Тригонометрический круг – простое объяснение с примерами

 

На начальном этапе изучения тригонометрии основные тригонометрические функции вводятся, как отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Аргументы этих функций ограничиваются пределами 0..90 градусов. Однако раздел математики,  называемый алгебраической тригонометрией, позволяет находить эти соотношения для произвольных значений углов. Для этого вводится определение тригонометрической окружности. Это понятие важно для освоения курса математики, в том числе для подготовки к ЕГЭ.

Построение тригонометрической окружности

Если построить единичную окружность (с радиусом R=1) с центром в начале координат, то такая фигура будет называться тригонометрической окружностью или тригонометрическим кругом (что не совсем правильно, так как используются не вся площадь круга, а только точки, удаленные от начала координат на расстояние, равное единице).

 

Синус косинус тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

 

Если провести радиус из начала координат под заданным углом δ, то он будет иметь с окружностью общую точку А с координатами (x,y). Можно представить, что радиус из исходного положения повернут против часовой стрелки на угол  δ  и вместе с ним переместилась точка А. Градусы на окружности можно отсчитывать только по положению этой точки.

Можно опустить из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс в точку В, которая будет иметь координаты (x,0). Если теперь рассмотреть прямоугольный треугольник AOВ, то косинус угла δ в нем определится, как отношение длины ОВ к радиусу. Так как радиус равен единице, а длина OB=x, то . Отсюда косинус угла δ равен абсциссе точки A.

Теперь можно опустить из точки А перпендикуляр на ось ординат в точку С с координатами (0,y). Из того же треугольника АОВ очевидно, что синус угла δ равен отношению AB к единичному радиусу, то есть, длине AB или координате y. Таким методом на единичной окружности вводятся базовые тригонометрические функции в виде координат единичного радиуса. В алгебраической тригонометрии вместо терминов ось абсцисс и ось ординат зачастую используются понятия оси косинусов и оси синусов соответственно.

Следующим шагом можно тем же способом определить тангенс и котангенс. По определению этих функций и по выведенным соотношениям:

• , что соответствует известной из курса геометрической тригонометрии формуле ;
• соответственно, .

Однако в пределах тригонометрического круга любая координата не может превышать значение от -1 до 1. Значения тангенса и котангенса могут значительно выходить за эти границы, следовательно, координаты соответствующих точек также могут быть больше 1. Чтобы корректно находить значения этих соотношений, потребуется построить дополнительные оси тангенсов и котангенсов. Для тангенса это будет ось, параллельная оси синусов и касающаяся тригонометрического круга в точке x=0. Она называется ось тангенсов.

Чтобы найти тангенс, надо продлить радиус (гипотенузу треугольника АОВ) до пересечения с осью тангенсов в точке Т (в ближайшем направлении). Ордината этой точки даст значение тангенса угла δ. Очевидно, что он не ограничен предельным значением tg δ=1.

 

На тригонометрической окружности можно понять визуально ситуации, когда тангенс не существует. Например, δ=90 градусов, радиус параллелен оси тангенсов, пересечений не существует, и тангенс для этого угла не определен.

Те же рассуждения можно провести для котангенсов, только ось котангенсов параллельна оси косинусов. Абсцисса точки пересечения продленного радиуса и оси даст значение котангенса.

А если радиус (гипотенуза) параллельна оси котангенсов (например, для δ=0), то точка пересечения с осью котангенсов будет отсутствовать. Котангенс для данного угла не определен.

 

Определение знака синуса косинуса тангенса и котангенса

При изучении тригонометрических функций, как отношения сторон прямоугольного треугольника, встречаются углы мерой не более 90 градусов. Однако на тригонометрической окружности можно нарисовать угол и большей меры, и для него также будут существовать синус и косинус (и другие функции), как координаты точки на окружности. Таким образом в алгебраической тригонометрии осуществляется переход к расширенному понятию тригонометрических функций.

Для тупого угла, указанного на рисунке, координата y положительна, а координата х отрицательна. Следовательно, значение косинуса для этого угла будет положительно, а значение синуса — отрицательно. Это еще одно отличие алгебраической тригонометрии от геометрической — здесь значения функций могут быть как больше нуля. так и меньше (от -1 до 1 для sin и cos).

Чтобы понять, какой знак для каких углов на окружности соответствует значению функции, надо представить, что координатные оси делят тригонометрическую окружность на 4 сектора или четверти, называемых квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки от 1 до 4 начиная с правого верхнего.

 

Очевидно, что:

• для углов, попадающих в квадрант I (от 0 до 90 градусов) значения как координаты x, так и координаты y положительны, это означает, что значения всех тригонометрических функций здесь положительны;
• для углов квадранта II значение на оси косинусов отрицательно, а на оси синусов — положительно, следовательно, здесь синусы больше нуля, а косинусы, тангенсы и котангенсы отрицательны;
• в квадранте III значения синусов и косинусов отрицательны, зато тангенсы и котангенсы, как отношения двух отрицательных в данном случае чисел, наоборот, положительны;
• в квадранте IV положительны значения на оси косинусов, а на оси синусов — отрицательны, и это означает положительные значения косинусов, и отрицательные для синусов, тангенсов и котангенсов.

Графически для различных функций это можно изобразить так:

Углы больше 360 градусов

Единичный радиус, отсчитывающий углы, можно представить в виде стрелки, вращающейся вокруг начала координат. Нет никаких принципиальных запретов на полный оборот «стрелки» и на продолжение движения далее. Пусть начальный угол единичного радиуса — δ. Начнем вращать его против часовой стрелки, увеличивая угол.

Очевидно, что, сделав полный оборот, «стрелка» вернется в исходное положение и координаты всех пересечений также совпадут. Так как полный угол составляет 360 градусов или 2π радиан, это означает, что если sin δ=x, то sin (δ+2π) тоже равен x, и если cos δ=y, то cos (δ+2π) =y. Но можно делать не один оборот, а несколько, каждый раз возвращаясь в одну и ту же точку. Тогда можно записать, что:

• sin δ= sin (δ+2πk);
• cos δ= cos (δ+2πk).

В этой формуле k — целое число. Можно сделать вывод, что функции sin и cos являются периодическими с периодом 2π.

Как считать углы на единичной окружности

Однако вращать «стрелку» радиуса можно не только против часовой, увеличивая градусную меру. При вращении по направлению часовой, также создается угол между радиусом и осью синусов. Градусная мера таких углов принята за отрицательную.

 

Например, на чертеже один радиус повернут на угол δ. Второй повернут на тот же угол, но в отрицательную сторону. Хотя углы между собой равны, считается, что второй имеет градусную меру -δ. С другой стороны, этого же положения можно достичь, вращая радиус по часовой. Тогда его мера будет равна 360- δ градусов.

Как переводить радианы в градусы

При использовании геометрического круга, часто удобнее пользоваться радианной мерой углов, нежели градусной. Не вдаваясь в тонкости определения радиана, можно запомнить, что полный угол, стороны которого совпадают с одним лучом, равен 360 градусов (полная окружность) или 2π радиан. Отсюда легко определить радианную меру для дольных значений. Например, 180 градусов составляют половину от полного угла, и радианная мера равна π, а 90 градусов — 1/4 от 360, и в радианах это будет π / 2. Соответствие же для произвольного угла будет выглядеть, как 1 рад = 180 / π. Тогда для х радиан формула примет вид x = (x * 180) / π. Например, для π радиан можно вычислить градусную меру, как x = (π * 180) / π = 180, что согласуется с результатом выше. А для 2 радиан перевод в градусы производится, как x = (2 * 180) / π ~ 114,6 градусов. Обратный перевод — из градусов в радианы — производится по формуле z = (z * π) / 180. Так, для 180 градусов радианная мера равна z = (180 * π) / 180 = π, а для 33 градусов (33 * π) / 180 = 0,57 радиан.

Симметрия тригонометрических функций

На рассмотренном выше чертеже с двумя углами с равной, но отличающейся по знаку равной мерой, опустим перпендикуляры из обеих точек пересечения на оси синусов и косинусов. Очевидно, что эти перпендикуляры пересекут ось косинусов в одной точке. Следовательно, cos (δ)=cos (-δ). Делаем вывод, что косинус является четной функцией, так как по ее определению f(х)=f(-x), а это означает, что график косинуса симметричен относительно оси ординат, что подтверждается его графиком.

Для синуса же очевидно, что координаты точек на оси ординат равны, но противоположны по знаку (равенство следует из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, sin (δ)=-sin (-δ), и синус является нечетной функцией — ее значение от аргумента с противоположным знаком имеет противоположный знак. Графически подобные функции симметричны относительно начала координат.

С другой стороны, используя тригонометрический круг со всеми значениями можно найти точки с одинаковым синусом.  Это будут углы δ и 180- δ. Для них через равенство треугольников можно доказать, что косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку. Синусы этих углов, совершенно очевидно, равны.

Отсюда можно вывести две важные тригонометрические зависимости:

• sin(δ)=sin (180- δ);
• cos(δ)=-cos (180- δ).

Эти же равенства можно вывести алгебраически, но пользуясь  кругом тригонометрии они выводятся проще, нагляднее и лучше запоминаются.

Помимо этого, из данного математического исследования можно сделать важный вывод — одной и той же функции могут соответствовать два различных по знаку угла. Это надо учитывать при поиске корней тригонометрических уравнений.

Краткие правила пользования тригонометрической окружностью

 

Можно использовать тригонометрический  круг для  синусов косинусов — с его помощью легко запоминать значения для характерных углов. Для этого даже не надо чертить окружность — ее можно просто представить с точками в углах, кратных 90 градусов (π/2 радиан), и тогда значения функций получатся сами собой. Чуть расширив воображение, можно применять круг и для поиска значений тангенсов и котангенсов в этих же характерных точках.

Эти характерные углы и соответствующие им значения сведены в таблицу.

Мера угла	Градусов	0 (360)	90	180	270
	Радиан	0 (2π)	π/2	π	3π/2
sin		0	1	0	-1
cos		1	0	-1	0
tg		0	—	0	—
ctg		—	0	—	0

 

Тригонометрический круг также можно использовать для решения простых тригонометрических задач. Пусть надо найти значение уравнения cos(x) = 1/2. Для решения надо отметить на оси косинусов точку с координатой 1/2 .

Через эту точку надо провести перпендикуляр к оси косинусов так, чтобы он пересек окружность тригонометрии. Пунктов пересечения будет два — А и B.

 

Из точки начала координат надо провести радиусы в точки А и В. Соответствующие эти радиусам углы и будут решением уравнения.

Их можно измерить, их мера составит 60 градусов и -60 градусов.  Не стоит забывать и о периодичности косинуса в общем случае решений будет бесконечное множество, и они записываются в виде:

• (60+n*360) градусов;
• (-60+n*360) градусов.

Здесь n — целое число от 0 до бесконечности. Этот способ, как и многие графические методы, не очень точен, зато прост и нагляден.

С помощью окружности со всеми значениями углов можно отбирать корни уравнений по заданному признаку. Например, есть уравнение, корни которого равны (в обоих случаях k— целое число):

• х1=π/3+2πk;
• х2=2π/3+2πk.

Требуется отобрать корни, принадлежащие отрезку [-π, 3π/2]. Помним, что число решений бесконечно. Чтобы выбрать те, что принадлежат заданному отрезку, в первую очередь надо отметить точки 3π и 2π/3 на тригонометрической окружности.

Дальше нанесем на чертеж участок [-π, 3π/2]. Он занимает больше 2π, то есть больше одного оборота. Первый оборот обозначим красной окружностью, продолжение — зеленой дугой. Начало обхода обозначим красной точкой, конец — зеленой.

Так как обе точки при k=0 в любом случае попадут в первый оборот, надо отследить второй оборот. Во втором обороте точки не попадут в него ни разу, поэтому правильный ответ:

• х1=π/3
• х2=2π/3.

Очевидно, что разобранными выше возможностями (определение знака функции, нахождение значений, вывод формул приведения, определения четности и периодичности функций и т.п.) использование геометрической окружности не исчерпывается. По мере изучения тригонометрии еще предстоит неоднократно убедиться в полезности этого математического приема для совершенно различных тригонометрических и алгебраических целей.