Уже невозможно установить автора известной фразы:»Настоящая математика начинается там, где из нее исчезают цифры». Для многих студентов младших курсов факультетов естественных и точных наук такой переход (далеко не всегда безболезненный) от школьной математики к разделам высшей математики обычно начинается с изучения основ дифференциального исчисления.
Возникновение основ дифференциального исчисления в античные времена
В античный период развития математики многие философы и математики вводили понятия бесконечно малых величин и пытались разработать основные правила работы с ними. Известно, что с некоторыми базовыми понятиями работал еще Архимед в рамках решения задачи квадратуры круга. Большое влияние на развитие математики в этом направлении внес немецкий мыслитель Николай Кузанский. Считается, что дифференциальное исчисление было подготовлено его философскими размышлениями, в которых был сформулирована необходимость ухода от арифметики и необходимости решать математические проблемы новыми методами. Тем не менее, до начала 17 века ученые оперировали лишь элементарными понятиями, связанными с бесконечно малыми величинами, хотя нельзя не упомянуть Рене Декарта, который вывел связь между своими фундаментальными суждениями и основными тезисами, легшими затем в основу дифференциального исчисления.
Переход к современному дифференциальному исчислению.
«Отцами» современного дифференциального исчисления считают ученых, живших в 17-18 веках. В это время был совершен качественный скачок в развитии математики, который связывают со многими учеными, включая Ньютона и Лейбница. Считается, что именно они заложили базу современного математического аппарата, хотя нельзя забывать огромный вклад в этой области, который сделали в то время Декарт, Кеплер и другие выдающиеся деятели науки, и, несколько позже, Лагранж и Эйлер.
Сэр Исаак Ньютон
Имя этого английского ученого (годы жизни 1642 -1727) обычно связывают с работами по основам физики и астрономии. Однако, его открытия и фундаментальные выводы в этих науках не могли быть сделаны без использования математического аппарата, который в те годы был недостаточно развит. Вклад в развитие математики, включая дифференциальное счисление, помог Ньютону заложить базу открытий и в естественных науках.
Во время эпидемии чумы, живя в уединении в Вулсторпе — имении своего отца — он столкнулся с необходимостью решения задач по вычислению площадей криволинейных фигур. В процессе нахождения общих методов ему потребовалось находить касательные к произвольным кривым, и тогда Ньютон впервые ввел понятия флюксий и флюэнт — то, что мы сейчас называем производными и дифференциалами (этот термин позже ввел Лейбниц). Работа «Метод флюксий» не была опубликована при жизни ученого (как, впрочем, и многие его труды в области математики), тем не менее, в ней были заложены основы современного математического анализа.
Ньютон привел правила дифференцирования различных функций, включая степенные функции, разности, суммы, а также справился с нахождением производной от сложных функций. Ньютону принадлежат способы решения задач на нахождение экстремумов функций. Что касается проблемы нахождения решений дифференциальных уравнений, Ньютоном эта задача поставлена была, однако ее разработке он внимания практически не уделил.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Почти одновременно к разработке теории бесконечно малых приращений пришел и немецкий ученый Лейбниц. Хотя его интересовала не только математика, но наибольший след он оставил именно в ней. Пытаясь найти общие для всей природы законы, Лейбниц неизбежно пришел к тому, что это возможно только на основе математики. А начав разрабатывать математический аппарат, ученый не смог обойтись без понятия бесконечно малых величин, составляющих основу дифференциального исчисления. Первая его статья на эту тему была опубликована в 1684 году. Первые публикации вызвали довольно бурные споры, так как доказательств своих суждений Лейбниц не приводил, видимо, стремясь закрепить приоритет в этой области. В дальнейшей своей деятельности поиску и публикации этих доказательств ученый посвятил значительную часть своей жизни.
Среди математиков современности до сих пор ведутся споры, кто же все-таки является первооткрывателем современного дифференциального исчисления — Ньютон или Лейбниц. Скорее всего, истину в этом споре найти невозможно, так как периодические научные издания в то время если и были, то в зачаточном состоянии. да и научные традиции того времени не предполагали немедленной публикации собственных трудов. Можно принять за компромисс, что оба ученых пришли к своим идеям независимо и почти одновременно, хотя и несколько с разных сторон.
Дифференциальное исчисление в настоящее время
Серьезный вклад в дальнейшее развитие этого направления математики внесли такие ученые, как братья Бернулли, Тейлор и другие. Нельзя не упомянуть и Лагранжа и Эйлера, которые начали развивать теорию бесконечно малых величин абстрактно, без связи с физикой и механикой. Изучающим математический анализ в наши дни также известны имена Коши, Гаусса, Больцано и т.д.
На текущий момент дифференциальное исчисление развилось в мощный математический аппарат, позволяющий решать задачи не только теоретической математики и естественных наук, но и в различных прикладных областях. Например, в экономике этот инструмент используется для анализа связи различных экономических факторов и поиска их оптимального сочетания, при котором общее направление экономического вектора будет оптимальным и максимальным. В инженерии использование дифференциального исчисления позволяет анализировать структуры и распределение нагрузок, также находя оптимальные решения. В биологии этот математический инструмент используется для моделирования различных процессов, помогая понять, в каком направлении будет двигаться биологическая система при воздействии различных факторов. В компьютерной области без понятия производных не обойтись при создании систем искусственного интеллекта. Совершенно понятно, что и дальнейшее развитие науки и техники невозможно без применения этого математического аппарата, который начал разрабатываться еще в античное время.
