Геометрия в пространстве: координаты векторов, плоскости и расстояния между элементами

Векторно-координатный метод в стереометрии позволяет упростить подходы к решению многих задач по стереометрии, сложность которых в 11 классе и в программе ЕГЭ (профиль) весьма высока. Его применение не требует понимания и запоминания сложных определений. Кроме того, решение задач методом координат зачастую позволяет обойтись без громоздких стереометрических построений. Однако есть и недостатки — к ним, в основном, относится необходимость владения сложными алгебраическими приемами, в частности — умение работать с определителями. Суть этого способа в описании фигур и соотношений между ними с помощью координат, что позволяет перейти от геометрических методов к алгебраическим.

Координаты вектора

Важным инструментом при использовании метода координат в пространстве является работа с векторами. Как известно, в общем случае вектором в геометрии называется направленный отрезок, имеющий не только длину, но и направление (начало и конец). Однако в стереометрии за вектор может быть взят любой отрезок. Это может быть сторона треугольника, ребро куба и т.п. Кроме того, произвольно может быть расположена система декартовых координат – начало отсчета, направление попарно-перпендикулярных осей и т.п. Все зависит от условия решаемой задачи.

Например, на приведенном чертеже начало координат выбрано на вершине куба в точке А. Направление осей совпадает с ребрами куба, а сами ребра можно назвать векторами.

Для решения задач требуется ввести понятия координат вектора. Пусть в выбранной системе координат имеется отрезок, начало которого расположено в точке В с координатами х_b, у_b, z_b.(следует вспомнить, что в трехмерной системе каждая точка имеет три координаты). Конец отрезка А имеет координаты х_a, у_a, z_a. Тогда координатами вектора в этой системе декартовых координат будут числа х,у,z, при этом:

• х= х_a-х_b;
• у= у_a-у_b;
• z= z_a-z_b.

Это записывается, как . Например, у вектора  начальная точка V расположена в позиции (5;2;4), а конечная точка W – в позиции (7;-2;0). Тогда координаты этого вектора записываются, как {5-7; -2-2; 4-0} или {-2;-4;4}.

Нелишне упомянуть, что длину вектора в этом случае можно найти, как . Эта формула пригодится в дальнейшем.

Скрещивающиеся прямые

Помимо пересекающихся и параллельных прямых, широко распространенных в планиметрии, в стереометрии существуют и так называемые, скрещивающиеся прямые. Эти прямые не пересекаются, хотя и не параллельны. При этом они лежат в различных плоскостях (прямые АВ и CD на чертеже), что делает их существование и применение характерной особенностью стереометрии.

Полезно запомнить и другие свойства скрещивающихся прямых:

• одна из них пересекает поверхность, на которой лежит вторая прямая в точке, не лежащей на второй прямой;
• через две такие прямые невозможно провести одну плоскость.

Применительно к геометрическим фигурам, например, скрещивающимися являются прямые, содержащие грани куба, которые прилегают к противоположным граням. На чертеже такими прямыми являются AD и C₁D₁, на которых расположены соответствующие грани.

Уравнение плоскости

Полное уравнение плоскости записывают в виде A₁х+A₂y+А₃z+A₄=0. В этом выражении A₁..A_{4 – числа,} отличные от нуля (в этом случае уравнение называется полным). Если хотя бы один множитель равен нулю, то уравнение называется неполным. Координаты любой точки, лежащей на поверхности, заданной уравнением такого вида, обращает это уравнение в верное равенство. Например, точки P(1;2;-11) и Q(–1;2;-9) лежат на плоскости, заданной уравнением х+5y+z=0.

Для анализа взаимного расположения плоскостей и других фигур, а также для решения задач, надо ввести определение нормали. Этим термином обозначается вектор (обычно, единичный, но не всегда – однако его длина должна быть отлична от нуля), перпендикулярный плоскости, то есть, лежащий на прямой, проходящей через какую-либо точку поверхности и перпендикулярной этой поверхности. Так как поверхность состоит из бесконечного множества точек, то и таких прямых тоже будет бесконечное количество. Следовательно, к каждой плоскости можно построить бесконечное количество нормалей.

Если известно уравнение плоскости в виде A₁х+A₂y+А₃z+A₄=0, то нормаль произвольной длины будет иметь координаты . Нахождение координат такого вектора сводится к «сбрасыванию» коэффициентов при координатах плоскости. Так, для плоскости 7х+y+6z+8=0 нормаль будет иметь координаты . Однако если уравнение поверхности неполное, его надо дополнить нулевым коэффициентом. Например, имеется запись 3х+2y+5=0. Коэффициент при координате z равен нулю, поэтому следует переписать уравнение до вида 3х+2y+0*z+5=0, и координаты нормали будут заданы, как . Также следует отметить, что для того, чтобы найти координаты единичной нормали, надо каждую из координат разделить на длину вектора.

И наоборот – если есть нормаль с координатами , то можно построить исходную поверхность с коэффициентами A₁х+A₂y+А₃z=0. В этой формуле отсутствует свободный коэффициент A₄, определяющий сдвиг плоскости относительно начала координат. Записать полное уравнение можно, если известны координаты любой точки полученной плоскости. Подставив их в полученную запись, можно восстановить уравнение полностью.

Пусть имеется нормаль с координатами . Тогда можно восстановить уравнение поверхности в виде 5х+6y+7z=0. Если известно, что точка L(7;8;9) расположена на этой плоскости, то можно записать 5*7+6*8+7*9+A₄=0 или 35+48+63+A₄=0. Отсюда A₄=-35-48-63=-146, и окончательное уравнение запишется, как 5х+6y+7z-146=0.

Расстояние от точки до плоскости

Координаты, если они известны, можно использовать для  определения расстояния между плоскостью σ, заданной посредством уравнения A₁х+A₂y+А₃z+A₄=0, и произвольной точкой M₀, лежащей вне этой поверхности и имеющей координаты M₀(х₁;у₁;z₁). Геометрически это расстояние равно длине отрезка-перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на поверхность до пересечения в точке Н. Формула расстояния от точки до плоскости выглядит так:

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым (он называется общим перпендикуляром). Так, на чертеже для прямых a и b таким отрезком является MH, опущенный из точки М в точку H. Можно доказать, что такой перпендикуляр существует, и он единственный.

Однако, такой отрезок построить (или просто представить) не всегда легко. Поэтому для нахождения найти расстояние между двумя прямыми через одну из линий можно построить плоскость, параллельную другой линии. Тога достаточно опустить перпендикуляр из точки на одной прямой до этой поверхности. Так, на следующем чертеже из точки М, принадлежащей прямой b, опущен перпендикуляр MA в точку А. Эта точка лежит на плоскости, но не принадлежит второй прямой a.

Возможен и третий способ определения расстояния между скрещивающимися линиями. Для него можно построить две взаимно параллельные плоскости, которые проходят через каждую прямую. Аналитическим способом можно доказать, что длина общего перпендикуляра между плоскостями равна длине общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми (это утверждение применимо и к предыдущему случаю).

В рамках рассматриваемого метода координат, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми наиболее удобно использовать второй способ. Обобщенный алгоритм выглядит так:

·                   через одну прямую строится поверхность, параллельная второй прямой (для этого можно на первой линии выбрать любую точку, и построить через нее прямую, параллельную второй линии, затем через две прямые построить искомую плоскость);

·                   далее составляется уравнение этой поверхности;

·                   произвольно (из соображений наибольшего удобства) выбирается точка на второй прямой.

Дальнейшая задача сводится к уже изученной. Надо определить расстояние от выбранной точки до плоскости.

Угол между плоскостями

Если две поверхности A₁х+A₂y+А₃z+A₄=0 и B₁х+B₂y+B₃z+B₄=0 пересекаются в пространстве, то они создают 4 двухгранных угла:

• два тупых;
• два острых.

Очевидно, что углы между этими поверхностями равны углам между нормалями. Известно, что косинус угла между двумя векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (точнее, выражение для скалярного произведения векторов содержит косинус этого угла). В данном случае . Нормали имеют координаты  и . Перепишем косинус угла через координаты: .  А если известен косинус угла, то найти угол между плоскостями можно через обратную функцию arccos.

Решение примеров

Для овладения практическими навыками  координатного метода решения задач, полезно будет разобрать несколько примеров.

Пример 1. Имеется куб WXUZW₁X₁Y₁Z₁. На сторонах X₁Y₁ и W₁X₁ отмечены середины в точках P и Q соответственно. Найти косинус угла между непересекающимися прямыми РХ и OQ.

Решение. Декартовы координаты легко привязываются к кубу — в качестве начала координат выбирается одна из его вершин (в данном случае можно выбрать точку W), а оси Ox, Oy, Oz идут по граням куба (на чертеже по WX, WZ и WW₁ соответственно), расположенными, как известно, под прямым углом друг к другу.

Теперь можно найти координаты векторов ХР и WQ. Длина куба не дана, поэтому ее можно принять равно 1 (а можно обозначить буквой l, в конце вычислений она должна сократиться). Тогда для вектора ХР:

• точка X имеет координаты (1;0;0);
• точка Р — (1;0,5;1);
• тогда координаты вектора XP — (1-1;0,5-0;1-0) или (0;0,5;1).

Для вектора WQ:

• W(0;0;0);
• Q(0,5;0;1);
• координаты вектора WQ(0,5;0;1).

Зная координаты двух векторов, через формулу скалярного (внутреннего)  произведения  можно найти косинус угла:

Пример 2.  Имеется правильная пирамида PQRSW. На гранях WR и  WS отмечены середины в точках U и V соответственно. Найти угол между прямыми, содержащими отрезки PV и SU координатным методом.

Решение. Задача выглядит похожей  на предыдущую, однако в случае с пирамидой выбор расположения системы координат не так очевиден. Удобнее всего расположить точку 0 по центру основания, так, чтобы оси абсцисс и ординат легли вдоль (и перпендикулярно) сторон основания, а ось Oz прошла через вершину пирамиды.

Длину граней можно выбрать, равной 1 — на меру угла это не влияет. Тогда координаты вершин при основании пирамиды:

• P(0,5;-0,5;0)
• Q(-0,5;-0,5;0) — в дальнейших вычислениях не участвует;
• R(-0,5;0,5;0)
• S(0,5;0,5;0)

Координаты вершины W можно найти, рассмотрев треугольник PWO. Из него высота пирамиды OW равна √2/2.

Тогда координаты точки S — (0;0; √2/2). Теперь известны координаты всех вершин пирамиды, и можно по известной формуле вычислить координаты середин отрезков SW и RW (точек V и U соответственно). Запишем их:

• V(0,25;0,25; √2/4)
• U(-0,25;0,25; √2/4)

Теперь можно определить координаты векторов PV и SU:

• PV(-0,25;0,75; √2/4)
• SU(-0,75;0,25; √2/4)

Вычисление косинуса угла между векторами производится еще в один шаг:

. Подставив в формулу выражение для скалярного произедения и модулей, выраженных через координаты, а затем подставив полученные цифры, получаем: cosφ=1/6.

Пример 3.  Теперь возьмем правильную треугольную призму QRSQ₁R₁S₁.  На середине ребра Q₁R₁ отмечена точка F. Требуется найти косинус угла между прямой, содержащей отрезок QF и прямой, на которой лежит отрезок  RS₁. Длину каждой из сторон можно принять за 1.

Решение. Успех решения определяется правильным заданием системы координат. Точку отсчета координат лучше расположить на одной из вершин, например, Q, а ось Oz направить вдоль боковой грани QQ₁. При этом ось абсцисс надо направить параллельно стороне основания SR, а ось ординат — перпендикулярно этой стороне.

Теперь можно рассмотреть нижнее основание призмы. Из соотношений прямоугольного треугольника несложно вывести длины сторон (они указаны на чертеже). Тогда координаты вершин запишутся так:

• Q(0;0;0);
• Q₁(1;0;0);
• R(0,5;√3/2;0);
• R₁(0,5;√3/2;1);
• S(-0,5;√3/2;0);
• S₁(-0,5;√3/2;1).

Координаты F найдем, как координаты середины отрезка Q₁R₁: F(0,25;√3/4;1).

Теперь можно найти координаты векторов QF и R₁S₁:

• QF(0,25;√3/4;1)
• R₁S₁(-1;0;1)

Зная координаты, путем несложных алгебраических преобразований (подобно предыдущим примерам) можно найти cosα. Он равен 3/(2√10).