Корни комплексных чисел и их свойства

При переходе к изучению комплексных чисел у части учащихся могут возникнуть затруднения из-за абстрактности такого рода чисел, невозможности их прямого сравнения и некоторого усложнения алгебраических действий. Особое внимание надо уделить теме извлечения корней из комплексных чисел, так как математические операции имеют радикальные отличия и требуют применения специальных формул.

Определение комплексного корня

Определение корня любой степени из вещественного числа относится к базовым понятиям алгебры. Всем известно, что таким корнем из числа b является такое число r, заданная степень которого равна b. Это можно записать в виде , где . Аналогичное определение вводится и для корня степени n из комплексного числа: корнем степени n из комплексного числа z называется такое число w, для которого выполняется равенство wⁿ=z.

Однако в области комплексных чисел все не так просто, как в области вещественных. Например, недопустимый для области R корень четной степени из отрицательного числа вполне имеет право на существование в области комплексных чисел С.

Формула корней

Как известно, наиболее распространенная форма записи мнимого числа – z=d+i*b, где:

• d – вещественное число, обозначающее действительную часть;
• i=√-1 (в современной математике правильной считается запись i²=-1);
• b – вещественное число, обозначающее мнимую часть.

Такой вид записи называется алгебраической формой. Однако для представления комплексных чисел могут быть использованы и иные формы:

• показательная (не рассматривается подробно в этой статье);
• геометрическая (будет рассмотрена в следующем разделе).

По теме же извлечения корней из комплексных чисел наиболее подходящим же будет тригонометрическое представление: z=r*(cosφ+i*sinφ). В этой записи:

• r=|z| — модуль комплексного числа, он равен ;
• угол φ, который называется аргументом комплексного числа, он равен arctg(b/d), он также обозначается, как argz.

Надо заметить, что указанная формула для аргумента легитимна только в I и IV квадрантах (правая полуплоскость, положительная действительная составляющая – d>0). В других случаях формула аргумента примет вид:

• если d<0, а b>0 (II квадрант), то аргумент находится, как φ= π+arctg(b/d);
• если d<0, и b<0 (III квадрант), то аргумент находится, как φ=-π+arctg(b/d).

Прежде, чем перейти непосредственно к формуле  извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, надо отметить факт, отличающий действия с вещественными числами от операций с комплексными. В первом случае, как известно, из любого числа и каждой степени можно извлечь единственный корень. Для комплексных чисел одному числу соответствуют несколько корней (далее будет показано, что для корня степени n число корней также будет равно n).

Например, требуется найти корень второй степени w=√-9. В этом случае имеется два значения w:

• w₁=-3i
• w₂=3i

Для проверки можно возвести оба числа в квадрат:

• (3i)²=3²*i²=9*(-1)=-9
• (-3i)²=-3²*i²=9*(-1)=-9

Так можно извлекать корни (не только квадратные) из чисел с нулевой действительной частью (в выражении z=d+i*b число d равно 0). Чтобы извлечь корень из рандомного комплексного числа, его придется представить в тригонометрическом виде и применить формулу, которую называют обратной теореме Муавра (она позволяет найти степень комплексного числа):

,

где:

• w – комплексное число;
• m – степень корня;
• φ – аргумент числа w;
• r – модуль числа w.

Число k имеет значения от 0 до m-1 (например, для квадратного корня 0 и 1, для кубического – 0,1 и 2 и т.д.).

Геометрическая интерпретация

В математике часто применяется графическое изображение комплексных чисел. Любое число вида z=d+i*b можно представить в виде точки с координатами на плоскости z(d;b). В качестве примера на чертеже отмечено число z=3+i*5.

По сути, то, что названо геометрическим представлением, это указание одного комплексного числа посредством двух чисел — координат на декартовой поверхности. Ось абсцисс в этом случае принято называть действительной осью (Rez), а ось ординат – мнимой (Imz).

Тригонометрическое же представление – это запись комплексного числа в системе полярных координат на плоскости. Если провести из начала координат в точку z радиус –вектор, то его длина будет равна модулю (что очевидно из теоремы Пифагора), а угол наклона относительно действительной оси – аргументу этого числа.

Конечно, всегда можно перевести число из одной формы записи в любую другую. Его значение при этом не изменится — это просто представление одного и того же числа в разном виде.

Анализируя формулу извлечение корня из комплексного числа, можно заметить, что модуль зависит только от значения мнимой и действительной частей исходного числа. Это означает, что все радиус-векторы корней будут иметь одну длину, а их геометрическое место – окружность с центром в начале координат и радиусом r.

Решим несложный пример, извлечем корень 3 степени из числа w=i. В этом числе:

• действительная часть Rew=0
• мнимая часть Imw=1.

Вычисляем модуль:

Теперь можно записать число w в тригонометрической форме:

w=1*(0+i*1)=1*(cos(π/2)+i*sin(π/2)). Подставив эту запись в формулу корней, получим

В этой формуле n=0,1,2, так как должно в итоге получиться три решения.

Запишем корни:

• z₁=1*cos(π/6)+isin(π/6)
• z₂=1*cos(π/6+2π/3)+isin(π/6+2π/3)
• z₃=1*cos(π/6+4π/3)+isin(π/6+4π/3)

Если изобразить эти точки на комплексной плоскости, то окажется, что:

• все они лежат на окружности с радиусом, равным r=1;
• разбивают окружность на 3 равные части (т.е. образуют вершины правильного треугольника);
• точка, обозначающая корень z₁, лежит на пересечении окружности и луча, исходящего из начала координат под углом π/6 (этот угол называют начальным лучом);
• точки остальных корней из комплексного числа сдвинуты относительно друг друга на угол 2π/3.

Отсюда можно вывести пошаговый путь нахождения корней комплексного числа w графическим способом:

• исходное число должно быть в тригонометрической форме, если нет – перед тем, как извлечь корень, надо перевести число в эту форму;
• найти модуль корня ;
• построить круг с центром в начале координат радиусом r;
• из точки начала координат построить начальный луч с под углом к оси Rez, равным arg(w)/m;
• точка его пересечения с окружностью даст первый корень;
• построить остальные лучи с шагом 2π/m.

Точки пересечения каждого луча с окружностью дадут значения корней.

Этот алгоритм эффективен, когда отклонение начального угла и аргумент числа, из которого извлекается корень, имеют «удобные» значения (табличные и т.д.), а эта ситуация встречается часто.

Разберем еще пример. Требуется отметить на комплексной плоскости все значения корней . Формула для корней выглядит так:

. Отсюда:

• радиус окружности равен ;
• угол начального луча равен π/16;
• шаг остальных лучей — π/16.

Выполним построения.

Результат совпал с ожидаемым – 4 точки расположились на окружности, образовав правильный четырехугольник с прямыми углами (квадрат). Если выполнить те же операции, например, для корня 6-й степени, можно увидеть, как точки расположатся в вершинах правильного шестиугольника.

Почему корней всегда ровно n

Теперь визуально понятно, почему у корня n-й степени из комплексного числа количество корней – n. Если построить n вершин многоугольника, то следующая с номером n+1 совпадет с ранее построенной начальной (с нулевым номером) вершиной, следующая, с номером n+2, совпадет с вершиной с номером 1 и т.д. Поэтому дальнейшее вычисление корней не имеет смысла.

Чтобы убедиться в этом алгебраическим путем, придется вновь вернуться к формуле . Найдем в ней значения только первого (k=0) и последнего (k=m-1) членов:

• 
• 

Пусть теперь k=m. Формула запишется в виде  или . Так как синус и косинус – периодичные функции с периодом 2πn, выражение для корня с k=m можно записать в виде , что совпадает с записью для z₀.

Тем же путем можно показать, что корень, для которого k=m+1 совпадет с корнем с номером 1, корень с номером k=m+1 – с корнем 2 и т.п. Таким образом, другим путем пришли к тому же выводу.

Примеры

Попрактиковаться в извлечении корня из комплексного числа можно посредством разбора и решения примеров. Перед решением непосредственно задач на нахождение комплексного корня, можно потренироваться в переводе записей чисел из одного вида в другой — это нередко вызывает затруднения и сомнения.

Пример 1. Трансформировать из алгебраической формы записи в тригонометрическую комплексные числа: w₁=1, w₂=3i, w₃=-5, w₄=-2i.

Решение. В первую очередь следует понимать, что в глобальном смысле любое число является комплексным, но у вещественных мнимая часть равна нулю. Так, у числа 1 Re(w₁)=1, Im(w₁)=0, и полная запись этого числа будет выглядеть, как 1+i*0. Теперь найдем модуль числа (в данном случае считается устно) – r=1. Аргумент же будет равен 0, как arctg(0/1). Визуально это выглядит, как нулевой угол от действительной оси (радиус-вектор лежит вдоль оси Rez). Отсюда в тригонометрической форме можно записать: w1=1*(cos0+i*sin0)=cos0+i*sin0 (дальше считать значения синусов или применять какие-либо формулы тригонометрического преобразования не надо!)

Точно так же выглядит перевод числа -5. Модуль равен 5 (как длина отрезка). Так как действительная часть меньше нуля, то аргумент  находится, как φ=(π+arctg(0/5))=(π+arctg0)=π. Визуально – вектор длиной 5 единиц, лежащий на действительно оси и направленный в сторону отрицательных значений. Поэтому в тригонометрической форме запись выглядит, как w₃=5*(cos π+i*sin π).

Пример 2. Перевести из алгебраической формы записи в тригонометрическую более сложные комплексные числа: w₁=-1+3i, w₂=1-√3i, w₃=4+√2i.

Решение. Сначала находим модуль числа . Так как b<0 и d>0, то число расположено в III координатной четврерти, и φ=π+arctg(3/(-1))=π+arctg(-3). В данном случае можно воспользоваться свойством нечетности арктангенса, записать φ=π-arctg3. Аргумент под знаком арктангенса не табличный, поэтому тригонометрическая форма будет выглядеть так: w₁=√10*(cos(π-arctg3)+i*sin(π-arctg3)).

Для числа w₂ модуль будет равен . Теперь находим аргумент, исходя из того, что действительная часть неотрицательна: φ=arctg(-√3/1)= arctg(-√3)=-arctg(√3). Этот арктангенс можно найти в стандартных таблицах, он равен π/3, отсюда φ=- π/3. Отсюда искомая запись: w₂=2*(cos(-π/3)+i*sin(-π/3).

Модуль w₃ равен . Как и в предыдущем примере, действительная часть больше нуля, поэтому φ=arctg(√2/4)=arctg(√2/4) — можно оставить в таком виде, можно преобразовать до arctg(1/(2√2)), в данном случае не принципиально. В итоге запишем w₁=3√2*(cos(arctg(1/(2√2))+i*sin(arctg(1/(2√2))).

Пример 3. Извлечь корень 4 степени из комплексного числа -9.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой корня n степени из комплексного числа,  в первую очередь надо перевести -9 в соответствующую форму. В данном случае r=9, число перепишется в виде -9=9*(-1+0*i) или -9=9*(cosπ+i*sinπ). Перед тем, как выполнить подстановку, сразу определим, что корней будет четыре: z₁, z₂, z₃, z₄.

Вычисляем:

. В данной ситуации необязательно получать корень стандартном тригонометрическом виде, поэтому можно преобразовать далее:

 или . По тому же принципу найдем оставшиеся три корня:

Пользуясь периодичностью синусов и косинусов, можем записать: