Непрерывность функции — от теории до свойств

В основе многих разделов математического анализа лежит такое важное понятие, как непрерывность функции. На базе этого понятия не только могут быть описаны «плавные» изменения функций, но и заложены основы перехода к интегрированию и дифференцированию.

Понятие непрерывности функции

В первую очередь, надо разобраться с общим понятием непрерывности функции. На самом деле, такого не бывает – далее будет показано, что в математическом анализе рассматривается два вида непрерывности:

• в точке;
• непрерывность функции на множестве.

Интуитивно непрерывная функция понимается, как зависимость, график которой можно нарисовать, не отрывая инструмента от бумаги. Таким примером может служить график квадратичной функции.

Это представление имеет право на существование, при наличии четкого понимания отличия непрерывности функции от области ее определения. Часто бывает так, что если функция не определена в какой-то точке, то она имеет там разрыв, например, y=1/x имеет разрыв в нуле.

Но наоборот бывает не всегда.  Так, на следующем графике функция определена на всей области вещественных чисел, однако изобразить ее одним движением не получится. В точке x=2 инструмент для рисования придется оторвать от бумаги.

Примеры показывают, что непрерывность функции нарушается в точках, где:

• функция не определена;
• или изменяется скачкообразно;
• или «уходит» в бесконечность.

Подробнее о точках разрыва немного позже, а пока надо ввести классическое определение непрерывности функции в точке.

Функция  g(х) называется непрерывной в точке х₀, если эта точка принадлежит области определения функции, и  если существует предел этой функции в точке х₀, равный значению функции в точке х₀. На алгебраическом языке это записывается, как существование предела .

На практике используются и другие определения непрерывности функции в точке. Например, формулировки Коши или Гейне, которые при углубленном разборе оказываются эквивалентными приведенному определению непрерывности функции в точке. Однако, определение непрерывности, например,  по Гейне в некоторых случаях более удобно для доказательства других теорем и решения задач по математическому анализу.

Таким образом, непрерывность в точке можно определить по трем обязательным пунктам, это удобно делать в последовательности:

• выяснить, определена ли функция в этой точке (если нет – исследование на непрерывность можно заканчивать, не переходя к последующим пунктам);
• разобраться, существует ли в этой точке указанный выше предел;
• посчитать значение предела и сравнить со значением функции в точке х₀.

Все три условия должны быть соблюдены! Кроме того, полезно предварительно построить (хотя бы приблизительно) или представить мысленно график заданной к исследованию функции.

Первый шаг в большинстве случаев проблем не вызывает. При достаточной алгебраической подготовке область определения определяется интуитивно. Понятно, что функции 1/x, sinx/x и т.п. будут иметь разрыв в точке х=0, а функции вида (t²+4t-2)/(t-3) не будут определены в точках, где знаменатель также обращается в ноль (для данного примера – в точке t=3).

Затруднения чаще всего вызывает второй пункт – проверка существования пределов. И здесь на помощь придет теорема, в которая гласит, что предел функции g(х) существует тогда (и только тогда), когда в этой точке существуют правосторонний и левосторонний пределы, и они между собой равны.

В качестве примера можно исследовать функцию h(z)=|z|/z. Очевидно, что она не определена в точке z=0, и имеет в ней явный разрыв, однако, она удобна для изучения в качестве примера исследования на разносторонние пределы.

Если начать движение по графику слева – со стороны минус бесконечности в направлении z=0 – значение h(z) останется неизменным и равным -1, что дает право записать . Если же приближаться к нулю справа, то , так как значение h(z) также не изменяется, и при любом приближении к нулю равно 1. Пределы существуют, однако они не равнозначны друг другу. Поэтому можно говорить, что в z=0 у функции h(z) расположена точка разрыва.

Точки разрыва

Если непрерывность функции в какой-то точке нарушена, то такая точка называется точкой разрыва. Их классифицируют на два рода:

1. Первый род — имеет место в тех случаях, когда односторонние пределы существуют и не равны бесконечности.
2. Точка разрыва второго рода определяется, если либо один (или оба) односторонних предела не существуют, либо если один (или оба) из них равны бесконечности.

К первой категории относят точки так называемого устранимого разрыва (когда функцию в данной точке можно доопределить, например, точка x=0 в функции sinx/x), а также «скачки» (можно обратиться к примеру, приведенному выше).

К точкам разрыва 2-го рода относят разрывы типа «полюс», сходные с разрывом функции y=1/х или приведенный выше пример графика (t²+4t-2)/(t-3), если доопределить функцию в точке t=3. К этому же классу принадлежат точки существенного разрыва.

Свойства функций непрерывных в точке

В математическом анализе используются свойства функций, не имеющих разрыва. Многие из них сформулированы в виде теорем.

Локальные свойства непрерывной функции

К этой категории свойств относится поведение функции в окрестностях точки или в самой точке, в которой исследуется непрерывная функция.  Одно из этих свойств звучит так: если в какой-то точке y₀ значение g(y) функции равно какому-либо числу b, (при условии, что g(y₀)≠0), то в σ-окрестности точки y₀ знак значения g(y) совпадает со знаком g(b).

Непрерывность суммы произведения и частного

В математике широко применяются алгебраические операции с функциями – сложение (вычитание), умножение, деление и т.д. При этом, если функции h(t) и g(t) не имеют разрыва в точке t₀, то непрерывны:

• их сумма (разность) s(t)=g(t)+h(t);
• их произведение p(t)= g(t)*h(t);
• их частное d(t)=g(t)/h(t).

Доказать непрерывность новой функции можно через существование пределов  и использование их свойств (суммирование, умножение и т.д.). Например, непрерывность функций g(t) и h(t) в точке b означает существование пределов  и . Существование пределов означает существование предела их суммы, при этом выполняется .

Продолжая рассуждения, можно доказать, что сумма какого-то конечного числа функций, не имеющих разрыва, также является непрерывной функцией. Чтобы это доказать, надо использовать предыдущее доказанное утверждение. Каждая пара слагаемых функций заменяется одной суммарной, и в итоге можно прийти к одной единственной непрерывной функции.

Аналогичным способом доказывают неразрывность произведения и частного функций, не имеющих точек разрыва.

Непрерывность сложной функции

Сначала надо вспомнить определение сложной функции. Пусть переменная y зависит от x, т.е. имеется функция y=g(х) с областью определения Х. И пусть переменная f зависит от y (f=h(y) с областью определения Y). Тогда зависимость F(x)=h(g(х)) называется сложной функцией, если х∈Х. Также для F(x) используются термины суперпозиция или композиция функций g и h.

Непрерывность суперпозиции определяется другой теоремой. Она гласит, что если y= y=g(х) непрерывна в точке х₀, и при этом функция f=h(y) непрерывна в точке y₀, то композиция F(x)=h(g(х)) непрерывна в точке х₀.

Свойства функций непрерывных на отрезке

Существуют функции, непрерывные во всех точках какого-либо отрезка, лежащего в области определения этой функции. Такая функция называется непрерывной на данном отрезке. Следует понимать принципиальную разницу между функциями, непрерывными на отрезке и непрерывными на интервале, хотя эти множества очень схожи (за исключением конечных точек). Любая точка внутри интервала имеет свою σ окрестность, а у точки, расположенной на границе отрезка (например, слева), левее ее не будет никакой σ-окрестности. Поэтому к простому определению для функции, непрерывной на интервале (a;b) (она будет таковой, если она непрерывна в каждой точке интервала), следует добавить два условия непрерывности на отрезке [a;b]:

• функция h(z) непрерывна справа (без задания условия непрерывности слева) – можно записать ;
• функция непрерывна слева (без задания условия непрерывности справа) .

Иными словами, функция может иметь непрерывность на отрезке, при этом она будет непрерывной на интервале. Но обратное верно не всегда.

Ограниченность непрерывной на отрезке функции

Немецкий ученый Карл Вейерштрасс сформулировал и доказал одну из фундаментальных теорем математического анализа. Она гласит, что если функция непрерывна на каком-то отрезке [a;b], то она на этом отрезке ограничена. На алгебраическом языке можно записать, что если t∈[a;b], то для функции g(t) найдется такое число A, что |g(t)|<A. Несколько упрощая, можно заявить, что непрерывная на отрезке функция не «уходит» в бесконечность.

Следует обратить внимание, что ограниченность подразумевается именно на отрезке. Если применить ее для открытого интервала, то утверждение теоремы не всегда верно. Например, функция y=сtg(х) не имеет разрывов на отрезке [0;π], однако, на интервале (0;π) она имеет две точки разрыва.

Достижимость точных граней

Тот же Вейерштрасс смог  доказать и утверждение, что функция g(x) непрерывна на отрезке [d;e], то она на этом отрезке достигает супремума и инфинума, то есть, существуют верхняя и нижняя грань. И здесь надо понимать разницу между максимумом и минимумом функции, и супремумом и инфинумом. Отличие в том, что точки максимума и минимума обязательно принадлежат множеству значений функции на отрезке, а верхняя и нижняя грани – не всегда.

Промежуточные значения

Если функция h(х) не имеет разрывов на отрезке [с;d], и в конечных точках этого отрезка функция принимает два каких-либо не равных друг другу значения, то она принимает и все промежуточные значения. Иными словами, если f(с)≠f(d), и  f(с)=С, а f(d)=D (для определенности пусть C<D), то всегда найдется такое число Е, что C<E<D. Это утверждение называется теоремой Больцано-Коши.

Из этого положения существует следствие, гласящее, что если на концах отрезка [с;d] функция имеет значение противоположных знаков, то на данном отрезке имеется хотя бы одна точка х₀, в которой h(х₀)=0. Это следствие выделяют в отдельную теорему о нулях функции, не имеющей точек разрыва.

Существование и непрерывность функции обратной для непрерывной и строго монотонной функции

Для изучения этого раздела предварительно надо вспомнить определение обратной функции. Пусть имеется зависимость z=g(t). По определению функции, каждому значению аргумента t₀ противопоставлено единственное значение z₀. Однако при попытке по известному z₀ отыскать исходное значение t_0, можно столкнуться с ситуацией, когда эту задачу нельзя решить однозначно. Так, для функции z=t², t₀ может принять два значения:

• t₀=√z₀
• t₀=-√z₀

Тем не менее, для многих функций эта задача разрешима. Так, z=1/t имеет единственное значение для каждого аргумента. Подобные зависимости называются обратимыми функциями, а функции, позволяющие найти аргумент, зная значение – обратными функциями. Например, для функции x=3y-8 обратной будет y=(x+8)/3. Обратная для g(t) функция обозначается, как g^-1(t).

Теперь можно доказать утверждение, что если g(t) монотонно (и строго) возрастает на отрезке [с;d] и на нем не имеется ни одной точки разрыва обратимой функции g(t),  то обратная функция g^-1(t) также не имеет разрывов и монотонно возрастает на отрезке [g(с),(d)]. Если же g(t) на этом отрезке монотонно и строго убывает, соответственно,  g^-1(t) также монотонна и убывает на отрезке [g(с),(d)].

Приведенные выше утверждения даны, большей частью без доказательств — объем статьи не позволяет привести их в полной мере. Однако с доказательствами можно ознакомиться в литературе по математическому анализу — как в классической, так и в онлайн-учебниках. Это поможет закрепить полученные знания.