
Задача 5.
Определить значение коэффициента n, при котором имеет место целочисленное деление полинома S(t)= t23+nt+16 на двучлен t+1.
Решение.
Используя теорему Безу, находим нулевой остаток от операции деления: S(-1)=(-1)23+n(-1)+16=-1-n+16=0. Отсюда n=16-1=15. Можно записать исходный полином в виде S(t)= t23+15t+16.
Задача 6.
Используя теорему Безу и следствия из нее, найти корни полинома Z(y)=6y2-5y+1.
Решение.
Так как множитель при переменной в наибольшей степени не равен 1, надо проверить полином на наличие целых корней: 
. То есть, целых корней уравнение не имеет, решения надо искать среди рациональных чисел в виде u / v.
Главный множитель а3 имеет целочисленные делители:6,3,2,1.
Свободный коэффициент равен 1, поэтому множество решений выглядит, как 
.
Подставляем вероятные решения в полином поочередно:
, следовательно, это число корнем не является;
, и это корень полинома;
, и это тоже корень полинома;
— также не является верным решением.
Итак, множество рациональных корней многочлена — 
. Этот способ для решения квадратных уравнений довольно трудоемок, уравнения второй степени можно решать и более простыми методами. Однако здесь продемонстрирован только принцип решения, который может применяться для нахождения корней полиномов более высоких степеней.
Задача 7.
Проверить, делится ли число 281+1 на 9 нацело.
Решение.
Представим 9 в виде 8+1=23+1 и обозначим 23=t. Тогда 9=t+1. Перепишем исходное число в виде полинома Y(t)=t27+1= t27+127 — то есть, в виде двух нечетных степеней. Такая запись, согласно одного из следствий, делится без остатка на сумму этих чисел. Следовательно, 281+1 можно разделить на 9 без остатка.
Задача 8.
При каком значении k полином D(t) = (t +1)k + (t -1)k делится на t без остатка?
Решение.
Представим t в виде t-0. Тогда условие целочисленного деления — D(0)=0. Подставим 0 в качестве значения переменной. Отсюда (-1)k = 1, и k — любое натуральное нечетное число.
Задача 9.
При каких значениях множителей а и b полином S(z)=z4+аz3-2z2+19z+b делится на трехчлен z2-3z+2 без остатка?
Решение.
Найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю, любым алгебраическим способом. Они будут равны 1 и 2, тогда перепишем этот полином в виде (z-1)(z-2). По одному из следствий из теоремы Безу, чтобы S(z) делился на (z-1)(z-2), числа 1 и 2 должны являться корнями S(z).
Поставляем:
S(1)=( 1)4+а(1)3-2*(1)2+19*1+b=1+а-2+19+b=0 => а+b+18=0.
S(2)=( 2)4+а(2)3-2*(2)2+19*2+b=16+8а-8+38+b=0 => 46+8а+b=0.
Решаем любым способом систему уравнений:
Получаем
Исходный полином можно записать в виде S(z)=z4-4аz3-2z2+19z-14.
Следует заметить, что эту же задачу можно решить, выполнив непосредственное деление полинома на полином столбиком. В итоге получится остаток, который записывается в виде (7а+28)z+(b-6a-10). Чтобы найти условия, когда остаток равен нулю, надо решить систему уравнений:
Отсюда 
Результаты, полученные обоими способами, совпали.
