Полный разбор иррациональных неравенств: системы, совокупности и двойные конструкции

Неравенства, как и уравнения, могут быть объединены в систему, для которой надо найти решения, удовлетворяющие условиям всех математических выражений. Решениями неравенств обычно являются не числа, а числовые промежутки – это же относится и к системам неравенств.

Системы иррациональных неравенств

В глобальном смысле иррациональным неравенством с одной переменной называется такое неравенство, где неизвестная величина (или функция от нее) стоит под знаком радикала любой степени. Решение желательно начать с избавления от знака радикала путем замены неравенства на равносильное. И здесь рассматриваемые математические записи делятся на два класса:

• с радикалами нечетной степени;
• с радикалами четной степени.

Если переменная стоит под радикалом нечетной степени, то возведение обеих частей в эту степень является равносильной операцией. В качестве  примера можно отметить, что запись равносильна неравенству , поэтому избавление от корня в данном случае проблем не вызывает. Значение как корня, так и подкоренного выражения может быть как больше, так и меньше нуля.

Решим неравенство . Так как степень у правой и левой части нечетная, возведение в нее не требует определения ОДЗ:

Отсюда r²+r-1<r+3 или r²-4<0. Раскладываем на множители как разность квадратов:

(r-2)(r+2)<0.

Ответ находим в виде r∈(−2;2).

Другое дело, если имеется корень четной степени, включая самый распространённый – квадратный. В этом случае возведение обеих частей в нужную степень не является равносильной операцией.

Пусть имеется иррациональное неравенство вида √f(t)>a. Сразу накладывается ограничение: функция под корнем должна быть положительной (f(t)>0) – так выглядит ОДЗ для этого неравенства.

Следовательно, решение такого неравенства сводится к системе неравенств:

• √f(t)>a
• f(t)>0

Например, имеется запись √t + 2 > 2. Переписываем в виде системы:

• t+2>0
• √t + 2 > 2

Решаем первое неравенство, получаем t>-2. Во втором неравенстве надо избавиться от радикала. Возводим обе части в квадрат: t+2>4. Здесь правая часть до преобразования заведомо больше нуля, поэтому дополнительных корней не возникнет, переписываем в виде t>2 и, с учетом пересечения числовых промежутков, записываем ответ: t∈(2;∞).

Теперь рассмотрим вариант √t + 2 > -2.  Вновь запишем систему:

• t+2>0
• √t + 2 > -2

Первое неравенство решаем аналогично: t>-2. Второе будет верно для всей ОДЗ, потому что корень квадратный всегда больше нуля, и, соответственно, в любом случае больше, чем -2. Поэтому решением системы неравенств является ОДЗ: t∈(-2;∞).

Следующее неравенство имеет вид √f(t) ≤a. Например,  . Так как значение квадратного корня всегда положительно, то при отрицательных a неравенство решений не имеет. Теперь пусть a>0 и неравенство имеет вид .

Записываем в виде системы:

• z²-9≥0 (или сразу (z-3)(z+3) ≥0)
• 

Сначала находим ОДЗ методом интервалов. Оно записывается в виде z∈(−∞;−3]∪[3;+∞). Во втором неравенстве избавляемся от радикала возведением обеих частей в квадрат. Делать это можно безбоязненно, так как 4>0. Получаем z²-9≤16 или z²-16-9≤0. Отсюда z²-25≤0 и (z-5)(z+5) ≤0.
Наносим все области на числовую прямую:

Ответ записывается в виде z∈[−5;−3]∪[3;5].

Перед тем, как рассмотреть неравенства вида √g(z)≥√h(z) надо проанализировать график функции y=√x. Она монотонно возрастает на всей области определения. Это означает, что если одно подкоренное выражение больше другого, то и его корень больше корня другого выражения.

На самом деле, не все так просто, и для решения подобных неравенств надо учитывать ОДЗ. Пусть имеется запись . Так как под корнем должно быть неотрицательное число, запишем ОДЗ и в виде системы:

• t²-3t≥0
• t-3≥0

Решаем систему. Второе неравенство решается просто: t≥3. Первое записывается в виде t(t-3)≥0 и решается методом интервалов, но можно рассудить логически. Так как уже найдено, что t≥3, то заведомо и t≥0. Поэтому решением второго неравенства будет  t≥3.

Теперь избавимся от радикала, преобразовав исходное неравенство возведением в квадрат обеих частей (это сделать можно, так как обе части заведомо больше нуля, как корни квадратные):

t²-3t≥ t-3

Отсюда t²-3t-t+3≥ 0 или t²-4t+3≥ 0. Найдем корни квадратного уравнения, они равны 1 и 3. Решением будет числовой промежуток [1;3].

Учет ОДЗ ограничивает решение одним значением t=3.

Выше рассмотрен вариант неравенств √f(t)≤a. Если вместо числа a в выражении стоит функция g(t), запись примет вид √f(t)≤g(t), и алгоритм решения выглядит иначе. Пусть имеется неравенство . ОДЗ этого выражения 2t-3≥0 или t≥1,5. Теперь надо избавиться от знака корня возведением в квадрат. Это делать можно только тогда, когда правая часть заведомо неотрицательна, поэтому накладывается дополнительное ограничение t-1≥0. Теперь возводим в квадрат обе части и получаем систему:

• 2t-3<(t-1)²
• t≥1,5
• t≥1

Преобразуя первое неравенство, получим –t²+4t-4<0. Решаем квадратное уравнение, находим единственный корень t=2. Неравенство строгое, поэтому его решением являются все действительные числа, кроме 2. Наносим на числовую прямую ОДЗ и решение неравенства:

Записываем в виде t∈[1,5;2)∪(2; ∞).

Следующий тип неравенств √f(t)≥g(t) отличается от предыдущего только знаком, но алгоритм решения отличается существенно. Рассмотрим его на примере записи . Найдем ОДЗ:

56-z≥0

В исходном неравенстве левая часть всегда неотрицательна, а правая часть может быть либо больше нуля, либо меньше — в зависимости от значения переменной. Рассмотрим вариант, когда -z≥0. Тогда обе  части неравенства положительны, и можно возвести их в квадрат:

56-z=(-z)².

Сведем все выводы, включая ОДЗ, в систему:

• 56-z≥(-z)²
• -z≥0
• 56-z≥0

Или:

• 56-z≥z² ≥0 <=> z²+z-56≤0
• z≤0
• z≤56

Решаем квадратное уравнение из первой записи, находим корни:-8 и 7. Значит, решением первого неравенства является числовой промежуток [-8;7]. нанесем решения всех неравенств на координатную прямую:

Итак, решением этого случая будет z∈[-8;0].

Рассмотрим второй вариант, когда -z<0. В этом случае неравенство выполняется всегда, так как корень из любого числа в любом случае больше любого отрицательного числа. Следовательно, решение определяется только областью допустимых значений. Запишем систему:

• -z<0
• 56-z≥0

Или:

• z>0
• z≤56

Отмечаем интервалы:

Записываем ответ:

z∈(0;56].

Объединяем результаты для двух случаев и получаем окончательный ответ:

z∈[-8;56]

Отдельного рассмотрения заслуживают другие неравенства, содержащие под радикалом не переменные, а числа, с которыми сравнивается переменная. В качестве примера рассмотрим систему неравенств, на первый взгляд, не вызывающую проблем в решении:

• t+√8>√3
• t+√6>√2

Начальные преобразования стандартны:

• t>√3-√8
• t>√2-√6

Теперь возникла проблема с правыми частями. Их надо отметить на координатной прямой, чтобы определить их местоположение друг относительно друга. Они иррациональны, вычислить их точно не получится, а калькулятор не всегда доступен.

Проанализируем правые части. Их значения меньше нуля, так как подкоренное значение вычитаемого больше подкоренного значения уменьшаемого. Для удобства умножим их на -1, не забыв, что при этом знак неравенства потребуется инвертировать. Запишем правые части в виде:

• √8-√3
• √6-√2

Теперь попытаемся избавиться от радикала, возведя обе части во вторую степень:

• (√8-√3)²=8+3-2√8√3=11-2√24=11-√96
• (√6-√2)²=6+2-2√6√2=8-2√12=8-√48

Вычтя из каждой части 8, запишем:

• 3-√96
• -√48

Обе записи явно меньше нуля, поэтому снова умножим на -1:

• √96-3
• √48

Знак неравенства в исходном выражении при этом инвертируется дважды, поэтому в итоге он останется прежним.

Снова возводим во вторую степень:

• (√96-3)²=96+9-2*3√96=105-6√96=105-√576
• (√48)²⁼48

Корень из 576 является квадратом числа 24, поэтому первое выражение равно 105-24=81>48 и (√8-√3)>(√6-√2). Отмечаем, что несложная на вид система неравенств потребовала громоздких и чреватых ошибками преобразований. Теперь оба числа наносим на числовую прямую:

Следовательно, множество решений системы неравенств можно записать в виде t∈(−∞;√6-√2].

 

Система из трех неравенств в системе

 

Часто встречаются системы, в которые входят не два неравенства, а три или больше (подобные системы могут встретиться, например, при определении области допустимых значений логарифмических неравенств и т.п.). Решить подобную систему неравенств несложно, принципиально решение не отличается от  решения системы из двух неравенств. Однако подобные системы выглядят громоздко, для решения надо найти пересечение нескольких числовых промежутков, по этой причине для их решения требуется повышенное внимание.

Пусть имеется система:

• 3z-6≤9
• z²-8z+15≥0
• z-4>0

Решение первого неравенства:

3z-6≤9 <=>3z≤9+6 <=>3z≤15<=>z≤5

Решаем квадратное уравнение z²-8z+15=0. Его корни:

• z₁=3
• z₂=5

Раскладываем на множители:

(z-3)(z-5) ≥0.

Используем метод интервалов:

Отсюда z∈(−∞;3]∪[5;+∞).

Третье неравенство решается просто:

z-4>0<=>z>4

Чтобы нанести все интервалы на координатную прямую, лучше воспользоваться разными цветами:

Очевидно, что все три неравенства имеют одну общую точку z=5, которая и является решением неравенства.

Двойные неравенства

 

Бывает так, что в неравенствах неизвестная величина должна быть больше одного числа, и, одновременно, меньше другого. Такие математические выражения называются двойными неравенствами и в общем случае имеют вид a<g(t)<b (строгое двойное неравенство) или a≤g(t)≤b (нестрогое двойное неравенство), причем одно условие может быть строгим, а другое – нестрогим. В этой записи:

• g(t) – функция переменной t;
• a, b – любые числа, причем a<b.

Следовательно, решение такого неравенства сводится к решению системы неравенств:

• g(t)<b (или g(t)≤b)
• g(t)>a (или g(t≥a)

В качестве примера можно решить двойное неравенство -4≤2z+1≤12. Его можно свести к системе неравенств с одной переменной:

• 2z+1≥-4
• 2z+1≤12

Решаем каждое неравенство относительно z:

• 2z≥-5 <=> z≥-2,5
• 2z≤11 <=> z≤5,5

Пересечение  решений системы линейных неравенств найдем на координатной прямой:

Окончательно запишем множество решений в виде z∈[-2,5;5,5].

 

Системы неравенств при нахождении одз

 

В алгебраической практике знание, как решать системы неравенств, зачастую нужно для нахождения области допустимых значений сложных уравнений. В частности, разнообразные ограничения   накладываются на ОДЗ логарифмических уравнений. Пусть имеется уравнение log_z-4(-z²+7z-10)=2. Составим систему из ограничений допустимых значений выражений, входящих в него:

• -z²+7z-10>0 как подлогарифмическое выражение;
• z-4>0, так как основание логарифма должно быть положительным;
• z-4≠1 из-за ограничений на основание логарифма.

Сначала решим первое неравенство. Квадратное уравнение -z²+7z-10 имеет корни z₁=2 и z₂=5. Решая графическим способом, получаем, что неравенство верно на участке (2;5). Второе и третье неравенства решаются в уме. Перепишем систему неравенств:

• z>2
• z<5
• z>4
• z≠5

Изобразим интервалы на числовой прямой:

Следовательно, корни уравнения должны попадать в участок (4;5). Если они не расположены в этом интервале, их надо отбросить. Решая логарифмическое уравнение, находим два иррациональных корня. В рациональной форме они записываются, как z₁≈4,78 и z₂≈2,72. Второй корень не попадает в ОДЗ, значит, единственное число, составляющее множество решений неравенства – z=(15+√17)/4.

Что такое совокупность неравенств

При решении нескольких неравенств часто встречается понятие совокупности неравенств. Важно отличать этот термин от понятия системы. Принципиальное отличие совокупности от системы неравенств в том, что при решении системы требуется найти такие значения переменной, чтобы они удовлетворяли каждому из неравенств. Если найденное значение или интервал не удовлетворяют хотя бы одной записи, то оно не является решением системы неравенств. Совокупность же неравенств объединяет решения, даже если они не пересекаются. Чтобы не перепутать, надо следить за видом записи:

• система неравенств обозначается фигурной скобкой «{»;
• совокупность – квадратной «[».

Для понимания различий, рассмотрим систему:

Отметим промежутки на числовой прямой:

Они не пересекаются, а это означает, что система линейных неравенств не имеет решений. Но если эти неравенства записаны в виде совокупности:

, то множество решения системы неравенств существует и может быть записано в виде объединения подмножеств t∈(-∞;0)∪(5; ∞). Иными словами, если есть корень или интервал, удовлетворяющий хотя бы одному из неравенств, он и будет решением совокупности.

В целом решать системы неравенств несложно, и при освоении курса алгебры эта тема, чаще всего, не вызывает затруднений. Однако этому разделу математики надо уделить определенное время, так как к решению систем неравенств сводятся более сложные задачи, и этим математическим инструментом надо владеть в совершенстве.