Корень числа: как вычислить и где применяется

Без знания определения  квадратного корня и умения производить с ним математические операции и расчеты, а также решать задачи на нахождение корней, освоение курса алгебры не представляется возможным. Это понятие используется во всех областях математики, а также в других науках и прикладных областях деятельности человека.

Что такое квадратный корень

В первую очередь, надо разобраться с  определением квадратного корня. Самая распространенная формулировка такова: квадратный корень у из числа х — это такое число, которое при возведении в квадрат дает x. Обозначается корень знаком, который выглядит, как , где х — подкоренное выражение (число, переменная, алгебраическое выражение) под знаком корня, который называют радикалом (зачастую радикалом называют и сам корень). Чтобы обозначить, что речь идет о второй степени, над радикалом часто пишут цифру 2, но она может отсутствовать, то есть записи    — равносильны. Также равносильна приведенным запись , ее удобно применять, когда надо преобразовать математическую запись, в которой присутствуют как корни, так и операции возведения в степень.

На цифру под знаком радикала накладываются ограничения — она не может быть отрицательной, так как и сам квадрат числа не может быть отрицательным. Очевидно, что возведение отрицательного числа в квадрат — это перемножение между собой двух одинаковых отрицательных чисел, и результат всегда будет положительным (-7*-7=49 и т.п.). Получить отрицательное число в результате этого действия невозможно, что и накладывает запрет на значения чисел. Однако подкоренное выражение может быть равно нулю (в этом случае корень также будет равен нулю). При выполнении преобразований надо следить, чтобы нулевой результат извлечения корня не стал делителем или знаменателем дроби. При необходимости надо накладывать ограничения на переменную. Например, при решении уравнения вида    надо указывать, что х должен быть строго больше 3, а не х≥3, так как при х=3 в знаменателе получится ноль.

В формульном виде определение корня  можно записать в виде:

• 
• 
• x≥0;
• у≥0;

Операцию нахождения корней чисел также называют извлечением корней из чисел, поэтому выражения «найти корень» и «извлечь корень» являются равносильными.

Квадратный корень в математике является частным и наиболее распространенным на начальном этапе изучения алгебры случаем общего понятия   арифметического корня. По аналогии с квадратным корнем, в математике существуют корни других степеней:

• кубический ();
• корень четвертой степени ();
• и так далее до бесконечности по возрастанию степеней.

Изучение свойств этих корней производится в дальнейшем освоении курса алгебры. На данном этапе речь будет идти только об арифметических квадратных корнях, поэтому выражения «корень из числа» и «квадратный корень из числа » будут считаться идентичными.

Разобравшись, что такое корень, можно перейти к изучению его основных свойств. Так, подкоренные числа под знаками двух равных корней могут быть равными или неравными. Исходя из определения корня можно выполнить  сравнение корней между собой. Корни чисел будут равны, если равны их подкоренные выражения: , если z=n. Например, , так как 7+3=10. В ином случае, , если z>n, и , так как 10>7.

Наглядный пример разницы между квадратным уравнением и квадратным корнем

На первый взгляд,  выражение   тождественно записи , и можно сделать ложный вывод, что  арифметические квадратные корни одновременно являются квадратными уравнениями. Однако решениями выражения являются числа:

• 7
• -7

При возведении в квадрат оба корня дают 49. При этом -7 не является решением записи , так как результат извлечения корня не может быть отрицательным числом. Следовательно, выражения и не тождественны.

Свойства арифметического квадратного корня

При выполнении различных математических вычислений может возникнуть потребность выполнения  действий с корнями или операций их преобразования. Следует запомнить базовые  свойства арифметического квадратного корня, они помогут производить вычисления значений выражений или упрощать их.

Умножение корней

Правило  умножения корней очень простое — произведение квадратных корней равно корню произведения. В общем случае оно записывается, как   (следует помнить, что числа t и z должны быть неотрицательными!).

Например, чтобы умножить на , надо записать произведение под знаком корня . Следует заметить, что правило перемножения справедливо не только для двух множителей, но и для любого их количества, например, для трех оно выглядит, как  , для четырех —  и так по возрастающей до бесконечности. Это правило можно использовать как в прямом, так и в обратном направлении — корень произведения равен произведению корней.

Деление корней

Запомнить правило деления корней, если под знаком корня находится дробное число (фактически это деление числителя на знаменатель), несложно. Корень частного равен частному корней, что можно записать в виде  или в виде .

Следует помнить, что число z в числителе должно быть неотрицательным (z≥0), а для числа t ограничение несколько жестче. Оно должно быть строго положительным (t>0), так как нуля в знаменателе быть не должно (помним, что корень нуля это нуль).

Пусть имеется дробное выражение  . Его можно записать в виде . Если под радикалом находится смешанное число, его надо преобразовать к неправильной дроби: .

Возведение в степень

Чтобы понять, как  корень квадратный возводится в любую степень, надо вспомнить, что он может быть записан в виде . Тогда операция возведения в степень a может быть записана, как . Далее можно применять все правила действий со степенями и выводить формулы для разных ситуаций. Например, для возведения квадратного корня в квадрат выражение примет вид . Очевидно, что

Основное же правило при возведении корня в степень, которое можно вывести и которое лучше запомнить — при возведении корня в степень достаточно возвести в ту же степень выражение или число под корнем. Для предыдущего случая: . А для более высоких степеней примером может быть равенство .

Извлечение корней

Нахождение  квадратного корня из числа не всегда является простой задачей, даже если под корнем рациональное число. Метод перебора работает только с относительно небольшими цифрами. Однако для чисел, входящих в стандартную таблицу умножения проблемы,   как извлечь корень из числа, не существует. Из начального курса математики известно, что 2*2=22=4, 3*3=32=9, 4*4=42=16 и т.д. Соответственно и так далее. Несложно запомнить корни и для чисел 121, 144, 169 (11, 12, 13 соответственно) и немногих других. Однако запоминание больших значений сложнее, хотя бы потому, что использовать их приходится нечасто.

Если же стоит задача,  как вычислить корень из большого, дробного или иного сложного числа, можно воспользоваться калькулятором (включая онлайн-ресурсы), а также специальными таблицами квадратов. Если значение корня — целое двузначное число, то подкоренное выражение надо поискать в данной таблице (или в подобной, которую можно найти в литературе или в интернете. Так, для   значением десятков будет 5, а единиц — 4, и решением будет число 54.

Однако таблицы и калькуляторы не всегда могут быть под рукой, поэтому следует освоить базовые приемы работы с радикалами, основанные на свойствах арифметического квадратного корня. Например, можно воспользоваться свойством умножения корня. Например, если надо найти , то подкоренное число можно представить в виде  (по правилам перемножения корней, разобранных далее). Однако такое разложение на множители не всегда очевидно, поэтому можно начать пошагово с малого числа. Например, имеется . Оно явно не делится на 4, но делится на 9, так как сумма цифр делится на 9. Представляем его в виде . Число 729 также делится на 9, отсюда . Проверка с помощь таблицы дает тот же результат.

Тождественные преобразования выражений содержащих арифметические квадратные корни

Для решения примеров, преобразования математических выражений, сокращения дробей и других алгебраических и геометрических задач часто требуется преобразовать запись, содержащую радикал. Для этих целей потребуется знать не только определение арифметического квадратного корня, но и его базовые свойств.

Вынесение множителя из под знака корня

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, можно вспомнить правило перемножения корней, применив его наоборот. Пусть имеется запись . ее можно представить в виде произведения . Корень из 16 извлекается легко, и он равен 4. Следовательно,. Теперь пусть надо «вытащить» множитель из под знака корня в выражении . Воспользовавшись предыдущими рассуждениями, можно записать . Выражение получилось еще более громоздким, чем исходное. Попробуем разложить 54 на множители 54=6*9. Выражение можно переписать, как . Из всех использованных чисел целочисленный корень имеется у 9, и он равен 3. Исходное выражение можно записать, как .

Отсюда можно вывести дополнительные приемы, помогающие извлекать корни из больших чисел. Например, если число под радикалом заканчивается на четное число нулей, то их можно вынести в качестве десятичного множителя, разделив количество нулей на два. Например, есть число . Его можно представить, как , и вынести множитель 100 за знак радикала в виде числа . Другой пример — . Здесь четыре нуля превращаются в два: . Однако, у числа нулей три (нечетное число), но использовать можно только два:  .

Внесение множителя под знак корня

Любое положительное число С можно представить, как   (для положительных чисел их модуль совпадает с самим числом). Тогда выражение    можно записать в виде  . Отсюда по правилу перемножения корней получаем . Следовательно, чтобы внести положительный множитель под знак корня, его надо возвести в квадрат.

Например, выражение    можно переписать в виде . Очевидно, что операции внесения и вынесения множителя взаимно обратны.

Отрицательные же числа вносить под знак корня квадратного нельзя!

Сокращение дробей содержащих арифметические квадратные корни

Свойство разложения  корней на множители, обратное свойству умножения, можно широко применять для сокращения дробей. При этом главная цель — найти для подкоренных чисел  или выражений общий множитель. Например,  . В этом выражении получить существенное упрощение не удалось, однако здесь продемонстрирован сам принцип.

В другом примере удается достичь более серьезного успеха, найдя общий для всех чисел множитель :

При выполнении сокращения одними знаниями свойств  корней не обойтись, потребуется знаний других приемов, например, формул сокращенного умножения и т.д. Для их применения может потребоваться представлять целые (и не очень) числа в виде квадратов корней из самих себя, например, и т.п. Пусть имеется дробь  Воспользовавшись равенством , можно разложить числитель по формуле разности квадратов  и записать исходную дробь в виде . Эта дробь сокращается до вида .

Если же надо вычислить корень из десятичной дроби, для безошибочного решения можно представить ее в виде обычной дроби и воспользоваться только что разобранным правилом: .  Дальше результат можно преобразовать обратно в десятичную дробь 0,7. Проверить вычисления можно возведением в квадрат: 0,7*0,7=0,49.

Математические операции с корнями являются одними из основных при изучении школьного курса алгебры. Поэтому без четкого усвоения понятия, что такое квадратный корень, без навыков,   как вычислить квадратный корень, доведенных до автоматизма, дальнейшее освоение математики практически невозможно.