Занимательные математические и логические задачи и головоломки — это не только средство «убить» свободное время. Они развивают логическое мышление и вызывают интерес к предмету. В обзоре предлагается несколько головоломок с решениями от простых до самых сложных.
Задачи в одно действие
Задача. Может ли один родственник быть старше другого в 600 раз?
Ответ. Может, если деду 50 лет, а внуку 1 месяц.
Задача. Число 24 можно выразить, как сумму 3 восьмерок: 8+8+8. Какие еще существуют способы выразить это число тройкой одинаковых цифр?
Ответ.22+2=24 или 33-3=24.
Задача-шутка. Как число 98 уменьшить на 12, не проводя никаких вычислений?
Ответ. Надо исходное число перевернуть вверх ногами. Получится 86 — на 12 меньше, чем 98.
Задача. Суммарный возраст двух близнецов выражается двузначной цифрой. Ровно год назад их суммарный возраст записывался однозначной цифрой. Сколько лет в настоящее время близнецам?
Ответ. В первую очередь, надо обратить внимание, что возраст близнецов одинаков, и сумма возрастов всегда четна. Минимальное четное число, которое можно записать двумя цифрами — 10. Значит, близнецам 5 лет. Проверяем — год назад им было по 4, сумма возрастов — 8. Это максимальное однозначное четное число.
Задача. Какие кегли надо выбить при игре в боулинг, чтобы набрать 100 очков?
Ответ. 34, 29, 37
Задача. Усложненный вариант старинной задачи про охотника, козу и капусту. Четыре рыбака хотят переправиться на другой берег реки:
- Герасим весом 90 кг;
- Матвей весом 80 кг;
- Никита, весящий 60 кг;
- Олег (сын Герасима) — его вес 40 кг.
При них еще снаряжение и припасы весом 20 кг в одном рюкзаке. Есть лодка с предельной грузоподъемностью 100 кг. Как выполнить задачу и никого (ничего) не утопить?
Ответ. В отличие от классической задачи, здесь решений может быть несколько. Один из них:
- сначала отправляются на другой берег Никита и Олег — их вес составляет как раз 100 кг;
- затем Никита остается на берегу, а Олег перегоняет лодку обратно;
- Олег выйдет из лодки, а Герасим переправится в одиночестве;
- ждущий на противоположном берегу Никита перегонит лодку на исходный берег, снова заберет Олега и оставит его на противоположном берегу;
- Никита вернется, выйдет из лодки, а на другой берег поплывет Матвей с припасами (в сумме 100 кг);
- лодку на исходный берег отведет Олег, и вернется, забрав Никиту.
Алгебраические задачи
Остальные варианты предлагается найти самостоятельно.
Задача. Доход в месяц — зарплата+подработка — составляет 250 тысяч рублей. Зарплата на 200 тысяч больше подработки. Какова сумма заработной платы без подработки?
Ответ. Интуитивно на этот вопрос обычно отвечают, что основная зарплата составляет 200 рублей. Однако, в этом случае она будет больше суммы подработки лишь на 200-50=150 тысяч. Можно составить систему уравнений, приняв зарплату за х, а подработку за y:
- x+y=250;
- x-y=200.
Отсюда x=200+y => 200+y+y=250 => 2y=50 и y=25. Значит, зарплата составляет 225 тысяч а подработка — 25 тысяч.
Задача. В банке сидя 8 пауков и жуков. В сумме у них 54 ноги. Сколько в банке пауков, а сколько жуков?
Ответ. Для решения надо принять, что у паука 8 ног, а у жука — 6. Можно составить систему уравнений, приняв пауков за х, а жуков за y:
- x+y=8;
- 8x+6y=54.
Отсюда х=8-y => 8(8-y)+6y=54 => 64-8y+6y=54 => 64-2y=54 => y=5, x=3.
А можно решить другим путем, для начала предположив, что в банке сидя только пауки. Тогда бы у них было 8*8=64 ног, что больше, чем задано в условиях. Заменим одного паука на жука. Тогда количество ног уменьшится на 2 и составит 62, что тоже много. Уменьшая количество пауков и увеличивая количество жуков. пошагово можно прийти к тому же результату.
Головоломки
Задача. Отец в завещании на троих сыновей написал, что его табун лошадей надо разделить в таком соотношении:
- старшему сыну 1/2 табуна;
- средний сын — 1/3 табуна;
- младший сын — 1/9 табуна.
Однако в табуне было 17 верблюдов, и разделить их в указанной пропорции было невозможно. Братья обратились в суд, и судья нашел способ разделить табун согласно завещанию, при этом ни один сын не остался обделенным. Как судья сумел это сделать?
Ответ. Судья на время присоединил к табуну своего коня. Всего стало 18 животных. Старший сын получил 9 коней, средний — 6, младший — 2. Всего браться получили 17 коней, и судья забрал обратно своего.
Задача. Заполнить пустые поля математического кроссворда цифрами от 1 до 9 так, чтобы цифры не повторялись (кроме уже имеющихся цифр 8 и 9) и все равенства оказались верными.
Ответ. Заполнить надо так:
Задача. Математический ребус. Заменить буквы цифрами так, чтобы получить верное выражение:
Решение. Сначала рассмотрим сумму цифр СС+СС. Результатом будет трехзначное число, потому что если сумма двузначная, то она также записывается двумя одинаковыми цифрами (22+22=44, 33+33=66 и т.д.). Значит, значение С выбираем из ряда 5,6,7,8,9. При этом сразу замечаем, что единица результата сложения переносится в третий разряд и прибавляется к сумме О+О. Следовательно, буква О может быть равна только 9 (так как 9+9+1=19). Значит, значение С может быть только 5,6,7 или 8.
Начинаем перебирать. Пусть С=5, СС+СС=55+55=110, тогда Р=1, Т=0. В этом случае Р+Р+1=П=3, а так как С=К+К, то эта цифра должна быть четной. Получаем противоречие, вариант не подходит.
Пусть С=6, тогда СС+СС=132, Р=3, Т=2. В этом случае Р+Р+1=П=7, С=К+К, отсюда K=3. Но к 3 уже приравняли Р. Снова противоречие.
Пусть С=7, тогда СС+СС=154, Р=5, Т=4. Проверяем: Р+Р+1=П=11, К=3. Все цифры сходятся. Проверяем:
Значит, П=1, К=3, T=4, P=5, C=7, O=9. При желании можно проверить еще на верность при С=8.
Задача. Заменить звездочки на цифры, чтобы получить верное умножение в столбик.
Решение.
В первую очередь надо обратить внимание на цифру под красной звездочкой. Совершенно очевидно, что она может быть равна только 4. Цифры под синими звездочками не могут быть больше 4, так как в противном случае умножение числа вида 2хх (даже минимального 200) даст в результате четырехзначное число.
Теперь рассмотрим перемножение цифр под зелеными звездочками. На 1 может заканчиваться результат перемножения чисел:
- 1х1;
- 3х7 (не подходит, так как второй множитель должен быть не более 3);
- 7х3;
- 9х9 (тоже не подходит по той же причине).
Попробуем первый вариант. Тогда первый множитель — 261, а второй — 41, так как мы должны получить число, заканчивающееся на 4.
Тогда 261*4=1044. Этот вариант неверный, так как в результате должно получиться трехзначное число. Остается единственный вариант — 7х3. Подставляем, получаем:
Тогда первый множитель может быть равен только 287 (можно найти методом перебора), а первый результат — 861:
Чтобы найти второй множитель надо вспомнить, что 4 можно получить только умножая 7 на 2. Тогда
И окончательный итог:
Задача. В лесу есть 10 источников воды, пронумерованных от 1 до 10. Вода в каждом по виду, запаху, вкусу не отличается от обычной воды, но обладает неприятным свойством — она ядовита. И единственный способ избежать смерти — срочно запить выпитую воду из источника с большим номером. Вода №10 спасет от любого нумерованного источника, а против нее противоядия нет. Источник номер 10 находится под контролем Кощея Бессмертного, который никого не пускает к источнику и никому не отдает эту воду.
Иван предложил Кощею дуэль на условиях: соперники обмениваются сосудами с водой и каждый из них выпивает воду соперника. Кощей с радостью согласился — ведь какую бы воду не предложил Иван, Кощей запьет ее водой №10 и останется в живых. А если он даст воду №10 Ивану, то ему ее нейтрализовать будет нечем. Однако после дуэли Иван остался в живых, а Кощей умер. Как это могло произойти?
Ответ. Прежде, чем посмотреть ответ, можно разбить задачу на две части и подумать еще раз: почему мог умереть Кощей? Как мог остаться в живых Иван?
А ответ таков: Кощей принес на дуэль воду №10, а Иван — воду из обычного родника, без номера. Предварительно Иван выпил воды из источника с любым номером от 1 до 9, и нейтрализовал его, запив водой №10, принесенной Кощеем. А Кощей выпил обычной воды, запив ее «десяткой». И умер.
