Производная: формулы, свойства, применение и задачи с решением

Приобретение и развитие навыка дифференцирования является важным этапом при изучении курса алгебры. Несмотря на обилие в интернете онлайн калькуляторов, нейросетей, примеров решений, которые можно подобрать почти к любому случаю, не разобравшись, как найти производную функции, нельзя начинать изучать последующие разделы алгебры, геометрии, физики, переходить к началам математического анализа.

Что такое производная в алгебре

Рассмотрим график произвольной функции y=f(x). В ее области определения выберем точку х₀. Этой точке будет соответствовать значение функции f(x₀). Выберем вторую точку х₁. Ей будет соответствовать значение функции f(x₁). Тогда интервалу изменения аргумента х₁-х₀=Δx будет соответствовать интервал изменения функции f(x₁)-f(x₀)=Δf(x). Эти интервалы называют приращением аргумента и приращением функции соответственно.

Запишем отношение приращения функции к приращению аргумента: Δf(x)/Δx. Если выбрать Δx очень маленьким (бесконечно малым), то есть, устремить Δx к нулю, то такое приращение обозначается, как dx, а соответствующее приращение функции – df(x). Тогда означенное соотношение записывается, как df(x)/dx и называется производной функции f(x). Окончательно можно записать f'(x)=df(x)/dx, и теперь говорят о значении производной не на интервале, а в точке x. В математике используются обе формы записи, они равнозначны. Однако, если у функции есть только один аргумент, удобнее пользоваться записью f'(x).

Если сравнить поведение двух функций  f(x) и g(x) при одинаковом Δx, то приращения функций у них будут, в общем случае, неодинаковыми. Если функция f(x) растет быстрее, чем g(x), то Δf(x)  на равном интервале будет больше, чем Δg(x) . При переходе к бесконечно малым приращениям получим  df(x)/dx>dg(x)/dx. В этом состоит математический смысл смысл производной — производная показывает скорость роста функции. Чем больше производная в точке x, тем быстрее растет функция.

Полезная информация о производной

Значение производной в конкретной точке а также определяет тангенс наклона касательной к графику функции в этой точке. И на самом деле, при относительно больших приращениях Δf(x)=Δy, а tgα= Δy/Δx, и это соотношение справедливо при переходе к бесконечно малым величинам. Можно записать, что f'(а)=tg(a).

Однако многие функции на заданном интервале не обязательно ведут себя одинаково.

Рассматривая график произвольной функции f(x) можно увидеть, что на различных интервалах она ведет себя по-разному:

• возрастает;
• убывает;
• переходит от возрастания к убыванию и наоборот.

Можно построить касательные к графику функции в характерных точках. На участках, где функция возрастает, касательная наклонена так, что ее тангенс (Δy/Δх) будет положительным (касательная зеленого цвета). Там, где функция убывает, Δy<0, поэтому Δy/Δх<0 и тангенс наклона будет отрицательным (синяя касательная). В тех же точках, где происходит переход от возрастания к убыванию (эти точки называются стационарными точками, а значение функции в этих точках — экстремумами), касательные горизонтальны (фиолетовые) и их тангенс наклона равен нулю.

Вспомнив, что тангенс наклона касательной в точке на графике функции  — значение производной в этой точке, делаем вывод:

• на интервалах, где значение производной больше нуля, функция возрастает;
• там, где f'(x)<0, функция убывает;
• в пунктах, где f'(x)=0, расположен экстремум функции.

Эти свойства широко применяются в алгебре и математическом анализе.

Формулы производной

На ранних этапах развития алгебры при решении задач, содержащих производные, каждый раз приходилось находить приращение функции, относить его к приращению аргумента, вычислять результат при стремлении приращения к нулю и т.д. Все это требует громоздких вычислений, поэтому в течение времени были выведены готовые правила нахождения производных от различных функций.

Производная от константы

Пусть функция представляет собой константу (например, g(t)=5). По графику очевидно, что функция не изменяется – не возрастает и не уменьшается — df(x)=0, Скорость ее роста тоже равна нулю — df(x)/dx=0. Отсюда правило: производная константы равна нулю (C’=0).

Производная от x

Рассмотрим линейную функцию s(х)=х. Она равномерно возрастает, скорость возрастания постоянна. Из графика можно увидеть, что приращение функции и аргумента всегда равны (df(x)=dx), поэтому s'(х)=1.

Производная от степени

Для степенной функции все не так очевидно. В общем виде формула для производной от степени выглядит, как (xn)’=nх^n-1. Для функции w(х)=x² можно увидеть, что приращение функции равномерно увеличивается. Для приведенного примера (x²)’=2х.

Производная от квадратного корня

Формулу для этой функции всегда можно вывести из предыдущей, памятуя, что √a=a^1/2. А можно запомнить готовый результат (√х)’=1/(2√х), а вывод оставить для случаев дифференцирования корней большей степени.

Производная от синуса

Переменный характер носит и скорость роста функции y=sin(x). Производная sin'(x)=cos(x).

Производная от косинуса

Косинус представляет собой синус, сдвинутый на 90 градусов. Производная cos'(x)=-sin(x).

Производная от тангенса

Еще более сложное поведение носит характер изменения функции тангенса. Ее производная выглядит, как tg'(x)=1/cos²(x).

Производная от котангенса

Схоже выглядит и график котангенса. Производная сtg'(x)=-1/sin²(x).

Производная от экспоненты

График экспоненты на первый взгляд, выглядит обычно. Но при ее исследовании оказывается, что при любом Δx приращение функции равно e^Δx/Δx. Отсюда (e^x)’= e^x. Особенностью этой функции является то, что ее можно дифференцировать сколь угодно много раз — она не изменится. А тангенс наклона касательной в произвольной точке a равен e^a.

Производная от показательной функции

Глобально же экспоненциальная функция является частным случаем степенной функции y=b^x, для которой производная в общем случае равна (b^x)’= b^x*lnb. Например, для y=3^x производная равна (3^x)’= 3^x*ln3, а если b=e, то, исходя из того, что ln(e)=1, получаем формулу предыдущего раздела.

Производная от натурального логарифма

Рассматривая график функции натурального логарифма, легко заметить, что его рост замедляется с ростом x. Такое поведение соответствует производной ln'(x)=1/x.

Производная от логарифма

Натуральный логарифм, имеющий основание e, является частным случаем обычного логарифма с произвольным основанием. В общем случае производная имеет вид log_b‘(x)=1/(x*lnb). Для частного случая b=e, формула примет вид, указанный в предыдущем разделе.

Свойства производной

При решении практических задач чаще всего приходится находить производные не от простых функций, а от составных, представляющих собой арифметические сочетания более простых функций. Для таких случаев выведены формулы и правила нахождения производных, позволяющие упрощать дифференцирование.

1. Интуитивно понятно и легко запоминается формула производной суммы (разности). (s±t)’=s’±t‘, что означает, что производная от суммы (или производная от разности) равна сумме (разности) производных.
2. Также несложно правило для дифференцирования функции с константой. (Cz)’=C(z‘), что означает, что постоянную можно выносить за знак производной.
3. Формула произведения производных выглядит несколько более сложно. (s*t)’=s’t+st’ — здесь уже требуется определенное усилие по запоминанию.
4. То же самое относится и к производной от частного. Она не равна делению производных, а вычисляется по формуле (s/t)’=(s‘t—t‘s)/t² .
5. Формула дифференцирования сложной функции (g(u))’=g(u)’*u‘ требует отдельных пояснений. В этом случае в одну функцию «вложена» другая функция. Например, надо найти производную от y=(3x-5)⁸. Функция под знаком степени в формуле играет роль функции u, так ее и обозначим:u=3x-5 (а u’=3). Тогда производную запишем в виде g(u)’=((u)⁸)’=8u⁷. Окончательно ((3x-5)⁸)’=8u⁷*3=24 u⁷.

Исследование функции с помощью производной

Используя рассмотренные свойства производной, можно изучать поведение функций. Для примера можно исследовать функцию y=sin(x) на отрезке [0;2π].

В первую очередь, находим производную исследуемой функции: sin'(x)=cos(x). На рассматриваемом интервале косинус равен нулю в двух точках:

• π/2
• 3π/2 (или 1,5π)

Получили 2 стационарные точки и 3 интервала между ними:

• (0; π/2)
• (π/2; 3π/2)
• (3π/2; 2π)

Чтобы определить знак производной на каждом интервале, надо вычислить значение косинуса в любой промежуточной точки интервала:

• для первого участка можно взять табличное значение cos(π/6)=(√3)/2, и здесь sin'(x)>0;
• для второго интервала cos π=-1, здесь sin'(x)<0;
• для третьего – cos(5π/3)=0,5, и sin'(x)>0.

Следовательно, на заданном интервале (0;2π) функция y=sin(x):

• возрастает при х∈(0; π/2);
• убывает при х∈( π/2;3π/2);
• вновь возрастает при х∈(3π/2;2π).

Полученный результат легко проверяется по графику синуса.

Построение графика функции с помощью производной

Свойства производной можно использовать и для построения графиков функций. Пусть надо построить график функции v(t)=-t²+t+6. Для построения графика аналитическим способом надо собрать как можно больше сведений о функции. Предварительный анализ показывает, что график представляет собой параболу, ветви которой будут направлены вниз, а область определения лежит на интервале (-∞;∞). Исследование на четность покажет, что функция не является ни четной, ни нечетной, так как для произвольных t:

• v(t)≠ v(-t)
• v(t)≠ -v(t)

Следовательно, график не будет симметричным ни относительно начала координат, ни относительно оси абсцисс.

Теперь продифференцируем функцию: v'(t)=-2t+1+0=1-2t. Эта функция равна нулю в точке 1-2t=0, отсюда стационарная точка 2t=1=> t=0,5. Значение функции в этой точке равно v(0,5)=-0,25+0,5+6=6,25 – и это единственный экстремум.

Получили два интервала и стационарную точку. Сведем результаты в таблицу.

Интервал или точка	(-∞;0,5)	0,5	(0,5; ∞)
Знак производной		0
Значение функции		6,25

Теперь надо определить поведение функции на обоих интервалах. Подставив в производную 0, получим v'(0)=1, и функция возрастает на участке (-∞;0,5). Посчитав v(1), получим -1 и убывание функции на интервале (0,5; ∞). Теперь можно заполнить таблицу окончательно:

Интервал или точка	(-∞;0,5)	0,5	(0,5; ∞)
Знак производной	+	0	—
Значение функции		6,25

Теперь осталось найти точки пересечения графика с осью Ох. Для этого надо решить уравнение -t²+t+6=0. Находим корни:

• -2;
•  3

Объединив найденные сведения, можно построить график функции.

Задачи на тему производная

Задача 1. Найти производную функции u(z)=6*ln(z).

Решение. По  правилу вычисления производной с константой, постоянный множитель можно вынести из под производной. Отсюда u'(z) =6*(ln(z)’)=6*(1/z)=6/z.

Задача 2. Найти производную функции r(t)=t³+3t².

Решение. По  формуле производной суммы, r'(t) может быть вычислена, как сумма производных. Следовательно, r'(t)= (t³)’+(3t²)’=3t²+3*2t=3t²+6t.

Задача 3. Продифференцировать функцию s(x)=х²-2cos(x).

Решение. Так как производная разности двух функций равна разности производных, решение ищется в виде s'(x)=(x²)^‘-(2cos(x))’. Следовательно, s'(x)=2x-(2*(-sin(x)=2х+2sin(х).

Задача 4. Найти производную функции y(t)=t*sin(t).

Решение. Применяя правило производной произведения, можно записать y'(t)=t’*(sin (t))+ t*(sin (t)’), отсюда y'(t)=sin (t)+t*cos (t).

Задача 5. Продифференцировать u(p)=sin(tg(p)).

Решение. Нахождение этой производной требует применения  правила нахождения производных сложных функций g(f(x))’=g'(f)*f(x)’. В данном случае в приведенной  формуле f(x) — это tg(p). найдем ее производную: tg(p)’=1/cos²p. В качестве g'(f) в этой ситуации — это sin'(tg(p)), и эта производная равна cos(tg(p)). Следовательно, u'(p)=sin(tg(p))’= cos(tg(p))/cos²p.

Задача 6. Найти наибольшие и наименьшие значения функции h(z)=z³-6z²+9z-11 на отрезке [0,5;3,5]

Решение. Наибольшего или наименьшего значения на ограниченном участке области определения функция может достичь или в граничных точках участка, или в точках перегиба. Найдем особые точки, для этого сначала продифференцируем функцию:

h'(z)=3z²-12z+9.

Приравняем производную к нулю, получив квадратное уравнение:

3z²-12z+9=0

Решая это уравнение, получим корни, в которых функция имеет перелом на графике:

• z₁=1
• z₂=3

Оба корня попадают в указанный отрезок. Находим значения функции в этих точках, а также на краях отрезка:

• h(1)=-7
• h(3)=-11
• h(0,5)=-7,875
• h(3,5)=-10,175

Отсюда наибольшее значение функции на отрезке — h(1)=-7, наименьшее — h(3)=-11. Правильность решения наглядно видна на графике функции.