Освоение школьного курса тригонометрии начинается с базовых функций — синуса и косинуса. Выучив определения этих функций, разобравшись, как найти синус и косинус, можно переходить к освоению еще двух геометрических понятий — тангенса и котангенса, а также связи этих функций треугольника и длин его сторон.
Связь между sin и cos одного угла
Перед тем, как перейти к другим тригонометрическим функциям, разобраться, как найти тангенс угла и научиться решать задачи, надо вспомнить две начальные тригонометрические функции и их свойства. Пусть имеется прямоугольный треугольник АВС со сторонами:
- АВ (длиной с);
- ВС (длиной b);
- АС (длиной a).
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, и обозначается sin (δ), где выражение под знаком синуса может быть как градусной (радианной) мерой угла (например, sin(5◦), так и буквенным (буквенно-цифровым) обозначением конкретного угла (например, sin A). В данном случае 
.
Косинус того же угла — это отношение прилежащего катета к той же гипотенузе, обозначаемое cos (δ). Так как обе функции являются отношением двух величин, имеющих равную размерность, собственной размерности синус и косинус не имеют. Так как ни один катет не может быть больше гипотенузы, значения косинусов и синусов не могут превышать 1.
Чтобы запомнить, какое отношение сторон относится к какой тригонометрической функции, можно воспользоваться мнемоническим правилом «И-О»:
- кОсинус – прИлежащая сторона;
- сИнус – прОтиволежащая сторона.
Кроме того, можно запомнить, что приставка co— (ко-) означает нечто совместное (английское слово cooperation – сотрудничество, совместная работа — и т.п.), это означает, что в определении косинуса присутствует совместный (прилежащий) катет.
Между тригонометрическими функциями cos и sin существует связь, которую несложно найти из того же треугольника, чертеж которого приведен выше. Так как синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, можно записать, что 
. Исходя из определения косинуса имеет место равенство 
. При возведении обеих записей в квадрат имеем:
Сложив обе записи, получим 
.
Вспоминая теорему Пифагора, можно получить, что 
, следовательно 
. Полученное равенство, связывающее часто называют основным тригонометрическим тождеством (или теоремой Пифагора в тригонометрии), связывающим косинусы и синусы углов.
Зная одну из функций для угла всегда можно найти вторую:
Формулы нахождения синусов и косинусов через непосредственный подсчет отношения сторон предполагают результат в виде как рациональных, так и иррациональных чисел (этот вариант встречается чаще). Кроме того, прямое построение треугольника с заданным острым углом и измерение его сторон трудоемко и не дает точного результата. По этой причине нахождение синусов и косинусов наиболее эффективно с помощью калькуляторов (включая онлайн-ресурсы). Другой способ — специальные таблицы. Классический вариант — таблицы Брадиса, по которым можно определить значения тригонометрических функций с точностью до 1′ (их можно найти в бумажном виде или в Глобальной сети). Следует помнить, что для некоторых углов существуют «красивые» значения. Эти значения, характерные для углов для прямоугольного треугольника сведены в таблицу, их не так сложно запомнить (но совершенно не обязательно, таблицу можно держать под рукой в распечатанном виде или найти, при необходимости, в сети). Они могут пригодиться для решения задач и сокращения дробей.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Помимо этих двух функций, в математике через стороны прямоугольного треугольника вводятся еще два тригонометрических отношения:
- тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему;
- котангенс это обратное отношение – прилежащей стороны к противолежащей.
Тангенс обозначается tg(δ), где под знаком функции может быть как градусная мера угла, так и его обозначение. Котангенс, соответственно, обозначается, как ctg(δ). В приведенном выше треугольнике тангенс острого угла А – это отношение длины катета ВС к длине АВ, а котангенс того же угла – длины катета АВ к длине ВС. В формульном виде можно записать, как 
. Очевидно, что обе функции также не имеют размерности. Но так как катеты с определенными оговорками могут иметь любые размеры, их соотношения могут превышать единицу. Следовательно, в отличие от синуса и косинуса, значение тангенсов и котангенсов могут быть больше единицы.
Для запоминания отношений в тангенсе и котангенсе правило «И-О», к сожалению, не подойдет, а вот приставку ко- можно и нужно использовать – у котангенса в определении первым идет прилежащий катет. Таким образом, это универсальное правило можно применять для запоминания формулировок, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс.
Для нахождения связи между синусами (и косинусами) и тангенсами (и котангенсами) можно воспользоваться тем же треугольником. Для ∠А мерой δ, воспользовавшись рассуждениями из предыдущего раздела, можно найти синус и косинус угла:
Через те же стороны можно выразить котангенс и тангенс угла А:
Из определения синуса и косинуса можно записать, что:
- с=а*cos( );
- b=a*sin( ).
Подставив эти выражения в формулы, выведенные из определения тангенса и котангенса, получаем:
Из приведенных равенств и ранее известного свойства синуса (косинуса) угла, гласящего, что значение синуса и косинуса определяется только градусной (радианной) мерой угла, можно сделать вывод, что значения тангенса и котангенса также зависят только от меры угла. Следовательно, углы, отличающиеся мерой, будут иметь различные значения тангенсов и котангенсов. Однако обратное утверждение, что равенство тригонометрических функций влечет равенство углов верно лишь частично, только в рамках геометрической тригонометрии, где углов мерой больше 90 градусов не существует (это будет рассмотрено в дальнейшем при изучении периодичности тригонометрических функций в алгебраической геометрии).
В рамках данных определений, когда тригонометрические функции рассматриваются, как отношение сторон при остром угле прямоугольного треугольника, область определения как синуса (косинуса), так и тангенса (котангенса) ограничивается значениями от 0 до 90 градусов (от 0 до pi/2 радиан). Эту область математики и называют геометрической тригонометрией. Существует и алгебраическая тригонометрия, в ней аргументы функций могут принимать любые значения (за исключением пунктов, где потребуется деление на ноль).
Все, что сказано о том, как искать синусы и косинусы, можно применить и для тангенсов и котангенсов. Их можно находить по таблицам, с помощью калькуляторов, прямым вычислением и т.д. Однако в таблице «красивых» значений есть одна особенность.
Для значений угла 90 градусов (pi/2 радиан) значение тангенса не существует. Геометрически это объясняется тем, что если δ=0, то длина катета ВС принимает значение b=0, и 
, что недопустимо с точки зрения математики. Алгебраически это можно объяснить тем, что 
, а sin(0)=0, что тоже ведет к появлению нуля в знаменателе. Те же самые рассуждения верны для tg(90◦). С одной стороны длина стороны АВ получает значение с=0 и тангенс получает запрещенный ноль в знаменателе 
, с другой равен нулю cos (90◦), и математически неверная комбинация возникает в записи 
.
Связь между тангенсом и котангенсом
Зависимость между тангенсом и котангенсом легко определяется из приведенных выше уравнений:
Так как тангенс это синус, деленный на косинус, а котангенс – отношение косинуса к синусу, то эти тригонометрические функции представляют собой обратные друг другу дроби. Из их определения можно вывести зависимости:
Этот вывод сделан логически, но его можно подтвердить и алгебраически, выразив из первого уравнения, например, синус и подставив его во второе уравнение: 
. Получаем 
. Аналогично доказывается и первое утверждение, выражая синус или косинус через котангенс.
Тангенс и косинус котангенс и синус
Для решения задач и других математических целей пригодятся и иные математические соотношения в прямоугольном треугольнике. Они легко запоминаются или легко выводятся исходя из предыдущих рассуждений.
Пусть имеется прямоугольный треугольник, в котором острые углы равны α и β, причем α не обязательно равен β, но, по свойству суммы углов треугольника, α + β = 90 градусов. В этом треугольнике cos α=sin β и наоборот, sin α=cos β. Это можно доказать из определения этих функций:
потому что сторона a является противоположной для угла α;- но
, так как сторона a в данном случае прилежащая; - приравняв правые части, получим равенство левых — sin α=cos β.
Также будут полезны формулы нахождения сторон прямоугольного треугольника по известному углу и известной стороне. Например, в указанном треугольнике требуется найти катет b по известному углу α и любой другой стороне. Можно записать, что b=c*cos α=c*sin β=a*tg β. Эти соотношения легко выводятся из определений тригонометрических функций и связывают меры острых углов с длинами сторон.
Примеры решения задач
Закреплению материала способствует решение задач.
Задача 1.
Синус угла равен 4/15. Найти значения остальных функций для этого же угла.
Решение.
Зная, как найти косинус из основного тригонометрического тождества, можно записать:
. Отсюда косинус равен 
. На самом деле, решение уравнения с квадратом имеет два корня — 
. Однако отрицательное значение косинуса выходит за рамки курса геометрической тригонометрии, поэтому считаем, что задача имеет единственное решение.
По формуле связи тангенса с косинусом и синусом находим отношение: 
. Котангенс находится исходя из равенства 
. Отсюда 
.
Задача 2.
Имеется прямоугольный треугольник, длина одного из катетов которого равна 3 единицам, а гипотенуза — 5. Найти тригонометрические соотношения для угла А.
Решение.
В условиях этой задачи исходных данных достаточно, чтобы найти косинус А: 
. Поиск остальных функций можно осуществить двумя способами.
1. По формулам связи между тригонометрическими функциями. Синус находится из основного тригонометрического тождества =1- , отсюда синус равен .
По формуле тангенса 
. Котангенс можно найти, как обратную функцию от тангенса: 
.
2. По теореме Пифагора можно вычислить длину катета ВС: 
. Отсюда ВС=4. Так как синус это отношение длин BC и AB, он равен 
. Tангенс угла А равен ВС:АС=4:3, а котангенс равен 3:4. Все результаты совпали с цифрами, полученными предыдущим способом.
Задача 3.
В треугольнике на чертеже известен угол α=30 градусам и сторона b=10 см. Найти сторону с.
Решение.
Из предложенной ранее формулы b=c*cos(α) можно найти гипотенузу по острому углу и катету, прилежащему к нему. Она равна 
. Косинус 30 градусов равен 
, отсюда 
.
