Что такое модуль числа

Понятие модуля является одним из базовых положений в алгебре. Хотя эта тема несложна для усвоения, на уроках математики ей надо уделить достаточное время. Без четкого понимания этого раздела и умения решать задачи на модуль чисел невозможна качественная подготовка к ЕГЭ по  математике.

Модуль

Введем определение модуля числа: модулем называется расстояние на координатной прямой от места расположения самого числа до начала координат. Обозначается модуль числа двумя прямыми чертами. Запись вида |x| означает модуль числа х и читается, как «модуль х».

Графическое представление

Нагляднее всего понятие геометрического смысла модуля представляется графическим способом — на координатной прямой. Отметим на ней приведенные ранее примеры.

Здесь на координатной прямой отмечены числа -12 и 7. Очевидно, что их модули не зависят от знака числа (знак модуля всегда положителен) и равны, соответственно, 12 и 7.

Иллюстрация другого примера — числа одинаковы по значению, но противоположны по знаку. Наглядно видно, что равны расстояния от начала координат до точки, обозначающей соответствующее число. Значит, их модули равны.

Не всегда расположение точки на прямой удается определить явно. Например, имеется выражение |2-√3|. Точное значение выражения под модулем неочевидно. С помощью калькулятора (или по памяти) определяем, что √3≈1,73. Следовательно, 2-√3>0, отсюда |2-√3|=2-√3.

Свойства модуля числа

Так как расстояние всегда положительно, независимо от направления, то модуль не может быть отрицательным, при этом:

• модуль положительного числа равен этому же числу (|7|=7);
• модуль отрицательного числа равен этому числу, взятого с противоположным знаком (или без знака «минус» — |-12|=12;
• модуль числа 0 равен нулю (|0|=0).

На алгебраическом языке это можно записать, как:

• |t|=t, если t>0;
• |t|=-t, если t<0;
• |t|=0, если t=0.

Из этого следует, что |t|=|-t|=t, то есть, например, |3|=|-3|=3, а также то, что |t|≥0, то есть, значение модуля всегда неотрицательно. Также можно отметить, что |b|≥b. Например:

• |5|=5;
• |0|=0;
• |-5|>5.

Во всех случаях неравенство выполняется.

При изучении других свойств модуля, можно выделить основные, которые нужны чаще всего, чтобы решать задачи, неравенства и уравнения:

1. Модуль произведения равен произведению модулей (и наоборот, произведение модулей равно модулю произведения):

|u*v|=|u|*|v|. Для положительных чисел это очевидно: |5*6|=|5|*|6| или |30|=|5|*|6|, что равносильно 30=5*6. Если одно или два числа отрицательны, то немного сложнее: |-7*8|=|-7|*|8|. Левая часть переписывается в виде |-7*8|=|-56|=56. Правая часть в виде |-7|*|8|=7*8=56. Получилось верное равенство.

2. Модуль отношения равен отношению модулей (и наоборот): |k|/|n|=|k/n|, при условии, что n≠0. Пример для неотрицательных чисел: |3|/|4|=|3/4|=3/4. Для отрицательных: |1|/|-5|=|-1/5|=1/5.
3. Если функция под знаком модуля умножена на постоянное число, то эту константу можно вынести за знак модуля: |b*g(t)|=b*|g(t)|.
4. Особенность следующего свойства модуля — модуль суммы записывается не в виде уравнения, а как неравенство: |l+m|≤|l|+|m|, соответственно, оно и справа налево читается как неравенство. Точнее, если l≥0 и m≥0, то нестрогое неравенство превратится в уравнение для суммы модулей: |9+4|=|9|+|4|=>13=9+4. Однако, если одно из чисел отрицательное, то значение модуля суммы уменьшается: |-6+12|=|6|, а не |-6|+|12|=6+12=18. Следовательно, |-6+12|≤|-6|+|12|. А если оба слагаемых меньше нуля, то уравнение вновь становится равенством: |-5-7|=|-12|=12, а при разбивке на слагаемые |-5-7|=|-5|+|-7|=5+7=12.

Некоторые свойства модуля также лучше рассмотреть на графике. Сначала рассмотрим график линейной функции y=х. Он имеет вид прямой, пересекающей ось абсцисс под углом 45 градусов.

Для отрицательных x значение y также отрицательно. Чтобы получить график функции модуля y=|x|, отрицательную ветвь надо отзеркалить относительно оси Х. Теперь все в порядке — значения функции стали неотрицательными.

Рассмотренный график линейной зависимости является частным случаем функции y=kх, где k=1. При других значениях к:

• если k увеличивать в сторону, большую единицы, то угол наклона будет увеличиваться;
• если k уменьшать, то и угол наклона прямой будет уменьшаться.

Подобным образом будет вести себя и график функции y=k|х|:

• при увеличении k — «складываться»;
• при уменьшении k — раскладываться.

Если прибавить число к выражению под модулем (y=|х+b|), то график сдвинется:

• при положительном b вправо по оси Х на расстояние b.
• при отрицательном b — влево на расстояние b.

Однако, если константу прибавить вне знака модуля, то график будет сдвигаться не по горизонтали, а по оси Y (по вертикали):

• вверх при положительном b;
• вниз при отрицательном b.

Этими свойствами для функции, которую можно в общем виде записать, как y=k|х+b|+a, можно пользоваться для анализа поведения функции и для решения уравнений и задач графическим способом. К тому же все описанные свойства распространяются не только на линейную функцию. Так, для функции y=sinх появление модуля (y=|sinх|)также означает «отзеркаливание» отрицательной части и т.п.

Корень из квадрата

Отдельно следует рассмотреть свойства модуля для случаев возведения в квадрат (в четную степень) или извлечения корня. Можно записать, что √b²=|b|. Для доказательства вспомним, что значение корня не может быть меньше нуля. Запишем  √b²=z, где z≥0. Если возвести обе части неравенства во вторую степень, получим b²=z² или b²-z²=0. Разложим по формуле разности квадратов: (b-z)*(b+z)=0. Следовательно,

• b-z=0
• или b+z=0

В первом равенстве b=z, при этом z≥0 исходя из начальных ограничений. Во втором b=-z, а так как z≥0, то b<0. Записываем окончательный результат:

• z=b, когда b≥0
• z=-b, когда b<0

Это совпадает с определением модуля числа, следовательно,  √b²=|b|.

Для случая возведения модуля числа в квадрат (или любую четную степень), верно равенство k²=|k|². Ведь при возведении любого числа в квадрат получается положительное число, поэтому модуль числа в квадрате равен квадрату числа.

Решение задач с применением модуля числа

Чтобы усвоить, как работают модули, можно начать с несложных задач и примеров.

Задача 1. Вычислить   модули чисел |-7|, |6|, |2,73|, |3/4|, |-1/7|.

Ответы. 7, 6, 2.73, 3/4, -1/7.

Задача 2. Пользуясь свойствами модуля выражения вычислить |7-4|, |3|-|4|, |5|/|6|, |5|*|-3|.

Ответы.  |7-4|=|3|=3, |3|-|4|=3-4=-1, |5|/|6|=|5/6|=5/6 или |5|/|6|=5/6, |5|*|-3|=5*3=15 или |5|*|-3|=|5*-3|=|-15|=15.

Уравнения с модулем

Самые простые уравнения на  модуль в математике имеют вид |g(t)|=b. Их решение находят в виде:

• g(t)=b
• g(t)=-b

при условии, что b≥0.

Например, надо решить уравнение |2t+1|=9. Запишем совокупность:

• 2t+1=9
• 2t+1=-9

Решая каждое уравнение, получаем:

• t=4
• t=-5

Сложнее выглядят уравнения вида |g(t)|+|f(t)|=h(t). Их удобно решать графическим методом, а общий алгоритм решения таков:

• нахождение точек, в которых выражения под модулем равны нулю;
• определение, на каких промежутках значение подмодульного выражения положительно, на каких — отрицательно;
• раскрытие модулей;
• поиск корней и проверка их на принадлежность заданным промежуткам.

Пусть имеется запись |х-3|-|х+3|=5х-2:

• для первого модуля нулевая точка равна 3;
• для второго — -3.

Строим координатную прямую, наносим точки.

Получаем промежутки:

• (-∞;-3)
• [-3;3]
• [3; ∞)

Отметим знаком красного цвета участки для первого модуля, синим — для второго.

1. На первом промежутке x<3 оба подмодульных выражения отрицательны, уравнение принимает вид -(х-3)-(-(х+3))=5х-2, отсюда -(х-3)-(-(х+3))=5х-2 или -х+3+(x+3)=-х+3+x+3=5х+2. Окончательно записываем 5х=4 и х=4/5=0,8. Однако этот корень не попадает в рассматриваемый промежуток (-∞;-3), поэтому он не удовлетворяет ограничению.
2. Во втором промежутке первый модуль снова раскрывается, как отрицательный, а второй — как положительный: -(х-3)-(х+3)=5х-2 или -х+3-x-3=5х-2. Окончательно 7х=2 и х=2/7. Этот корень нас устраивает, так как он лежит в промежутке [-3;3].

Наконец, третий участок, где оба модуля подлежат раскрытию, как положительные. Уравнение записывается, как (х-3)-(х+3)=5х-2. раскрываем скобки и перегруппируем члены, окончательно 5х=-4 и x=-0,8. Этот корень тоже не попадает в указанный промежуток, поэтому уравнение имеет единственное решение — х=2/7.

Неравенства с модулем

Освоив уравнения с модулем, можно перейти к неравенствам — способы их решений схожи. Начать можно с простейшего неравенства |z|<b. Для этой записи b должно быть положительным, так как:

• неравенство не имеет смысла при b<0, так как модуль не может быть меньше отрицательного числа;
• нет решения и при b=0, так как |z| не бывает меньшим нуля.

Решение для неравенств записывается не в виде числа, а в виде числового промежутка. Значение переменной z на координатной прямой лежит на координатной прямой на расстоянии не большем b от точки 0. Равенство строгое, поэтому точки b не будут входить в область решений. Например, для уравнения |z|<5, множество решений можно записать, как (-5;5), а графически это выглядит, как на чертеже.

Для неравенств вида |z|>b есть несколько вариантов решения:

• если b<0, то область решения будет охватывать все действительные числа, так как модуль всегда больше любого отрицательного числа;
• если b=0, то область решений — все действительные числа, кроме 0.

В ситуации, когда b>0, точки из области решений не должны быть ближе к началу координат, чем величина b. Графическая интерпретация выглядит так:

Область решений выглядит, как z∈(-∞;-5)∪(5;∞). Так как и здесь неравенство строгое, точки -5 и 5 не входят в область решений.

Неравенство вида c<|z|<b можно интерпретировать, как объединение двух предыдущих типов. Точка z расположена на координатной оси не ближе, чем на с, и не дальше, чем на b. Для записи вида 2<|z|<5 можно изобразить:

А записать можно так: z∈(-5;-2)∪(2;5).

Более сложно выглядит неравенство вида |k*z+с|<b, где k,c и b — постоянные числа. Пример такого неравенства — |3z-3|<6. Эта запись означает, что значение 3z-3 может лежать между точками -6 и 6. Записываем в виде -6<3z-3<6. Отсюда -6+3<3z<6+3 или -3<3z<9, что равносильно -1<z<3. Ответ: z∈(-1;3).

Несколько сложнее выглядит решение неравенства вида |g(t)|<u(t). В этом случае надо раскрывать модуль и анализировать все возможные комбинации.

Пусть имеется неравенство |s+5|>3s. При положительных значениях s+5 (s≥-5) раскрываем модуль, как |s+5|=s+5 и записываем неравенство в виде s+5>3s, откуда 2s<5 или s<2,5. Учитываем ограничение s≥-5, объединяя промежутки окончательно получим s∈[-5;2,5).

При s+5<0 (равносильно s<-5) раскрытие модуля запишется в виде |s+5|=-s-5, неравенство перепишется, как -s-5>3s и 4s<-5, откуда s<-1,25. Объединяя результаты, получаем s∈(-∞;-5).

Осталось объединить решения по двум пунктам: s∈(-∞;2,5).

Для неравенств, в которые входит два или больше модулей, алгоритм нахождения решений сходен с алгоритмом решения уравнений с несколькими модулями:

• выписать все подмодульные выражения;
• для каждого определить точку, в которой выражение обращается в ноль;
• нанести все значения на координатную прямую, образовав непересекающиеся промежутки;
• определить знак каждого подмодульного выражения на каждом промежутке, определив тем самым знак раскрытия модуля;
• решить значение подмодульного выражения на каждом промежутке (не учитывая знак модуля);
• найти все пересечения множеств решений.

Разберем алгоритм на примере неравенства |w-2|-|w+4|>3. Точки, в которых выражение под знаком модуля обращаются в ноль:

• w₁=2
• w₂=-4

Отсюда имеем три промежутка без пересекающихся точек:

• (-∞;-4)
• [-4;2)
• [2;∞)

Ход решения можно записать в виде таблицы.

Числовой интервал	(-∞;-4)	[-4;2)	[2;∞)
Знак выражения w-2	—	—	+
Знак выражения w+4	—	+	+
Решение неравенства	-(w-2)-(-(w+4)>3 -w+2+w+4>3 6>3 Верно для любых w	-(w-2)-(w+4)>3 -w+2-w-4>3 -2w>3-2+4 -2w>5 2w<-5 w<-2,5	(w-2)-(w+4)>3 w-2-w-4>3 -6>3 Неверное неравенство, решений нет
Проверка на попадание в интервал	w∈(-∞;-4)	w∈[-4;2)	Решений нет

Объединив интервалы, окончательно получим w∈(-∞;2).

Очевидно, что  понятие модуля несложно для освоения, как не должно вызывать проблем и получение навыков решения задач на модуль. Тем не менее, нахождение решений неравенств и уравнений этого раздела требует определенной внимательности, в противном случае вероятность ошибки будет велика.