Изучение бесконечно малых (БМ) функций является одним из наиболее важных разделов математического анализа. Это понятие является ключевым при понимании непрерывности, дальнейшем изучении интегрирования, дифференцирования, а также важно для решения практических задач математики и естественных наук.
Бесконечно малые функции
Знакомство с областью бесконечно малых функций можно сразу начать со строго алгебраического определения. Функция g(х) называется бесконечно малой при х→b (где b – вещественное число или даже точка, удаленная в ±∞), если 
. Визуально это можно представить, как пересечение графиком функции оси абсцисс в точке b или приближение к ней в пределе.
Пример 1. Функция y=6x-3. Пересекает ось Ох в единственной точке х=0,5.
Для алгебраической проверки вычисляем предел функции при х→0,5 прямой подстановкой: 
. Следовательно, функция будет примером бесконечно малой функции при х→0,5.
Пример 2. Функция h(t)=t2+4t+3. Ее график пересекает ось абсцисс в точках t1=-1 и t2=-3.
Вычисляем пределы:
Проверка дала тот же результат.
Пример 3. Функция h(x)=1/x2. Ее график не пересекает ось абсцисс ни в единой точке.
Однако она бесконечно близко приближается к ней. Иными словами, если взять любое число A, то при увеличении (или уменьшении) аргумента х всегда найдется такое значение функции, что h(x)<А. А это соответствует определению предела на бесконечности по Гейне, т.е. 
(также верно 
.). Это означает, что функция h(x)= 1/x2 бесконечно мала при х→±∞.
Важный момент: функция бывает бесконечно малой только в определенной точке (или в нескольких точках). Бесконечно малых функций «вообще» не существует.
Кроме того, существуют функции, не являющиеся БМ на всей области определения. Например, квадратичная функция g(t) = 4t2 + 2t + 2. Ее график не пересекает ось абсцисс ни в одной точке и не приближается к ней в пределе.
Также надо отметить, что функции вида g(х)=С, где С — константа, не могут являться БМ, сколько малым бы ни было значение С. Исключение — g(х)=0. Эта функция бесконечно мала на всей области определения.
Проверку на «бесконечную малость» можно выполнить различными способами. Например, можно проверить, используя определение бесконечно малой функции. Например, чтобы показать, что функция d(t)=1/t4 является БМ при t→+∞, надо вычислить предел 
. Этот предел равен нулю, поэтому функция при данных условиях является БМ.
Свойства бесконечно малых функций
Первое, что необходимо знать о свойствах бесконечно малых функций – с ними можно выполнять операции сложения (вычитания), а также умножения. С делением вопрос обстоит немного сложнее, и он подробнее будет разобран далее. А для случая сложения (вычитания) можно утверждать, что для БМ при х→b функциях a(х) и b(х) предел 
. Иными словами, сумма (разность) двух бесконечно малых функций есть также бесконечно малая функция. Это утверждение можно расширить: сумма нескольких БМ в точке b функций также является бесконечно малой.
Аналогичное утверждение действительно и для произведения двух БМ функций: если при х→d функции a(х) и b(х) являются БМ, то и их произведение бесконечно мало. То есть, существует предел 
и он равен нулю.
Другая ситуация – если попытаться умножить БМ при х→с функцию a(х) на ограниченную в окрестностях точки с функцию g(х) (|g(х)|<M). Для этого случая произведение также будет являться бесконечно малой функцией — 
.
Кроме этого, возможно умножение БМ функции на функцию вида f(x)=C, где С – константа. Такое произведение также даст в результате бесконечно малую функцию.
Сравнение бесконечно малых функций
Пришло время разобраться с делением БМ функций. Пусть заданы бесконечно малые при х→0 функции a(х)=4х3 и b(х)=х5 (легко показать, что при х→0 пределы обеих функций равны нулю). Предел от частного b(х)/a(х) находится легко:
Теперь найдем предел от частного a(х)/b(х):
Дело в том, что, хотя обе функции стремятся к нулю, при аргументе, стремящемся к нулю, a(х)=4х3 стремится к пределу «с меньшей скоростью», чем b(х)=х5. Это видно на графике обеих функций недалеко от нуля – синяя линия (y=х5) приближается к оси абсцисс раньше, чем красная (y=4х3).
Кроме того, можно составить таблицу точных значений в районе нуля для обеих функций. Она подтверждает, что одна из функций достигает нуля быстрее.
| х | -0,1 | -0,01 | -0,001 | 0 | 0,001 | 0,01 | 0,1 |
| 4х3 | -0.004 | -0.000004 | -0.000000004 | 0 | 0.000000004 | 0.000004 | 0.004 |
| х5 | -0.00001 | -0.0000000001 | -0.000000000000001 | 0 | 0.000000000000001 | 0.0000000001 | 0.00001 |
Это алгебраическое явление позволяет говорить о том, что БМ функции стремятся к нулю «с разной скоростью», или что одна из функций «более маленькая», чем другая. Так БМ функции сравнивают между собой.
Бесконечно малые функции одного порядка
При сравнении БМ функций в точке k (при условии существования предела 
) возникают различные варианты соотношений:
. В этом случае b(t) «убегает» в ноль быстрее, чем a(t), и говорят, что b(t) по сравнению с a(t) имеет более высокий порядок «малости». Самым распространенным примером может служить уже рассмотренный случай соотношения степенных функций при х→0, когда степень переменной числителя больше степени знаменателя (другой пример — 
).- Вторая ситуация —
. В этом случае больший порядок «малости» имеет функция в знаменателе a(t), она заставляет стремиться соотношение БМ функций в бесконечность. В предыдущем разделе такой пример разобран – это соотношение степенных функций, при котором степень переменной функции a(t) больше степени у b(t). Другой пример — 
. Иногда говорят, что в этом случае b(t) и a(t) несравнимы между собой. - Третий случай —
, где n – любое число, не равное нулю. В этом случае говорят об одинаковом порядке «малости» функций b(t) и a(t) – они «идут» к нулю с одинаковой дистанцией, но с соотношением «скоростей», равным n. Примером таких функций могут служить b(t)=sin22t и a(t)=t2 при t→0. Это можно определить, вычислив предел 
.
Теперь можно добавить еще одно утверждение для случая вычитания одной БМ из другой эквивалентной ей БМ. В этой ситуации итоговая разность будет иметь более высокий порядок относительно каждой из исходных функций.
Для сложения дополнительное свойство может быть сформулировано следующим образом. Если из суммы нескольких БМ различного порядка отбросить БМ высших порядков, то получившаяся оставшаяся часть (ее называют главной) будет эквивалентна всей сумме.
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Наряду с бесконечно малыми функциями, в математическом анализе существует и понятие бесконечно больших (ББ) функций. Из противоположности названий следует и определенная противоположность определения. Бесконечно большой при аргументе b называется такая функция f(t), для которой 
. Как и для бесконечно малых, ББ функция может быть только в точке (одной, нескольких или на бесконечном множестве), в число которых могут входить и бесконечности.
Самый простой пример функции, бесконечно большой при z→∞: y=z. Очевидно, что ее график при бесконечном увеличении аргумента «уходит» в бесконечность. И так же, как в случае с БМ, бесконечно большими функциями не могут быть зависимости вида h(t)=C, сколь большой ни была бы константа С.
Интуитивно понятно, что бесконечно большие и бесконечно малые функции связаны между собой. На алгебраическом языке их связь формулируется теоремой.
Если в точке b функция g(х) является бесконечно большой, то в этой же точке функция h(х)=1/g(х) является бесконечно малой. И наоборот: если при х→b БМ функция g(х)≠0, то h(х)=1/g(х) является бесконечно большой. В качестве иллюстрации приведены графики функций y=x4 и y=1/x4. Очевидно, что в проколотой окрестности точки 0 функция y=x4 является БМ, при этом y=1/x4 является ББ. Если же аргумент устремить в ±∞, то y=x4 будет бесконечно большой, в отличие от БМ y=1/x4.
Также можно отметить, что одна и та же функция в одной (или одних) точках может быть БМ, а в других точках — ББ. Например, g(z)=1/z является бесконечно малой, если z→-∞ или z→+∞, но является бесконечно большой при z→0.
А, например, функция sinφ будет БМ в бесконечном количестве точек (φ=0, π, 2π и т.д.). Но синус является ограниченным на всей области определения, поэтому ББ эта функция ни в одной точке не является.
Свойства эквивалентных бесконечно малых
При сравнении порядка «малости» функций особое внимание надо уделить случаю, когда функции имеют одинаковый порядок, и существует предел 
. В этом случае функции g(t) и h(t) называют бесконечно малыми эквивалентными функциями. В алгебре это обозначается, как g(t)~h(t).
Примером такого сочетания может служить пара g(t)=t и h(t)=tet при t стремящемся к 0. Найдем предел 
. Эквивалентность доказана.
Если построить совместный график этих функций, то очевидно, что в окрестностях х=0 оба графика практически совпадают.
Существует теорема, позволяющая заменять БМ функции на эквивалентные. Она гласит, что если имеются бесконечно малые при х→d функции a(х), a1(х), b(х), b1(х), при этом a(х)~a1(х) и b(х)~b1(х), то 
. Этим приемом можно пользоваться для упрощения вычисления пределов в точках, при стремлении аргумента к которым обе функции являются БМ. Однако следует помнить, что так можно делать только для произведения или частного, но не для суммы бесконечно малых функций или их разности.
Некоторые замечательные пределы
При изучении эквивалентности функций не может не прийти в голову мысль о стандартных пределах в виде отношения двух функций и равных единице. В первую очередь это так называемый первый замечательный предел: 
. Так как он равен 1 при стремлении аргумента к 0, то очевидно, что функции числителя и знаменателя являются БМ, при этом они эквивалентны. Можно увидеть это визуально, построив графики функций. Очевидно, что чем ближе к точке начала координат, тем больше графики сливаются между собой.
Очевидно, что при α→0, значение sin α≈ α. Все сказанное можно отнести и к пределам, считающимися следствием из первого замечательного и также равнымb 1:
Помимо этого, к замечательным пределам, равным 1, относят менее распространенные пределы соотношения функций (некоторые из них считаются следствиями второго замечательного предела):
, где b — строго положительное число, не равное 1;
;
Пары функций, входящие в каждый из этих пределов в качестве числителя и знаменателя, называют замечательными эквивалентностями. Их широко используют при нахождении пределов, а также при решении задач на дифференцирование и интегрирование. Например, эквивалентными при t→0 считаются функции g(t)=t и h(t)=sin(t). Следовательно, при нахождении предела 
можно заменить sin3t на эквивалент 3t, и предел запишется в виде 
. Такая замена возможна, так как выше показано, что в районе нулевого аргумента график функций g(t)=t и h(t)=sin(t) практически сливаются. Также следует заметить, что в качестве параметра t может выступать не только простая переменная, но и любое алгебраическое выражение (функция). Главное, чтобы она стремилась к нулевому значению.
Доказательства приведенных утверждений и теорем можно найти в литературе. Целью данной статьи являлось введение в область бесконечно малых функции и их свойств для дальнейшего изучения математического анализа.
