Как просто складывать, вычитать, делить и умножать дроби – объясняем на пальцах

Усвоение понятия дробных чисел в различных видах записей, а также правил сложения, вычитания, умножения и деления дробей, а также умение сравнивать нецелые числа между собой являются базовыми навыками для дальнейшего овладения разделами математики и другими естественными и точными науками.

Что такое дробь или доля от целого

Результатом математических операций, даже самых элементарных, не всегда являются целые числа.  Зачастую в результате вычислений получаются цифры, являющиеся частью целого. Такие цифры обозначаются в виде дробей различного типа.

Дроби встречаются не только в математике. С нецелыми числами каждый человек постоянно встречается в быту. Например, при приготовлении различных блюд в рецептах указываются не целые меры продуктов, а частичные (половина стакана муки и т.п.). Готовые блюда приходится делить на порции, не всегда совпадающие с целыми мерками. По этой причине понимание, как решать дроби и задачи с ними, требуется не только для теоретических, но и для прикладных повседневных задач.

Простые дроби

Простые (или обыкновенные) дроби – это часть целого, записываемая в виде A/B. Цифра в верхней части дроби называется числителем, в нижней — знаменателем (иногда его не совсем правильно называют основанием дробного числа). Если числитель больше знаменателя, дробь называется правильной, если наоборот — то неправильной. Чтобы было проще вычислять дроби и проводить иные операции с ними, дробную черту можно представить в виде знака деления. А так как делить на ноль запрещено, то и ноль в знаменателе является запрещенной ситуацией.

Знаменатель показывает, на сколько частей делится единичное целое, а числитель – количество частей. Например, если разрезать торт на 4 части, то один кусок будет равен 1/4, а если взять два куска, то– 2/4.

Если числитель больше знаменателя, дробь называется правильной, если наоборот — то неправильной.  Если числа над дробной чертой равны, то значение обыкновенной дроби равно 1.

Базовым понятием для работы с обыкновенными дробными числами является правило, что если обе части дроби умножить или разделить на одно и то же число, то исходное значение не изменится. Этот закон широко используется для упрощения вида нецелых чисел или приведения к нужному для расчетов виду.

При изучении математики надо в первую очередь освоить действия с обыкновенными дробями, понять, как решать примеры с такими дробями, начиная от простейших примеров, переходя к более сложным. Это заложит базу для дальнейшего освоения программы.

Десятичные дроби

Наиболее распространенной в мире является десятичная система счисления. По этой причине   в математике удобно использовать дроби со знаменателем, кратным 10 (10, 100, 1000 и т.д.). При записи таких нецелых чисел дробная часть пишется через запятую от целой, числитель не пишется, а его значение определяется по количеству значащих разрядов после запятой.

Любое простое дробное число можно перевести в десятичное. Для этого надо числитель разделить на знаменатель.

Обратный перевод также возможен. Для этого надо последовательно умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока под чертой дроби не окажется целое число.  Пример перевода дроби 0,35 в обычный вид:

• записываем десятичную дробь в простой форме;

• дважды умножаем верхнюю и нижнюю часть на 10;

• в итоге получаем простую дробь, которую при необходимости можно сократить, разделив обе части на 7 (это общий делитель чисел над дробной чертой и после нее).

Смешанная дробь

Смешанной дробью называется число, имеющее как дробную, так и целую части. Если значение обычной (правильной) дроби всегда меньше единицы, то значение смешанной дроби всегда больше единицы. Смешанную дробь всегда можно привести к простому виду, умножив знаменатель на целую часть и прибавив ее к числителю. В этом случае в итоге всегда получится неправильная дробь.

Понятие смешанных дробей к десятичным дробям обычно не применяют. Но у таких чисел также бывает целая часть, отличная от нуля, которая записывается слева от запятой (например, 2,345).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с целыми числами:

• складывать;
• вычитать (отнимать);
• умножать и делить;
• выполнять сравнение дробных чисел.

На начальном курсе освоения математики следует уяснить на уровне автоматизма, как складывать и вычитать дроби. Проще всего выполнять действие сложения с дробными числами, имеющие одинаковый знаменатель (одно и то же число под дробной чертой). В этом случае надо выполнить арифметическое сложение числителей дробей, а знаменатель остается неизменным.

Однако в случае, если в итоге числитель окажется больше знаменателя, следует привести неправильное дробное число к правильному, как разобрано выше.

Сложение дробей с разными знаменателями

Если знаменатели дробных чисел не равны между собой, непосредственно складывать такие числа нельзя. Для сложения дробей с разными знаменателями, их надо привести к такому виду, чтобы под чертой дроби у них находились одинаковые числа, и лишь после этого можно будет высчитать результат. Для этого надо воспользоваться правилом, гласящим, что, если числитель и знаменатель дробного числа умножить (разделить) на одинаковое число, исходное значение не изменится.

Самый простой способ получить равные знаменатели — умножить каждое число на знаменатель другого. В примере ниже у обеих слагаемых под знаком дроби получается одинаковое число — 12.

Дальше можно складывать дроби уже известным способом. Результат можно сократить и привести к смешанному виду (если потребуется).

Однако при таком «лобовом» решении над и под дробной чертой могут получиться достаточно большие числа, работать с которыми неудобно. Можно попробовать найти наименьшее число, которое делится и на первый знаменатель, и на второй (наименьшее общее кратное). Иногда это можно сделать с помощью простого подбора. Так, для приведенного примера число 28 делится нацело на 28 и на 4.

Очевидно, что так задача решается проще, чем простым перемножением, где пришлось бы оперировать, в том числе, трехзначными числами.

В целом же надо сначала выполнить проверку для наибольшего знаменателя – делится ли он на другой. Если нет, надо попытаться его умножить на 2, и найденное число снова попытаться разделить нацело на второе основание. Если получается – умножить на 3, 4, 5 и так далее, до получения нужного результата. Другой способ – найти наименьшее общее кратное, разложив каждый знаменатель на простые множители. Если основания — сами по себе простые числа, то не остаётся иного пути, кроме прямого их перемножения.

Эти же правила применимы и к приведению к общему виду трех или более дробей с разным знаменателем, однако там подобрать подходящее число сложнее.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правила вычитания дробей с взаимно равными знаменателями совпадают с правилами сложения.  Надо из числителя уменьшаемого вычесть  числитель вычитаемого, в результате получится числитель разности. Знаменатель же, как и в случае сложения, останется неизменным.

Может получиться так, что числитель уменьшаемого окажется меньше числителя вычитаемого. Тогда в числителе разности получится отрицательное число. В этой ситуации можно вынести минус за дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями выполняются практически одинаково, только при вычитании вместо суммирования числителей находится их разность. Как и в случае суммирования сначала находим общий знаменатель (лучше наименьший). После этого один числитель вычитается из другого.

В итоге числитель может получиться отрицательным. Минус, как показано раньше, выносится за дробь.

Операции сложения и вычитания с десятичными дробями можно выполнять без приведения к общему знаменателю. При необходимости достаточно добавить к правой части числа с меньшим основанием необходимое количество нулей (это можно сделать мысленно). При вычислениях «в столбик» десятичную запятую одного числа, отделяющую целую часть от дробной, надо располагать строго над запятой другого числа.

Умножение дроби на число

Чтобы понять, как считаются дроби в случае умножения на натуральное число, можно сначала мысленно заменить умножение делением. Пусть надо умножить дробное число в обычном виде на целое (недробное) положительное число.

Умножить на 3 равносильно трехкратному сложению, а эта операция уже рассмотрена ранее. При ней числитель остается прежним, а знаменатель трижды складывается, что тоже можно в обратном порядке заменить умножением.

Следовательно, при умножении дроби на натуральное число, надо на это число умножить числитель, а знаменатель оставить без изменения. Получившуюся дробь можно сократить, а если перемножать положительную дробь на целое отрицательное число, то знак минус надо вынести за дробь.

Умножение дробей

Чтобы перемножить две простые дроби, надо:

• перемножить числители обеих дробных чисел — это число будет числителем результата;
• перемножить их знаменатели — так получается результирующий знаменатель.

Если одним (или обоими) множителями является смешанная дробь, ее надо преобразовать в простую. После этого оба числа перемножаются указанным способом.

Полученный результат можно сократить. Если в итоге получилась неправильная дробь, ее можно преобразовать в смешанную или в целое число, как получилось в этом примере с дробями.

Чтобы вычислить результат перемножения десятичных дробей, на первом этапе можно не обращать внимание на основание (количество цифр справа от запятой у каждого числа). Лишь выполнив умножение (можно «в столбик»), надо посчитать количество цифр у обоих чисел вместе, затем отсчитать суммарное количество цифр, начиная справа. В этом месте и ставится десятичная запятая в произведении.

Обратные числа

Обратными по отношению друг к другу являются числа, при перемножении которых результат равен единице. В случае простых дробей такими парами являются числа, числитель одного из которых равен знаменателю другого и наоборот.

Таким образом, чтобы найти число, обратное к заданной дроби, достаточно поменять местами числитель и знаменатель («перевернуть»). Другой пример нецелого числа, обратного целому:

Деление дроби на число

Понятие обратного числа широко используется при выполнении операции деления дробных чисел. Так, если возникает необходимость разделить дробь на натуральное число, следует знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений. Эта операция равносильна умножению на число, обратное делителю. Для натурального числа такой эквивалент будет выглядеть в виде неправильной дроби с единицей в числителе и этим числом под знаком дроби. После выполнения действия можно произвести манипуляции по приведению результата к удобному виду.

Деление числа на дробь

При делении целых чисел на дроби также используется обратное дробное число. Перестановкой числителя и знаменателя находится искомое обратное число, а дальше, как и в прошлом примере, деление сводится к умножению.

Деление дробей

Операция деления обыкновенных дробей сводится к умножению делимого на дробное число, обратное делителю. В приведенном примере делитель «переворачивается», а дальше производится операция умножения. Полученный результат при необходимости сокращается и приводится к обычному виду.

Правила деления десятичных дробей несколько сложнее. В первую очередь, надо избавиться от дроби в делителе. Для этого надо последовательно умножить и делимое на 10 до тех пор, пока делитель не станет целым числом.  Например, для деления 0,485 на 0,5 достаточно выполнить такое действие однократно, и операция сведется к делению 4,85 на 5. Можно выполнить действие «уголком».

При решении более сложных примеров, содержащих несколько действий с дробными числами, надо соблюдать порядок действий, принятых для решения обычных примеров. В первую очередь выполнять деление и умножение, потом вычитание и сложение, отдавая приоритет действиям в скобках и действуя слева направо. По ходу вычислений надо преобразовывать и упрощать дроби, применяя формулы для работы с нецелыми числами, чтобы уменьшить громоздкость записи и снизить вероятность ошибки. При необходимости надо преобразовывать нецелые числа к одной системе записи (десятичной или обычной). Но к таким примерам надо переходить лишь после уверенного освоения базовых операций, научившись работать с дробными числами в одно действие и решать простые задачи безошибочно.