Показательные уравнения — что это, как решать, примеры с объяснениями

Для усвоения темы решения показательных уравнений в 11 классе учащийся должен знать свойства степеней, включая дробные (алгебраические корни), уметь выполнять преобразования выражений, содержащих эти степени, а также владеть навыками разложения на множители, решения квадратных уравнений и уметь производить другие алгебраические преобразования. Также должна быть хорошо усвоена тема логарифмов.

Показательные уравнения определение

Сначала введем определение показательного уравнения. Показательным (иногда – степенным) называется уравнение, в котором неизвестная величина представляет собой показатель степени или входит в выражение в показателе степени (отсюда и название). Например, уравнение 4^х=16 является показательным, 3^х+1=81 тоже, а х²=16 – не является.

Виды показательных уравнений

Уравнения вида b^t=a, где а и b – числа (причем b>0 и b≠1), а t – неизвестная величина, называют простейшими показательными уравнениями.  Примером показательного уравнения такого типа является запись 5^t=78125.

Можно отметить, что в правой части должно стоять положительное число (a>0), тогда решением уравнения будет являться логарифм t=log_ba. Для приведенного примера решением будет t=log₅78125=7. Если логарифм имеет несложный вид, при решении показательных уравнений его обычно вычисляют и ответ записывают в виде числа (например, легко понять, что log₂16 равен 4). Если значение полученного логарифма явно иррационально и в уме вычислить его не получится, можно остановиться на достигнутом и записать ответ (например, log₃14). Если же правая часть показательного уравнения отрицательна или равна нулю (a≤0), то такое уравнение корней не имеет.

Другая форма записи степенного уравнения – a^g(t)=a^h(t), где a – положительное число не равное единице, а g(t) и h(t) – функции переменной t. В этом случае уравнение равноценно переписывается в виде g(t)=h(t), затем это уравнение от одной переменной решается алгебраическими способами.

Более сложно выглядят показательные уравнения вида z(t)^g(t)=z(t)^h(t), где z(t) – также функция переменной t. Здесь решение зависит от значения этой функции:

• если z(t)=1, уравнение обращается в верное равенство при любых g(t) и h(t);
• при z(t)>0 (однако z(t)≠1) уравнение сводится к предыдущему типу и его можно записать в эквивалентном виде g(t)=h(t);
• если же z(t)=0, то исходное уравнение равносильно системе

В общем случае решение ищется в виде совокупности всех трех условий.

В отдельный  вид показательных уравнений следует выделить уравнения вида b^g(t)=a^{g(t), где} a и b  — положительные числа, не равные 1. Такие математические записи называются однородными (относительно показательной функции) степенными уравнениями первой степени. Подобные уравнения легко сводятся к виду b^g(t)=a. Надо лишь разделить обе части уравнения, на выражение, стоящее либо в левой (b^g(t)), либо в правой (a^g(t)) части. Главное, чтобы выполнялось условие b^g(t)>0 или a^g(t)>0 соответственно. Получим (b^g(t)/a^g(t))=1 или (b/a)^g(t))=1, откуда g(t)=0.

Если уравнение имеет вид C₁*b^2g(t)+C₂*b^g(t)*a^g(t)+C₃*a^2g(t)=0, где C₁..C₃ – коэффициенты при соответствующих слагаемых, то оно называется однородным показательным уравнением второй степени.

Алгоритм решения таких уравнений подразумевает в первую очередь деление на b^2g(t) (или на a^2g(t)). В итоге запись примет вид C₁*(b^2g(t)/ a^2g(t))+C₂*(b^g(t)*a^g(t))/a^2g(t))+C₃*a^{2g(t) )}/a^2g(t)=0, что после сокращения дает C₁*(b^2g(t)/a^2g(t))+C₂*(b^g(t)*a^g(t))/a^2g(t))+C₃=0. Воспользовавшись свойством степенной функции, запишем C₁*(b/a)^2g(t)+C₂*(b*a)^g(t)+C₃=0. Далее очевидна замена переменной g(t)=y (y>0), и исходная запись принимает вид C₁y²+C₂y+C3=0. Полученное квадратное уравнение можно решить любым способом, после чего выполнить обратную замену переменной.

Некоторые показательные уравнения хоть и не являются однородными второй степени, но их можно привести к квадратному уравнению или они уже имеют вид A₁*b^2z+A₂*b^z+A₃=0, где b>0 и отлично от 1, A₁≠0, а A₂ и A₃ являются любыми вещественными числами. В этом случае логичной выглядит замена r=b^z, причем r>0. Тогда исходное уравнение переписывается в виде A₁*r²+A₂*r+A₃=0. Имеем уравнение второй степени, найдя корни которого и проверив их на условие положительности, можно выполнить обратную подстановку и решить исходное уравнение.

К квадратному уравнению также несложно свести выражения вида  A₁*b^z+A₂*b^—z+A₃=0. В этом случае вводится также новая переменная r=b^z (r>0), и b^—z будет выглядеть, как 1/r. Тогда уравнение запишется в виде A₁*r+A₂/r+A₃=0. Умножив обе части уравнения на r, получим запись A₁*r²+A₂ +A₃*r=0 – уравнение второй степени классического вида. После нахождения его корней также выполняется проверка на условие r>0 и делается обратная подстановка.

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковому основанию

Одним из методов решения показательных уравнений является приведение их к единому основанию.  Проанализировав график степенной функции y=a^х, можно сделать вывод, что эта функция является монотонной на всей области определения (монотонно возрастающей при a>1 или монотонно убывающей при 0<a<1). На графике также можно увидеть и отмеченное ранее свойство — показательная функция приближается к нулевому значению, но не пересекает ось абсцисс, то есть, не принимает отрицательные значения.

Следовательно, если привести уравнение вида a^g(х)=b^h(x) к единому основанию (так, чтобы a=b), то можно будет приравнять g(x)=h(x) и решить получившееся уравнение. Подобным приемом выполняется и решение простейших показательных уравнений. В общем виде это выглядит следующим образом. Пусть имеется уравнение r^z=s (z – неизвестная, числа r и s – строго положительные). Для решения надо преобразовать s в вид s=r^n, где n – какое-то число. Тогда запись примет вид r^z=rⁿ, и можно будет приравнять показатели: z=n. В качестве примера разберем решение показательного уравнения 3^u=81. Стоящее в левой части число 81 можно представить, как 3*3*3*3, или 3⁴. Значит, исходное уравнение можно переписать, как 3^u=3⁴. Приравниваем показатели: u=4. Очевидно, что для решения  степенных уравнений подобным способом, надо разложить основания обеих частей на простые множители и попытаться найти среди них общие.

Иногда к единому основанию надо приводить левую часть уравнения или обе части. Например, запись 1000^z=100 трансформируется к виду 10^3z=10². Отсюда 3z=2 и z =2/3.

Пример более сложного уравнения:

Здесь придется трансформировать каждое основание к общему. Этому условию удовлетворяет основание 2:

• 0,5=1/2=2^-1
• 4=2²
• 1/64=1/(2⁶)=2^-6

Перепишем исходное уравнение:

Основания равны, поэтому приравниваем степени:

-t²+2t+2=-6

Переносим все в левую часть:

-t²+2t+8=0

Решаем квадратное уравнение: t₁=-2, t₂=4.

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковой степени

Привести обе части к единому основанию удается не всегда или это потребует громоздких преобразований. Однако если в исходной записи со степенями совершаются операции умножения или деления, можно попытаться с помощью алгебраических трансформаций привести уравнение к виду, когда все степени будут равными. Рассмотрим пример решения показательных уравнения 7^2z-4=36^2-z. Основания степеней не имеют общих множителей, перемножение приведет к сложным вычислениям. Однако при анализе очевидно, что показатели степеней похожи на кратные, а одна из степеней является квадратом целого числа. Перепишем выражение:

7^2z-4 =(6²)^2-z

После раскрытия скобок получим:

7^2z-4 =6^4-2z

Теперь одну из степеней надо умножить на -1. Для этого представим число 7, как (1/7)^-1:

(1/7^-1)^2z-4 =6^4-2z

Или:

(1/7)^4-2z =6^4-2z

Цель достигнута – в левой и правой частях показатели степеней равны. Делим левую и правую части на (1/7)^4-2z:

1=42^4-2z

Следовательно, 4-2z=0, откуда 2z=4 или z=2.

В теории показательных уравнений существуют и иные методы решения степенных уравнений. Например, графический, подразумевающий построение графика двух функций. Хотя этот путь не всегда дает достаточную точность, но в некоторых случаях он имеет право на применение.

Пусть имеется уравнение 3^х=6-2х. Строим график степенной (синий цвет на чертеже) и линейной (красный цвет) функций. Они пересекаются в точке х=1. Так как обе функции монотонные, значит, пересечение единственное, и решение уравнения х=1.

Также для решения степенных уравнений в некоторых случаях применяется распространённый в алгебре метод замены переменной. Пусть имеется уравнение 16^r-7*4^r+10=0. Напрашивается приведение слагаемых с переменной, возведенной в степень, к единому основанию 4:

(4 ^r)²-7*4^r+10=0.

Делаем замену переменной: u=4^r (не забываем, что 4r>0), получаем квадратное уравнение u²-7u+10=0. Находим корни:

• u₁=2
• u₂=5

Оба корня больше нуля. Выполнив обратную замену, получим два простейших степенных уравнения:

• 4^r=2
• 4^r=5

Решением первого будет u₁=log₄2. Этот логарифм решается устно и u₁=1/2 (или 0,5). Второй логарифм u₂=log₄5 решить без калькулятора или таблиц не получится, поэтому можно оставить ответ в таком виде.

Примеры решения показательных уравнений

Изучив методы решения показательных уравнений, надо разобрать несколько практических примеров различного уровня сложности и их решения.

Пример 1.  Решите показательное уравнение 2^m+1+2^m-1+2^m=28.

Решение. Это уравнение сложно свести к квадратному разобранным выше способом деления на 2^m+1, так как присутствует дополнительный член 2^m. Поэтому можно вынести общий множитель за скобки, пользуясь свойствами перемножения степеней с одинаковым основанием:

2^m-1((2^m+1)/( 2^m-1)+ (2^m-1)/( 2^m-1)-(2^m)/( 2^m-1))=28

Преобразуем слагаемые в скобках:

2^m-1(2²+1+-2)=28 или 2^m-1*3=28, что можно записать, как 2^m-1=28/3.

Отсюда m-1=log₂ (28/3) <=> m= log₂ (28/3)+1. Оставляем решение в данном виде.

Пример 2.  Найти корни уравнения 25^z-6*5^z+5=0

Решение. Так как число 25 – это вторая степень от 5, уравнение можно свести к квадратному. Выполним замену 5^z=p, отметив, что p>0. Получим p²-6p+5=0. Решаем квадратное уравнение, его корни p₁=1 и p₂=5. Выполним обратную подстановку, получим совокупность:

• 5^z=1
• 5^z=5

Отсюда z₁=0, z₂=1.

Пример 3.  Найти корни уравнения 3^2y-27^y+2 = 0

Решение. В данном уравнении присутствуют уравнения с разными основаниями, логичным выглядит приведение слагаемых к единому основанию 3, с учетом того, что 27=3³. Исходная запись примет вид 3^2y-(3³)^y+2=0. Применяя свойства степенной функции, получим 3^2y-3^3(y+2)=0. Теперь можно приравнять показатели и получить линейное уравнение 2y=3(y+2) ó2y=3y+6 или y=-6.

Пример 4.  Решить показательное уравнение

Решение. В данном случае приведение к единой степени не выглядит явным, как и приведение к единому основанию. Однако, если записать основание правой части в виде простой дроби, а не десятичной, то путь нахождения корней вполне просматривается: 0,04=1/25=5^-2. Исходную запись можно сформировать в виде . Используя правила преобразования степеней, получаем . Основания равны, следовательно, можно приравнять степени:

z²-6z+5=-2z+2 или z²-4z+3=0. Находим корни:

• z₁=1
• z₂=3

Уравнение решено. В этом задании применен прием перехода от десятичных дробей к обыкновенным, позволяющий увидеть отрицательные степени чисел, который рекомендуется применять для решения уравнений такого вида, а также записей с корнями (переход к дробным степеням).

Пример 5.   Найти решение уравнения 5*3^-3t+1+3^-3t+2=24

Решение. Запишем 3^-3t+2 как 3^-3t+1+1. Применяя правила работы со степенями, можем представить выражение в виде 3*3^-3t+1, тогда исходное уравнение примет вид 5*3^-3t+1+3*3^-3t+1=24. Теперь можно вынести за скобки общий множитель 3^-3t+1(5+3)=24 или 8*3^-3t+1=24. Сократив обе части, получаем 3^-3t+1=3, что можно записать, как 3^-3t+1=3¹. Основания равны, приравниваем показатели, получаем -3t+1=1 или -3t=0. Отсюда t=0.

Для усвоения темы решения показательных уравнений в 11 классе учащийся должен знать свойства степеней, включая дробные (алгебраические корни), уметь выполнять преобразования выражений, содержащих эти степени, а также владеть навыками разложения на множители, решения квадратных уравнений и уметь производить другие алгебраические преобразования. Также должна быть хорошо усвоена тема логарифмов.

Показательные уравнения определение

Сначала введем определение показательного уравнения. Показательным (иногда – степенным) называется уравнение, в котором неизвестная величина представляет собой показатель степени или входит в выражение в показателе степени (отсюда и название). Например, уравнение 4^х=16 является показательным, 3^х+1=81 тоже, а х²=16 – не является.

Виды показательных уравнений

Уравнения вида b^t=a, где а и b – числа (причем b>0 и b≠1), а t – неизвестная величина, называют простейшими показательными уравнениями.  Примером показательного уравнения такого типа является запись 5^t=78125.

Можно отметить, что в правой части должно стоять положительное число (a>0), тогда решением уравнения будет являться логарифм t=log_ba. Для приведенного примера решением будет t=log₅78125=7. Если логарифм имеет несложный вид, при решении показательных уравнений его обычно вычисляют и ответ записывают в виде числа (например, легко понять, что log₂16 равен 4). Если значение полученного логарифма явно иррационально и в уме вычислить его не получится, можно остановиться на достигнутом и записать ответ (например, log₃14). Если же правая часть показательного уравнения отрицательна или равна нулю (a≤0), то такое уравнение корней не имеет.

Другая форма записи степенного уравнения – a^g(t)=a^h(t), где a – положительное число не равное единице, а g(t) и h(t) – функции переменной t. В этом случае уравнение равноценно переписывается в виде g(t)=h(t), затем это уравнение от одной переменной решается алгебраическими способами.

Более сложно выглядят показательные уравнения вида z(t)^g(t)=z(t)^h(t), где z(t) – также функция переменной t. Здесь решение зависит от значения этой функции:

• если z(t)=1, уравнение обращается в верное равенство при любых g(t) и h(t);
• при z(t)>0 (однако z(t)≠1) уравнение сводится к предыдущему типу и его можно записать в эквивалентном виде g(t)=h(t);
• если же z(t)=0, то исходное уравнение равносильно системе

В общем случае решение ищется в виде совокупности всех трех условий.

В отдельный  вид показательных уравнений следует выделить уравнения вида b^g(t)=a^{g(t), где} a и b  — положительные числа, не равные 1. Такие математические записи называются однородными (относительно показательной функции) степенными уравнениями первой степени. Подобные уравнения легко сводятся к виду b^g(t)=a. Надо лишь разделить обе части уравнения, на выражение, стоящее либо в левой (b^g(t)), либо в правой (a^g(t)) части. Главное, чтобы выполнялось условие b^g(t)>0 или a^g(t)>0 соответственно. Получим (b^g(t)/a^g(t))=1 или (b/a)^g(t))=1, откуда g(t)=0.

Если уравнение имеет вид C₁*b^2g(t)+C₂*b^g(t)*a^g(t)+C₃*a^2g(t)=0, где C₁..C₃ – коэффициенты при соответствующих слагаемых, то оно называется однородным показательным уравнением второй степени.

Алгоритм решения таких уравнений подразумевает в первую очередь деление на b^2g(t) (или на a^2g(t)). В итоге запись примет вид C₁*(b^2g(t)/ a^2g(t))+C₂*(b^g(t)*a^g(t))/a^2g(t))+C₃*a^{2g(t) )}/a^2g(t)=0, что после сокращения дает C₁*(b^2g(t)/a^2g(t))+C₂*(b^g(t)*a^g(t))/a^2g(t))+C₃=0. Воспользовавшись свойством степенной функции, запишем C₁*(b/a)^2g(t)+C₂*(b*a)^g(t)+C₃=0. Далее очевидна замена переменной g(t)=y (y>0), и исходная запись принимает вид C₁y²+C₂y+C3=0. Полученное квадратное уравнение можно решить любым способом, после чего выполнить обратную замену переменной.

Некоторые показательные уравнения хоть и не являются однородными второй степени, но их можно привести к квадратному уравнению или они уже имеют вид A₁*b^2z+A₂*b^z+A₃=0, где b>0 и отлично от 1, A₁≠0, а A₂ и A₃ являются любыми вещественными числами. В этом случае логичной выглядит замена r=b^z, причем r>0. Тогда исходное уравнение переписывается в виде A₁*r²+A₂*r+A₃=0. Имеем уравнение второй степени, найдя корни которого и проверив их на условие положительности, можно выполнить обратную подстановку и решить исходное уравнение.

К квадратному уравнению также несложно свести выражения вида  A₁*b^z+A₂*b^—z+A₃=0. В этом случае вводится также новая переменная r=b^z (r>0), и b^—z будет выглядеть, как 1/r. Тогда уравнение запишется в виде A₁*r+A₂/r+A₃=0. Умножив обе части уравнения на r, получим запись A₁*r²+A₂ +A₃*r=0 – уравнение второй степени классического вида. После нахождения его корней также выполняется проверка на условие r>0 и делается обратная подстановка.

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковому основанию

Одним из методов решения показательных уравнений является приведение их к единому основанию.  Проанализировав график степенной функции y=a^х, можно сделать вывод, что эта функция является монотонной на всей области определения (монотонно возрастающей при a>1 или монотонно убывающей при 0<a<1). На графике также можно увидеть и отмеченное ранее свойство — показательная функция приближается к нулевому значению, но не пересекает ось абсцисс, то есть, не принимает отрицательные значения.

Следовательно, если привести уравнение вида a^g(х)=b^h(x) к единому основанию (так, чтобы a=b), то можно будет приравнять g(x)=h(x) и решить получившееся уравнение. Подобным приемом выполняется и решение простейших показательных уравнений. В общем виде это выглядит следующим образом. Пусть имеется уравнение r^z=s (z – неизвестная, числа r и s – строго положительные). Для решения надо преобразовать s в вид s=r^n, где n – какое-то число. Тогда запись примет вид r^z=rⁿ, и можно будет приравнять показатели: z=n. В качестве примера разберем решение показательного уравнения 3^u=81. Стоящее в левой части число 81 можно представить, как 3*3*3*3, или 3⁴. Значит, исходное уравнение можно переписать, как 3^u=3⁴. Приравниваем показатели: u=4. Очевидно, что для решения  степенных уравнений подобным способом, надо разложить основания обеих частей на простые множители и попытаться найти среди них общие.

Иногда к единому основанию надо приводить левую часть уравнения или обе части. Например, запись 1000^z=100 трансформируется к виду 10^3z=10². Отсюда 3z=2 и z =2/3.

Пример более сложного уравнения:

Здесь придется трансформировать каждое основание к общему. Этому условию удовлетворяет основание 2:

• 0,5=1/2=2^-1
• 4=2²
• 1/64=1/(2⁶)=2^-6

Перепишем исходное уравнение:

или:

или:

Основания равны, поэтому приравниваем степени:

-t²+2t+2=-6

Переносим все в левую часть:

-t²+2t+8=0

Решаем квадратное уравнение: t₁=-2, t₂=4.

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковой степени

Привести обе части к единому основанию удается не всегда или это потребует громоздких преобразований. Однако если в исходной записи со степенями совершаются операции умножения или деления, можно попытаться с помощью алгебраических трансформаций привести уравнение к виду, когда все степени будут равными. Рассмотрим пример решения показательных уравнения 7^2z-4=36^2-z. Основания степеней не имеют общих множителей, перемножение приведет к сложным вычислениям. Однако при анализе очевидно, что показатели степеней похожи на кратные, а одна из степеней является квадратом целого числа. Перепишем выражение:

7^2z-4 =(6²)^2-z

После раскрытия скобок получим:

7^2z-4 =6^4-2z

Теперь одну из степеней надо умножить на -1. Для этого представим число 7, как (1/7)^-1:

(1/7^-1)^2z-4 =6^4-2z

Или:

(1/7)^4-2z =6^4-2z

Цель достигнута – в левой и правой частях показатели степеней равны. Делим левую и правую части на (1/7)^4-2z:

1=42^4-2z

Следовательно, 4-2z=0, откуда 2z=4 или z=2.

В теории показательных уравнений существуют и иные методы решения степенных уравнений. Например, графический, подразумевающий построение графика двух функций. Хотя этот путь не всегда дает достаточную точность, но в некоторых случаях он имеет право на применение.

Пусть имеется уравнение 3^х=6-2х. Строим график степенной (синий цвет на чертеже) и линейной (красный цвет) функций. Они пересекаются в точке х=1. Так как обе функции монотонные, значит, пересечение единственное, и решение уравнения х=1.

Также для решения степенных уравнений в некоторых случаях применяется распространённый в алгебре метод замены переменной. Пусть имеется уравнение 16^r-7*4^r+10=0. Напрашивается приведение слагаемых с переменной, возведенной в степень, к единому основанию 4:

(4 ^r)²-7*4^r+10=0.

Делаем замену переменной: u=4^r (не забываем, что 4r>0), получаем квадратное уравнение u²-7u+10=0. Находим корни:

• u₁=2
• u₂=5

Оба корня больше нуля. Выполнив обратную замену, получим два простейших степенных уравнения:

• 4^r=2
• 4^r=5

Решением первого будет u₁=log₄2. Этот логарифм решается устно и u₁=1/2 (или 0,5). Второй логарифм u₂=log₄5 решить без калькулятора или таблиц не получится, поэтому можно оставить ответ в таком виде.

Примеры решения показательных уравнений

Изучив методы решения показательных уравнений, надо разобрать несколько практических примеров различного уровня сложности и их решения.

Пример 1.  Решите показательное уравнение 2^m+1+2^m-1+2^m=28.

Решение. Это уравнение сложно свести к квадратному разобранным выше способом деления на 2^m+1, так как присутствует дополнительный член 2^m. Поэтому можно вынести общий множитель за скобки, пользуясь свойствами перемножения степеней с одинаковым основанием:

2^m-1((2^m+1)/( 2^m-1)+ (2^m-1)/( 2^m-1)-(2^m)/( 2^m-1))=28

Преобразуем слагаемые в скобках:

2^m-1(2²+1+-2)=28 или 2^m-1*3=28, что можно записать, как 2^m-1=28/3.

Отсюда m-1=log₂ (28/3) óm= log₂ (28/3)+1. Оставляем решение в данном виде.

Пример 2.  Найти корни уравнения 25^z-6*5^z+5=0

Решение. Так как число 25 – это вторая степень от 5, уравнение можно свести к квадратному. Выполним замену 5^z=p, отметив, что p>0. Получим p²-6p+5=0. Решаем квадратное уравнение, его корни p₁=1 и p₂=5. Выполним обратную подстановку, получим совокупность:

• 5^z=1
• 5^z=5

Отсюда z₁=0, z₂=1.

Пример 3.  Найти корни уравнения 3^2y-27^y+2 = 0

Решение. В данном уравнении присутствуют уравнения с разными основаниями, логичным выглядит приведение слагаемых к единому основанию 3, с учетом того, что 27=3³. Исходная запись примет вид 3^2y-(3³)^y+2=0. Применяя свойства степенной функции, получим 3^2y-3^3(y+2)=0. Теперь можно приравнять показатели и получить линейное уравнение 2y=3(y+2) <=> 2y=3y+6 или y=-6.

Пример 4.  Решить показательное уравнение

Решение. В данном случае приведение к единой степени не выглядит явным, как и приведение к единому основанию. Однако, если записать основание правой части в виде простой дроби, а не десятичной, то путь нахождения корней вполне просматривается: 0,04=1/25=5^-2. Исходную запись можно сформировать в виде . Используя правила преобразования степеней, получаем . Основания равны, следовательно, можно приравнять степени:

z²-6z+5=-2z+2 или z²-4z+3=0. Находим корни:

• z₁=1
• z₂=3

Уравнение решено. В этом задании применен прием перехода от десятичных дробей к обыкновенным, позволяющий увидеть отрицательные степени чисел, который рекомендуется применять для решения уравнений такого вида, а также записей с корнями (переход к дробным степеням).

Пример 5.   Найти решение уравнения 5*3^-3t+1+3^-3t+2=24

Решение. Запишем 3^-3t+2 как 3^-3t+1+1. Применяя правила работы со степенями, можем представить выражение в виде 3*3^-3t+1, тогда исходное уравнение примет вид 5*3^-3t+1+3*3^-3t+1=24. Теперь можно вынести за скобки общий множитель 3^-3t+1(5+3)=24 или 8*3^-3t+1=24. Сократив обе части, получаем 3^-3t+1=3, что можно записать, как 3^-3t+1=3¹. Основания равны, приравниваем показатели, получаем -3t+1=1 или -3t=0. Отсюда t=0.