Как считать вероятность независимых событий: от теории до практики

Теория вероятности изучает закономерности наступления случайных событий.  Важным понятием в данном разделе математики является понятие зависимости и независимости этих событий друг от друга.

Независимые и зависимые события

Независимыми в теории вероятностей называются такие события, вероятность наступления одного из которых не влияет на вероятность наступления другого. Наоборот, два (или более) события являются зависимыми, если наступление одного из них определяет вероятность наступления второго.

Самый наглядный пример независимых событий – бросание монеты. Вероятность выпадения реверса («решки») при первом броске – 0,5 (выпадет или аверс («орел»), или реверс. При последующем броске вероятность выпадения реверса  — те же 0,5 (как и при любом количестве последующих бросков), то есть, вероятность наступления события не зависит от предыдущих событий. Однако, если взять за событие А выпадение реверса, а за событие В – выпадение двух реверсов подряд, то при невыпадении «решки» при первом броске вероятность наступления В – 0, а при выпадении – 0,5.

При этом следует остеречься от совершения так называемой «ошибки Монте-Карло». Шарик в рулетке (подобно исходу броска монеты) равновероятно попадает на красное поле или на черное. Однако при нескольких подряд выпадениях одного цвета (например, черного) игрокам кажется, что вероятность выпадения противоположного цвета повышается. На самом деле, это не так, и руководствуясь этим интуитивным ожиданием можно понести реальные финансовые потери.

Другой пример – как условие задачи делает события зависимыми или независимыми. Пусть имеется мешок, в котором лежат два черных носка и один белый. Событие А – достать не глядя черный носок. Событие В – достать не глядя черный носок при второй попытке. Вероятность правильного исхода первой попытки – всегда 2/3. Если по условию после первой попытки надо вернуть вынутый носок обратно, то при следующей попытке вероятность вытащить тот же цвет не зависит от предыдущего исхода и также равна 2/3 (события независимы). Если же возвращать первый носок в мешок не надо, то вероятность события В составит ½ или 1 (в зависимости от исхода А). Следовательно, в этом случае события зависимы.

Иными словами, зависимыми события могут стать в результате какой-либо цепочки действий – например, доставания предметов из мешка, карт из колоды и т.п. Но не всегда: если после одного действия условия возвращаются в исходное положение, то следующее событие становится независимым – например, при бросании монеты несколько раз подряд или при возвращении карты в колоду после вытягивания. В данном случае применяется термин «повторное независимое испытание».

И еще один пример на стыке математики и биологии. Пусть ожидается рождение разнояйцевых близнецов. Вероятность рождения первым мальчика (событие А) – 0,5. Если исход благоприятен и пол новорожденного  — мужской, то вероятность рождения второго мальчика (событие В) – те же 0,5. Если исход события А неблагоприятен (исключительно с математической точки зрения) и родилась девочка, то вероятность события B – те же 0,5. Оба события считаются независимыми друг от друга.

Для случая однояйцевых близнецов при наступлении события А (с той же вероятностью 0,5) вероятность наступления события В – 1. Но если событие А не наступило, то вероятность рождения мальчика в данном случае – 0. Следовательно, эти события зависимые.

Основные формулы независимых событий в теории вероятностей

Основной формулой, связывающей два независимых события, которые должны произойти одновременно, считается равенство Р(АВ)=Р(А)*Р(В), где:

• Р(АВ) — вероятность наступления одновременно событий А и В;
• Р(А) — вероятность благоприятного исхода события А;
• Р(В) — вероятность благоприятного исхода события В.

И наоборот, если имеет место это соотношение, то события классифицируются, как независимые. Следовательно, равенство можно применять для проверки независимости исходов. Эта формула верна и для большего количества исходов — надо лишь перемножить все вероятности.

Анализируя формулу, можно прийти к выводу, что если 0≤Р(А)≤1 и 0≤Р(В)≤1 (а это равенство в теории вероятностей выполняется всегда, так как вероятность исхода любого события является числом от нуля до единицы), то вероятность ожидаемого исхода двух событий меньше (или равна в случае Р(А)=1 или Р(В)=1), чем вероятность наступления одного из событий.

Для сравнения можно проанализировать формулу для зависимых событий:

Р(АВ)=Р(А)*Р(А|В). Эта формула отличается от приведенной выше тем, что в нее входит множитель Р(А|В) — вероятность наступления события B, при условии, что событие А произошло.

Если же должно произойти лишь одно из событий — А или Б — то используется другая формула: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Она действительна и для любого другого количества событий (для трех — Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+ Р(С) и т.д.). Однако эта формула действует не для независимых, а для несовместных событий, которые не могут произойти одновременно, и эти понятия путать не стоит.

Различие между несовместными и независимыми событиями может быть проиллюстрировано в одной задаче с единым условием и двумя вопросами.

В послематчевой серии пенальти между «Спартаком» и «Динамо» ничейный результат и осталось выполнить по одному удару.  Игрок «Спартака» забивает пенальти с вероятностью 0,8, а игрок «Динамо» — с вероятностью 0,7.

1. Вопрос 1. Какова вероятность того, что хотя бы один игрок забьет свой пенальти?
2. Вопрос 2. Найти вероятность исхода, когда только один из игроков забьет гол и серия закончится в пользу одной из команд?

В первом случае интуитивно хочется сложить обе вероятности, но делать этого не стоит. Числа намеренно выбраны так, чтобы их сумма превышала 1, чего быть не может. В первую очередь надо определить, к какой категории относятся оба события. В данной ситуации вероятность реализации пенальти каждым футболистом не зависит от вероятности реализации другого, поэтому события можно считать независимыми. Вероятность промаха первого игрока будет равна P(А^—)=1-0,8=0,2. Вероятность промаха второго — P(В^—)=1-0,7=0,3. Вероятность одновременного промаха составит P(А^—*В^—)=0,2*0,3=0,06. Следовательно, вероятность реализации своего удара хотя бы одним игроком будет равна P(АВ)=1-0,06=0,94.

Во втором случае возможны два исхода:

• попадание первого футболиста, промах второго;
• промах первого футболиста, попадание второго.

Внутри каждого пункта события являются независимыми, так как вероятности реализации пенальти и промахов не зависят от реализации или  другого игрока:

• Р₁(АВ^—)=0,8*(1-0,7)=0,8*0,3=0,24;
• Р₂(А^—В)=(1-0,8)*0,7=0,2*0,7=0,14.

События Р₁ и Р₂ являются несовместными, так как они не могут произойти одновременно, поэтому к ним надо применять формулу сложения вероятностей: Р(А+В)= Р₁(АВ^—)+Р₂(А^—В)=0,24+0,14=0,38.

Математическое обоснование формулы независимых событий

Пусть имеется две одинаковые колоды карт четырех мастей. За событие А обозначим вероятность вытягивания из первой колоды карту масти треф, за событие B — вытягивание из второй колоды карты масти бубен. Вероятность каждого независимого события в отдельности одинаковы- Р(А)=Р(B)=1/4.

Нарисуем таблицу вероятных исходов, где по горизонтали отложены масти первой колоды, по вертикали — второй:

	пики	трефы	бубны	черви
пики
трефы
бубны		+
черви

Из таблицы видно, что возможно всего 16 исходов (таблица содержит 16 клеток), но благоприятным считается лишь один — клетка, отмеченная крестом. Следовательно, вероятность вытягивания нужных карт составляет 1/16. Это подтверждается формулой умножения вероятностей независимых событий Р(АВ)=1/4*1/4=1/16.

Разбор задач на вероятность

Для более глубокого понимания темы и закрепления навыков полезно разобрать несколько задач и примеров на независимые события.

Задача 1. Для сигнализации о переполнении емкости водой установлено два реле уровня. Одно из них сработает с вероятностью 0,97, второе – 0,91. Определить вероятность ситуации, при которой сработает только одно реле.

Решение. Задача решается подобно разобранной выше про игроков, бьющих пенальти. Ситуация в поставленном вопросе сводится к двум несовместным случаям:

• сработает первое реле, не сработает второе;
• сработает второе реле, не сработает первое.

Как и в прошлом примере, в каждый случай входят две независимые ситуации, поэтому применим формулу умножения вероятностей независимых событий:

• Р₁(АВ^—)=0,97*(1-0,91)=0,97*0,09=0,0873;
• Р₂(А^—В)=(1-0,97)*0,91=0,03*0,91=0,0273.

События являются несовместными, поэтому используем формулу сложения:

P(АВ^—+А^—В)= 0,0873+0,0273=0,1146.

Задача 2. Три курьера одновременно вышли со срочными заказами к местам назначения. Первый доставит заказ вовремя с вероятностью 0,9. Второй прибудет к положенному сроку с вероятностью 0,85. Третий выполнит задание в установленное время с вероятностью 0,95.

Определить вероятность того, что:

1. Только один курьер доставит заказ до истечения установленного времени.
2. Хотя бы один курьер опоздает.

Решение. Обозначим варианты событий:

1. Курьер №1 приезжает вовремя – А₁=0,9 или курьер №1 опаздывает А₁-=0,1.
2. №2 доставляет заказ вовремя А₂=0,85 или №2 опаздывает А₂-=0,15.
3. №3 доставляет заказ к сроку А₃=0,95 или №3 опаздывает А₃-=0,05.

События A₁ (А₁-), A₂ (А₂-) и A₃ (А₃-)  – независимы.

Первый случай наступит, если:

1. Первый курьер приедет вовремя, №2 и №3 опоздают.
2. Курьер №2 доставит заказ в срок, №1 и №3 опоздают.
3. Курьер №3 доставит заказ вовремя, №1 и №2 опоздают.

Вычислим вероятности по пунктам:

1. Р₁= А₁* А₂-*А₃-=0,9*0,15*0,05=0,00675.
2. Р₂= А₁-*А₂*А₃-=0,1*0,85*0,05=0,00425.
3. Р₃= А₁-*А₂-*А=0,1*0,15*0,95=0,01425.

Так как пункты являются взаимоисключающими, делаем вывод об их несовместности. И общая вероятность находится по правилу сложения:

P= Р₁* Р₂* Р₃=0,00675+0,00425+0,01425=0,02525.

Чтобы определить вероятность случая, когда хотя бы один курьер не доставит заказ вовремя, надо ввести противоположное событие с вероятностью Р-: все заказы будут доставлены своевременно. Перемножим вероятности независимых событий из условия: Р-=А₁* А₂*А₃=0,9*0,85*0,95=0,72675. Следовательно, вероятность того, что минимум один курьер опоздает, равна Р=1-Р-=1-0,72675=0,27325

Задача 3. Имеется стандартная колода из 36 карт с 4 мастями. Из нее случайным образом извлекается одна карта. Заданы события:

• А: вынутая карта – дама;
• В: извлеченная карта — пиковой масти;
• С: извлеченная карта – фигура (валет, дама, король или туз).

Определить, являются ли пары событий А и В, В и С, А и С независимыми.

Решение. Для решения этой задачи надо выяснить, является ли вероятность получения каждой пары событий произведением вероятностей каждого из случаев, входящих в эту пару.

Сначала посчитаем вероятность каждого события:

• в колоде из 36 карт – 4 дамы, поэтому вероятность извлечения дамы с первого раза – Р(А)=4/36=1/9;
• карт масти пик в колоде ¼ часть, поэтому и вероятность с первого раза извлечь такую карту равна ¼;
• так как в комплекте 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза (всего требуемых карт 4*4=16), то вероятность извлечения нужной карты равна 16/36=4/9.

Событие АВ, составляющее пару А и В, состоит в извлечении дамы пик. Она в колоде одна, по этой причине вероятность вытащить ее с первого раза составляет 1/36. Проверим по формуле умножения: Р(АВ)=(1/9)*(1/4)=1/36. Следовательно, случаи А и В являются независимыми.

Пару В и С составляет событие, при котором извлекается фигура пиковой масти. Таких фигур в колоде 4, поэтому и вероятность получить результат при однократном извлечении равна 4/36=1/9. Подставляем в формулу, получаем Р(ВС)=(4/9)*(1/4)=1/9. Получаем доказательство, что эти исходы независимы.

Пара событий А и С сводится к извлечению дамы любой масти, что, как сказано выше, составляет вероятность 1/9, что уже говорит о невозможности считать события независимыми. Однако проведем формальную проверку: Р(АС)=1/9*4/9=4/81≠1/9. По ее результатам события А и С независимыми не являются.