Свойства смежных и вертикальных углов, как и их определение, изучают на одном из начальных этапов освоения курса школьной геометрии. Эта тема является важной, без ее усвоения в дальнейшем обязательно возникнут проблемы с решением задач по более сложным разделам, по этой причине рекомендуется отнестись к материалу из этого сектора математики с должным вниманием.
Смежные углы и их свойства
Построим на плоскости развернутый угол WOX (из его определения известно, что его градусная мера равна 180 градусам). Из его свойств известно, что его стороны лежат на одной прямой.
Из точки О проведем луч OY, который совместно с прямой WX образует два угла:
- WOY
- YOX
Такие два угла называются смежными. Для запоминания названия можно использовать слово «размежевание» — луч OY делит полуплоскость на две части. Точное определение смежных углов звучит так: углы, имеющие общую вершину, и у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными.
А вот, например, углы MON и SON не составляют смежную пару, несмотря на наличие совместной вершины и совместной стороны – потому что лучи OM и OS на одной прямой не находятся и развернутого угла не образуют.
Несложно понять, что и углы OAC и BOK также не составляют смежную пару. У них есть совместная вершина, две стороны (AO и ОК) расположены на одной прямой. Но у них отсутствует совместная сторона, поэтому к этим двум углам определение смежных не подходит, и применять к ним свойства, которые будут разобраны ниже, некорректно.
Главное свойство подобных углов, которое часто называют теоремой смежных углов, состоит в том, что их сумма равна 180 градусов. Доказательством служит факт, что две стороны образуют развернутый угол, а его градусная мера равна 180 градусов. Так, на чертеже развернутым является угол WOX, а сумма двух смежных углов WOY и XOY составляет 180 градусов (или π радиан).
Первое следствие из теоремы очевидно – если один из смежных углов прямой, то второй также является прямым. Доказать это несложно. Пусть мера угла WOY=90◦, тогда величина ∠XOY составит (180◦-90◦)=90◦. Следовательно, прямыми являются оба угла.
Справедливо и обратное утверждение – если мера смежных углов одинакова, то имеют место прямые углы. Пусть мера каждого из углов равна α, тогда их сумма составит α+α=2α. Но сумма смежных углов равна 180◦, отсюда 2α=180, и α=90◦.
Логичным представляется и другое следствие. Если один из смежных углов острый, то второй – тупой, и наоборот. Пусть на чертеже выше угол WOY острый, тогда его мера составит меньше 90◦ (можно обозначить, как 90◦-α, где α<90◦). Тогда смежный ему угол XOY будет иметь меру 180-(90- α)=90+ α, то есть, будет являться тупым.
Если один из смежных углов равен β, то второй равен 180◦-β. Для таких сочетаний существуют известные тригонометрические соотношения:
- sin(β)=sin(180◦-β);
- cos(β)=-cos(180◦-β);
- tg(β)=-tg(180◦-β);
- ctg(β)=-ctg(180◦-β).
Следовательно:
- синусы смежных углов равны между собой;
- косинусы, тангенсы и котангенсы тоже равны, но имеют обратный знак.
Зная меру одного из смежных углов, легко определить меру второго. Например, ∠XOY=115 градусов (на самом первом чертеже раздела), тогда ∠WOY=180-115=65 градусов. Это можно использовать для решения задач и примеров.
Можно доказать, что угол между биссектрисами смежных углов всегда прямой. Для этого потребуется взять уже известный чертеж и построить на нем биссектрисы углов (OA для WOY и OB для XOY), и обозначить меры углов:
- ∠WOY=2α
- ∠XOY=2β
Тогда половины углов:
- ∠AOY=α
- ∠BOY=β
По условию углы WOY и XOY смежные, поэтому ∠WOY+∠XOY=2α+2β=180 градусов. Тогда α+β=90 градусов, а это и есть угол между двумя биссектрисами смежных углов.
Вертикальные углы понятие и определение
Рассмотренные смежные углы относятся к классу двойных углов. К этому же классу относятся и вертикальные углы. Разберемся, какие углы считаются вертикальными, каким свойством обладают вертикальные углы и как это можно использовать для решения практических задач.
Пусть на плоскости имеются две прямые, которые пересекаются в точке О. В результате образовалось 4 луча, на каждом из которых можно отметить по точке (просто для того, чтобы различать эти лучи) – W, X,Y,Z.
Эти 4 луча образуют 4 угла – две пары, у которых стороны являются продолжениями сторон друг друга. Это пары углов WOX и ZOY, а также WOZ и XOY.
Подобные углы, составившие пары, называются вертикальными. Можно ввести точное определение вертикальных углов: два угла называются вертикальными, если продолжения сторон одного из них являются сторонами другого, но совместных сторон они не имеют. На представленном чертеже луч OW является продолжением OY, так как они построены из одной прямой, а сторона OX продолжает сторону OZ. Следовательно, углы WOX и ZOY попадают под введенное определение. По аналогичному принципу: так как стороны угла WOZ и XOY являются продолжением друг друга по построению, то эти углы также составляют вертикальную пару.
Следует обратить внимание, что вертикальные углы образуются только при перекрещивании прямых. Например, на следующем чертеже равные углы не представляют собой вертикальную пару, так как у них только стороны OX и OY находятся на одной прямой, а две другие не являются продолжениями друг друга.
Основная особенность, которой пользуются для решения задач по геометрии, включая задачи, входящие в программу ЕГЭ и ОГЭ – вертикальные углы равны между собой. Это утверждение также называют теоремой о вертикальных углах. Ее доказательство несложно: углы WOZ и XOY вертикальные, при этом пара WOZ и ZOY – смежные углы (по построению). Смежными углами также является пара XOY и ZOY. Уже зная, что сумма смежных углов равна 180, можно записать:
- ∠WOX+∠ZOY=180◦;
- ∠XOY+∠ZOY=180◦.
Отсюда:
- ∠WOX=∠ZOY -180◦;
- ∠XOY=∠ZOY -180◦.
Следовательно, вертикальные углы WOZ и ZOY равны по градусной мере.
Следует обратить внимание, что вертикальные углы образуются только при пересечении прямых. Например, на следующем чертеже равные углы не являются вертикальными.
В одной точке могут пересекаться больше, чем две прямые. В такой ситуации образуется большое количество вертикальных углов, попарно тождественных между собой по градусной мере.
Как и для любых других углов, для каждого из вертикальных углов можно построить биссектрисы. При этом они будут располагаться на одной прямой.
Пусть построены два вертикальных угла WOX и ZOY мерой 2α градусов. Луч OM представляет собой биссектрису WOX, а ON – биссектрису ZOY. Тогда меры углов, образованных биссектрисами (WOM, MOX, ZON, YON) равны α. В этом случае градусная мера угла MON равна ∠WOM+∠WOZ+∠ZON=2α+∠WOZ. При этом ∠WOZ и ∠WOX=2α смежные, сумма двух этих углов равна 180 градусов. Значит, 2α+∠WOZ=180 градусов. Следовательно, мера угла MON равна 180 градусов, он представляет собой развернутый угол и все его точки лежат на одной прямой.
Интересно, что при скрещивании прямых образуется не только две пары вертикальных углов, как показано на самом первом чертеже. При этом возникает и несколько пар смежных углов. Так, на том же построении имеют совместную вершину, совместную сторону и взаимно дополняются до 180 градусов пары углов:
- WOX и WOZ;
- WOZ и ZOY;
- ZOY и XOY;
- WOX и XOY.
Эту особенность можно использовать для построения углов – как вертикальных, так и смежных.
Кроме того, смежные углы можно строить и другими способами. Один из них уже разобран – откладыванием луча под требуемым градусом от заданной или произвольно выбранной точки. А можно у имеющегося угла продлить одну сторону за вершину. На следующем чертеже у имеющегося угла YOX сторона XO продлевается, образуя прямую WX. В каждом случае углы будут попадать под данное выше определение.
Свойства вертикальных углов
Найдем сумму всех 4 вертикальных углов, образующихся скрещиванием двух прямых. Сумма углов WOX+WOZ=180 градусов, так как они составляют смежную пару. То же самое можно сказать о второй паре углов — как смежные, они тоже дают в сумме 180 градусов — ZOY+XOY=180. Отсюда WOX+WOZ+ ZOY+XOY=180+180=360 градусов.
Можно доказать, что сумма неприлежащих углов, возникших при скрещивании трех прямых, равна 180 градусов. Для данного чертежа это углы WOZ, MOY, NOX — они не имеют совместных сторон.
Очевидно, что сумма углов WON, NOX, XOY равна 180 градусов, а углы NOX и ZOM — взаимно вертикальные, их меры равны. Записываем равенство ∠WON+∠NOX+∠XOY=180 градусов. Заменим в нем ∠NOX на ∠ZOM — равенство останется верным. Значит, ∠WON+∠ZOM+∠XOY=180 градусов. Тем же путем можно доказать утверждение и для трех остальных углов, не имеющих совместных сторон.
При решении практических задач, связанных со всевозможными пересечениями, вертикальные и смежные углы часто присутствуют на одном чертеже. Для нахождения верного решения требуется знать свойства как тех, так и других углов и уметь применять их в совокупности. Например, для приведенного чертежа известно, что ∠WOX=64◦. Требуется определить меры остальных углов.
Сначала воспользуемся особенностью вертикальных углов. Отсюда ∠ZOY=∠WOX=64◦. Нахождение угла WOZ можно выполнить, зная свойства смежных углов: ∠WOX+∠WOZ=180◦. Записываем, как ∠WOZ=180-∠WOX=180-64=116◦. Теперь можно найти оставшийся угол XOY. Он является смежным по отношению к уже найденному углу ZOY, и его мера равна 180-64=116 градусов. С другой стороны, он составляет вертикальную пару к углу WOZ. Тогда его градусная мера находится в соответствии со свойством вертикальных углов, как ∠XOY=∠WOZ=116◦. Результат для этого угла, вычисленный двумя путями, получился одинаковый.
По указанным причинам важен навык визуального распознавания типов углов, особенно, в геометрических фигурах. Так, на чертеже дана неправильная трапеция, в которой проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Требуется перечислить все смежные углы и все вертикальные углы.
К вертикальным в этой фигуре попарно относятся:
- ∠АОМ и ∠NОD;
- ∠АОD и ∠NОМ.
Смежными попарно являются:
- ∠ АОМ и ∠ АОD;
- ∠АОD и ∠NОD;
- ∠NОD и ∠NОМ;
- ∠NОМ и ∠АОМ.
Научившись распознавать и определять углы, можно воспользоваться их свойствами для решения поиска решения.
Теперь задача на распознавание свойств углов. При скрещивании двух прямых возникло 4 угла. Сумма двух из них равна 250 градусов. Найти градусную меру всех углов.
Для нахождения решения надо вспомнить, что сумма смежных углов равна 180 градусов, это означает, что указанные углы могут быть только вертикальными. А так как они между собой равновелики, то мера каждого из двух углов составляет половину суммы – 125 градусов. Оставшиеся неизвестные углы будут смежные к найденным вертикальным. Их мера, согласно соответствующей теореме, равна 180-125=55 градусов.
Условия можно еще усложнить. При скрещивании двух прямых возникло 4 угла, суммарная мера трех из них составляет 210 градусов. Найти меру каждого из углов.
Решение ищется исходя из того, что сумма всех углов, образованных таким способом, составляет 360 градусов. Тогда можно найти меру одного из углов — она составляет 360-210=150 градусов. Второй угол вертикален ему — его мера также составит 150 градусов. Третий и четвертый углы составляют с каждым из вертикальных смежную пару, дающую сумму 180 градусов. Значит, мера каждого из них — 180-150=30 градусов.
И чтобы окончательно все запутать — две прямые при скрещивании основали 4 угла мерой меньше 180 градусов каждый. Найти каждый угол, если известно, что один из них на 30 градусов больше, чем половина другого.
Для решения обозначим один из углов α, тогда его половина — α/2, а величина другого угла — α/2+30. Так как меры этих углов не равновелики между собой, значит они смежные и дают в сумме 180 градусов. Можно записать, что α+α/2+30=180 или 1,5α=150. Отсюда α=100 градусов, а α/2+30=50+30=80 градусов. По свойствам смежных и вертикальных углов остальные два угла также имеют величину в 100 и 80 градусов.
Таким образом, двойные углы в геометрии (к которым, кстати, принадлежат еще и дополнительные углы, имеющие особенность — их сумма которых составляет 90 градусов) при выполнении геометрических построений часто оказываются взаимосвязаны. Для получения и развития навыка решения задач необходимо знать определения и свойства как смежных, так и вертикальных углов.
