Что такое логарифм и как его решать: простое объяснение с примерами

При изучении данного раздела алгебры предполагается, что читатель уже знаком со степенными функциями, умеет ими пользоваться и уверенно решать задачи. В противном случае рекомендуется вернуться к этим функциям и освоить их. Без этого изучать логарифмы с нуля, свойства логарифмов, а также пытаться разобраться, как решать примеры с логарифмами будет проблематично, а скорее всего и невозможно.

Что такое логарифм

Практически для всех алгебраических операций и функций существуют обратные действия и функции. Так, для умножения обратным будет деление, для интегрирования – дифференцирование, для функции тангенса — арктангенс и т.д. Существует и обратная операция для возведения в степень, и в первую очередь приходит в голову корень соответствующей степени. Очевидно, что решением уравнения х^а=n является корень степени а, если известен показатель степени. Например, решением уравнения х²=16 является √16=4, уравнения х³=120 – корень третьей степени из 120 и т.п.

Однако бывают ситуации, когда известно число-результат, а неизвестной является показатель степени. Пусть имеется уравнение 3^х=27. Ответ подбирается интуитивно – х=3, потому что при возведении тройки в 3 степень получается 27. Все становится сложнее для уравнения, например, 3^х=78. Целочисленный ответ перебором вариантов подобрать не получится (решение будет лежать между цифрами 3 и 4), дробное рациональное число – тоже. Если начать увеличивать количество знаков после запятой, то оно будет расти большими темпами, а точного результата все равно не будет. Уже на стадии x=3,9656 вычисления на подбор станут громоздкими, вероятность ошибки возрастет, а точного ответа не будет, так как скорее всего, решением уравнения является иррациональное число. На каком-то этапе придется остановиться, записав приближенное решение. Однако в математике на этот случай вводится понятие логарифма. В данном случае решением уравнения будет x=log₃78. Такая запись означает, что х — это степень, в которую надо возвести 3, чтобы получить 78, при этом 3 называется основанием логарифма, а читается запись так: х равен логарифму 78 по основанию 3. Итак, общее определение логарифма: это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под знаком логарифма. Допустимо и альтернативное определение логарифмов log_ba, как решение уравнения вида b^x=a.

Можно представить понятие логарифма графически. Допустим, имеется график функции у=3^х. Запишем уравнение 3^х=8. По графику решение этого уравнения будет x=2 (нижняя красная линия). Для уравнения 3^х=125 корень равен 5 (верхняя красная линия). А вот для уравнения 3^х=50 (нижняя зеленая линия) корень относительно точно найти не получится. Его можно записать, как log₃50. Для уравнения 3^х=80 корень запишется, как log₃80. По счастливому совпадению, корни уравнений 3^х=8 и 3^х=125 оказались целочисленными, и для них х=log₃8=2 и х=log₃125=5 соответственно.

Основное назначение логарифма – это решение показательных уравнений. Помимо этого, примеры и задачи с логарифмами составляют отдельный раздел алгебры, изучаемый в средней школе. Следует отметить, что все свойства для log_ba, изучаемые в дальнейших разделах, верны при условиях:

• основание степени положительно (b>0) – оно не может быть нулем, так как любое число в степени 0 равно 1, а отрицательные числа не всегда подходят для операций со степенями;
• основание степени не равно 1 (b≠1), так как единица в любой степени равна 1;
• число под знаком логарифма положительно (a>0), так как основание степени строго больше нуля, и при возведении в любую степень оно останется положительным (однако допускаются отрицательные значения переменных в записях вида log_b|a|).

При этом значение логарифма может быть отрицательным. Это происходит в том случае, если и основание, и аргумент лежат по разные стороны от единицы (для записи log_ba b<0, а a<0 или наоборот). Например, чтобы из числа 16 получить 0,25, его надо возвести в степень -½, соответственно, log₁₆0,25=-½.

Десятичный логарифм

Основанием логарифма может быть любое число, однако выделяются несколько типов логарифмов с особым основанием. Один из них – десятичный логарифм. Это логарифм по основанию 10, для произвольного числа f он может быть записан в виде log₁₀f, однако для данного случая в алгебре предусмотрена отдельная равноценная запись – lg(f) (иногда можно встретить обозначение log(f)).

Подобные логарифмы удобно использовать в приближенных вычислениях. Особенно часто десятичные логарифмы применялись до начала 70-х годов прошлого века, пока не начали свое триумфальное шествие носимые микрокалькуляторы. До этого логарифмы по основанию 10 заметно облегчали вычисления и снижали вероятность ошибок, для них были составлены подробные таблицы.

Натуральный логарифм

Другой особый тип – натуральный логарифм. Его основание – бесконечное число Эйлера е= 2,71828…

Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение – ln(z), что означает логарифм числа z по основанию e. Такая запись равнозначна выражению вида log_ez, однако подобная запись используется крайне редко, как менее комфортная для восприятия.  Пример такого логарифма: ln5, и он означает число, в которое надо возвести e, чтобы получить 5.

Натуральный логарифм, как функция, обратная к экспоненциальной функции, применяется не только для абстрактных алгебраических вычислений. Он используется в физике, например, при описании процессов радиоактивного распада, в химии и биологии для описания роста в системах и т.д.

Следует отметить, что существует еще один вид особого логарифма – двоичный, он же логарифм по основанию 2 (log₂z). Он может быть обозначен, как lb(z) и на практике применяется в программировании – компьютеры используют двоичную систему исчисления, и подобный логарифм в этой области удобен.

Свойства и формулы логарифмов

Сначала надо запомнить формулы логарифма, вытекающие из главного определения логарифмов:

• a^logab=b —  это логарифмическое свойство называют основным логарифмическим тождеством;
• log_bb=1 – так как любое число в степени 1 будет равно этому же числу;
• log_b1=0, так как любое число, возведенное в степень 0, будет равно 1;
• log_b(1/b)=-1.

Простые  свойства логарифмов позволяют складывать и вычитать их:

• log_bu+log_bw=logb(w*u);
• log_bu-log_bw=logb(u/w).

Формула сложения (умножения) может применяться для любого количества логарифмов (log_bu₁+log_bu₂..+ log_bu_n=log_b(u₁*u₂*..u_n)). Складывать и вычитать можно логарифмы только с одинаковым основанием! Для приведения к единому основанию можно воспользоваться соотношением:

.

Если в логарифмическом выражении имеются степени (у основания или у числа под знаком логарифма), то можно воспользоваться формулами:

• 
• 

Отсюда следует, что:

• 
• 

Полезно запомнить для специальных видов логарифмов, что:

• e^lna=a;
• lne=1;
• lg10ⁿ=n, то есть lg10=1, lg100=2, lg1000=3 и т.д, а lg0.1=-1, lg01=-2, lg0.001=-3 и т.д;
• 10^lga=a.

Полезны будут и эти формулы свойств логарифмов:

• 
• 
• если число под знаком логарифма строго положительно, то

Все эти свойства и формулы можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, правило log_ba^m=m*log_ba можно понимать, как «любую степень можно вынести за знак логарифма» (не относится к степени самого логарифма, например, log²_ba нельзя записать в виде 2log_ba), так и «любой множитель можно упрятать под знак логарифма».

Как решать примеры с логарифмами

При вычислении точного значения логарифма чаще всего получаются иррациональные числа. Например log₆8=6.22521. Запомнить значения логарифмов, кроме нескольких типовых, практически невозможно. Их вычисляют с помощью калькуляторов (включая онлайн-ресурсы) или используя таблицы логарифмов. Эти источники не всегда бывают под рукой или ими не всегда можно пользоваться, поэтому приводить точные значения логарифмов в ответах не обязательно, вполне можно оставить в окончательном виде записи, типа lg12, ln7, log₈(3/6) и т.п.

Теперь практические советы и примеры решений. В одной и той же записи логарифма могут встретиться как десятичные, так и обыкновенные дроби. Их надо привести к единому виду, в большинстве случаев удобно приведение к обыкновенным дробям.

Пусть имеется логарифм .  Запишем 0,7 в виде 7/10, а  в виде 100/49. Тогда можно записать логарифм в виде . Используя свойства выражений со степенями, получаем .

Согласно одному из основных свойств логарифмов можно записать .

Чтобы привести основание логарифма и число под знаком логарифма к единому виду, можно переписать одну из дробей в виде отрицательной степени – . Отсюда .

Тем же приемом можно воспользоваться, если в выражении присутствуют корни – их надо заменить дробной степенью. Пусть имеется запись . Согласно  свойству логарифма, выражение можно переписать в виде .

Если в алгебраическое выражение входят логарифмы с различными основаниями, их надо привести к единому основанию. К какому из имеющихся – решение принимается в каждом случае индивидуально, исходя из удобства дальнейших выкладок.

Пусть имеется выражение, содержащее логарифмы с различным основанием (log₂5+3)*log₄₀2. До раскрытия скобок лучше привести оба логарифма к основанию 2, потому что это несложно сделать по формуле . В результате выражение запишется в виде . Чтобы не вычислять log₂5, можно воспользоваться еще одним правилом – любое число, кроме 1,  можно представить в виде логарифма с любым основанием. В данном случае удобно выбрать показатель 2. Цепочка превращения такова:

• представляем 3 в виде 3*1;
• теперь нужен логарифм с снованием 2, значение которого равно 1;
• зная, чтологарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1, запишем: 1=log₂2;
• перемножим 3 и 1: 3=3* log₂2;
• внесем тройку под знак логарифма, как степень: 3=log₂2³= log₂

В итоге исходное выражение можно записать в виде .

А теперь пример нестандартного применения формулы приведения к единому основанию. Пусть есть запись вида  .  Вычислить логарифм, раскрывая отношение, не получится – такой формулы не существует. При внимательном рассмотрении оказывается, что это выражение — правая часть формулы приведения к единому основанию, что дает право записать .

При решениях задач на логарифмы важно уметь распознавать числа, представляющие собой целочисленные степени других чисел. Например, требуется посчитать значение выражения log₁₆32-log₈₁243. Можно воспользоваться формулой приведения к единому основанию, но интуиция подсказывает, что вычисление получится громоздким. Можно пойти другим путем. Так как основания логарифмов неравны, напрямую формулой деления воспользоваться не получится. Кроме того, они некратны, как некратны и значения под знаком логарифмов. Поэтому можно рассмотреть каждый член отдельно:

1. В записи log₁₆32 оба числа – явно степени двойки, поэтому можно переписать ее в виде . Следуя правилом выноса степеней, можно записать выражение в виде (5/4)*log₂2, а log₂2=1 согласно определению логарифма и его базовым свойствам. Следовательно, значение первого члена – 5/4.
2. Со вторым членом посложнее. Надо знать, что 243=3⁵, что нетренированному взгляду не очевидно. При этом 81=3⁴, что определить уже проще. Тогда можно записать . Аналогично первому члену выносим степени — (5/4)*log₃3=(5/4)*1=5/4.
3. Вычитаем первый член из второго: 5/4-5/4=0.

И еще важный момент – при решении примеров на свойства логарифмов, не надо ограничивать себя поиском подходящих свойств логарифмических функций. Для упрощения выражений надо вспомнить формулы сокращенного умножения, разложения на множители и т.п. Например, чтобы найти значение выражения lg²4+lg16*lg25+lg²25, потребуется увидеть в нем скрытую формулу квадрата суммы (u+w)²=u²+2uw+w². Чтобы исходная запись полностью соответствовала этой формуле, надо записать lg16, как lg4²=2lg4. Тогда уравнение перепишется в виде lg²4+2*lg4*lg25+lg²25, и его можно свернуть до записи (lg4+lg25)², а потом преобразовать к виду (lg2²+ lg5²)²⁼(2lg2+2lg5)²=(2(lg2+lg5))²=4*(lg2+lg5)^2. Применив формулу  вычисления суммы логарифмов, получаем 4*(lg2+ lg5)²=4*(lg2*5)²=4*(lg10)²=4*1²=4.

Многих учащихся пугают сложности обращения с логарифмами, и на это есть основания – формулы и зависимости не всегда являются очевидными и во многих случаях требуют запоминания, а обращение с ними – тренировки.  Однако разобраться, как считать логарифмы, как упрощать выражения, работать с логарифмическими тождествами и неравенствами абсолютно необходимо, и это не так сложно, как иногда кажется. По этим причинам данному разделу надо уделить достаточное количество времени.