Перпендикулярные прямые: определение, построение, теоремы и решение задач

Раздел планиметрии, в котором в 7 классе изучаются перпендикулярные прямые, не считается сложным для освоения. Тем не менее, он важен, так как в нем рассматриваются базовые понятия, без которых исключено дальнейшее изучение геометрии. Не разобравшись, какие прямые называют перпендикулярными, не поняв их свойства, невозможно изучение плоских фигур, а также невозможен переход к стереометрии.

Основные определения

Определение перпендикулярных прямых на плоскости несложно: две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (этот угол равен 90 градусам). Можно отметить, что такие прямые являются частным случаем пересекающихся прямых.

Так, на рисунке прямые WU и MN являются перпендикулярными, так как угол MOU равен 90 градусам. Для обозначения таких прямых принят специальный символ: пишут, что WU⟂MN (чтобы напечатать этот значок в MS Word, надо набрать 27C2, выделить запись и нажать Alt+x). Прямые XY и WU перпендикулярными не являются, так как угол XPU прямым не является.

Вообще, при пересечении двух прямых, образуется не один угол, а 4. На чертеже для прямых WU и MN это:

• ∠ WOM;
• ∠MOU;
• ∠NOU;
• ∠WON

Если принять, что ∠MOU =90 градусам по построению, то ∠WON=∠MOU как вертикальные, ∠WOM=∠MOU, как смежный прямому углу, и ∠NOU=90 градусам по любому из указанных признаков. Следовательно, если один из углов прямой, то остальные также являются прямыми. Отсюда: перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла.

Помимо определения перпендикулярных прямых, в геометрии применяется определение перпендикулярных отрезков. Такими геометрическими фигурами называются отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых. При этом им не обязательно пересекаться. В качестве перпендикулярных отрезков в планиметрии можно встретить, например, перпендикулярные стороны прямоугольника, высоту и основание треугольника, касательную и радиус окружности, проведенную в точку касания (здесь будет прямая, перпендикулярная отрезку) и другие геометрические построения. При решении задач могут встретиться и лучи, перпендикулярные к отрезкам или прямым.

Способы построения перпендикулярных прямых

Самый очевидный способ построения взаимно перпендикулярных прямых – с помощью транспортира. Сначала надо провести первую прямую и отметить на ней точку будущего пересечения.

Затем надо приложить транспортир так, чтобы:

• засечка или отверстие транспортира совпали с точкой будущего пересечения;
• первая прямая прошла через точки 0 и 180 градусов.

Далее надо поставить точку напротив отметки 90 градусов.

Теперь можно убрать транспортир и через обе точки провести прямую. По построению обе прямые пересекаются под углом 90 градусов.

Если транспортира нет, можно воспользоваться угольником. Его угол надо приложить к точке будущего пересечения так, чтобы одна сторона совпала с построенной прямой, и провести другую прямую вдоль второй стороны угольника. Получились прямые, которые пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярность в данном (да и в предыдущем) случае будет зависеть от качества изготовления чертежного инструмента – не всегда угольник будет иметь ровно 90 градусов. Гораздо точнее будет построение перпендикулярных прямых с помощью циркуля и линейки.

Для данного случая из отмеченной точки, (можно назвать ее Х) надо построить окружность, взяв точку Х в качестве центра. Она пересечет прямую в точках M и N (можно полностью окружность не строить, выполнив только засечки в местах пересечения). Получим отрезок MN с серединой в точке Х.

Теперь надо построить еще две окружности (произвольного, но одинакового радиуса, большего расстояния MX или MN) из точек M и N (можно также ограничиться засечками). Они пересекутся в точках Y и Z.

Теперь осталось провести прямую через точки Y и Z. Она будет перпендикулярна исходной прямой и пройдет через точку Х.

Возможен вариант, когда точка Х лежит вне прямой, и требуется построить проходящий через нее перпендикуляр. Тогда также надо построить окружность с центром в точке Х (радиус – любой, превышающий расстояние от точки Х до прямой) так, чтобы она пересекла прямую в двух точках M и N.

Снова получили отрезок, к середине которого надо построить перпендикуляр, а это означает, что задача сводится к предыдущей. Из точек M и N строим окружности, через точки пересечения проводим прямую. Она пройдет через точку X и будет перпендикулярна к исходной прямой.

Теорема о перпендикулярных прямых и ее доказательство

Существует главное свойство перпендикулярных прямых, которое называют теоремой перпендикулярных прямых. Она гласит, что через любую точку на прямой можно провести перпендикуляр, и только один.

Для доказательства от противного возьмем прямую WU и отметим на ней точки O и P. Из точки O отложим угол POM, равный 90 градусам (точка M лежит на луче OM и образует отрезок OM, перпендикулярный прямой WU). Если допустить, что существует другой перпендикуляр, проходящий через точки О и N, то придется принять, что из точки O в одну полуплоскость можно отложить два угла с одинаковой мерой в 90 градусов – ∠POM и ∠PON. Это утверждение неверно, поэтому теорема считается доказанной.

Свойства перпендикулярных прямых

Помимо этого базового свойства перпендикулярных прямых, перпендикулярные прямые обладают и другими свойствами, которые можно применять для решения математических и практических задач.

Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются

Пусть имеется прямая WU, на которой лежат точки O и P. Через эти точки проведены перпендикуляры XY и MN соответственно. Так как UW является для этих прямых секущей и при этом внутренние односторонние углы равны между собой (так как мера каждого равна 90 градусам), то XY||MN. Как известно, параллельные прямые не пересекаются, поэтому две прямые, перпендикулярные третьей прямой не пересекаются тоже.

Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой называется расстоянием от прямой до этой точки

Пусть имеется прямая UW. Точка M не расположена на этой прямой.

Опустим из точки M перпендикуляр на прямую UW до точки O, а также отрезок под произвольным углом до точки X.

Образовался прямоугольный треугольник МОХ, у которого прямой угол – МОХ. По известному соотношению сторон в треугольнике, напротив большего угла лежит большая сторона. Для прямоугольного треугольника наибольший угол – прямой, а это означает, что как бы мы не построили гипотенузу, она всегда будет больше катета. Следовательно, в любом случае MX>MO, и МО – кратчайшее расстояние между прямой и точкой.

Решение задач

Для закрепления пройденного материала предлагается несколько задач – по возрастанию сложности. К ним даны решения, но стоит сначала попытаться самостоятельно найти решение. Во многих случаях для этого придется вспомнить определения и свойства смежных и вертикальных, а также дополнительных углов.

Задача 1. Имеются две перпендикулярные прямые MN и XY.  Из точки O проведены два луча:

• луч OP внутри угла MOY образует ∠POM=37⁰;
• луч OS внутри угла MOX образует ∠MOS.

Найти градусную меру углов POS и NOS, если ∠POY+∠MOS=125⁰.

Решение. Если обозначить меру угла MOS как х, то из равенства ∠POY+∠MOS=125⁰ следует, что ∠POY=125⁰-∠MOS или ∠POY=125-х. При этом ∠POY+∠MOP=90⁰. Можно записать равенство:

125-x+37=90 или x=72.

Тогда ∠POS=37⁰+72⁰=109⁰.

Углы NOS и MOS – смежные, следовательно, ∠NOS+∠MOS=180⁰. Отсюда ∠NOS=180⁰-∠MOS=180⁰-72⁰=108⁰. Меры обоих углов найдены.

Задача 2.  Угол XOY равен 150⁰. Внутри этого угла построены лучи OM и OS так, что OS⟂OY, OM⟂OX. Найти градусную меру угла MOS.

Решение. По построению ∠XOY составлен из углов XOS и SOY. Так как ∠SOY=90⁰ по условию, то ∠XOS=∠XOY-∠SOY=150⁰-90⁰=60⁰.

С другой стороны, ∠XOY построен из углов MOX и MOY. Отсюда ∠MOY=∠XOY-∠МОХ=150⁰-90⁰=60⁰.

Осталось найти ∠MOS=∠XOY-∠МОY-∠XOS=150⁰-60⁰-60⁰=30⁰.

Задача 3.  Прямые x,y,z пересекаются в одной точке O, при этом x⟂z, а ∠1=27⁰. Найти остальные острые углы.

Решение. ∠3=∠1=27⁰, так как эти углы являются вертикальными. ∠2 по отношению к ∠1 является дополнительным, что означает, что ∠2+∠1=90⁰, откуда ∠2=90⁰-∠1=90⁰-27⁰=63⁰.

Можно пойти другим путем. Углы 1,2 и прямой угол, образовавшийся при пересечении прямых x и z, составляют развернутый угол, и их сумма равна 180⁰. Отсюда ∠2=180⁰-∠1-90⁰=180⁰-27⁰-90⁰=63⁰.

Осталось найти ∠4. Он составляет с ∠2 вертикальную пару, их градусные меры равны, следовательно, ∠4=∠2=63⁰.

Задача 4. На чертеже построен развернутый угол XOY, OA⟂XY, ∠MON=90⁰. Требуется доказать, что ∠MOY=∠AON.

Решение. Обозначим градусную меру ∠MOA как α. Из перпендикулярности AO и XY следует, что сумма углов MOA и MOY составляет 90⁰ (то есть, эти углы являются дополнительными). Отсюда ∠MOY=90⁰-α. Из условия ∠MON=90⁰, и он составлен из углов MOA и AON.  Следовательно, ∠AON тоже равен 90⁰-α. Следовательно, ∠MOY=90⁰-α=∠AON.

Задача 5. Отрезки АВ и CD лежат на перпендикулярных прямых и пересекаются в точке О. Внутри угла АОС отмечена точка Х так, что ∠ХОС=30⁰. А точка Z лежит внутри угла так, что ∠DOZ=60⁰.

1. Найти углы ХАО и BOZ.
2. Определить, лежат ли точки X, О, Z на одной прямой.

Решение.

1. Углы ХОС и XAO являются дополнительными по отношению друг к другу, так как они вместе составляют прямой угол. Их сумма равна 90⁰, поэтому ∠XAO=90⁰-∠ХОС=90⁰-30⁰=60⁰. То же самое для углов BOZ и ZOD: ∠BOZ+∠ZOD= ∠ВOD=90⁰ =>∠BOZ=∠ВOD-∠ZOD=90⁰-60⁰=30⁰.
2. Если бы точки X, О, Z лежали бы на одной прямой, то эта прямая вместе с прямой CD образовывали бы вертикальные углы, и тогда выполнялось бы равенство ∠ХОС=∠ Однако эти углы имеют разную меру, следовательно, точки X, О и Z на одной прямой не лежат.

Задача 6. На чертеже построен прямой угол XOY. Луч OM делит его на два острых угла MOX и MOY. Угол между биссектрисами ∠XOY (OB) и ∠MOX (OA) равен 15⁰. Требуется найти углы MOX и MOY.

Решение. Так как OB – биссектриса для XOY, то ∠BOX=∠BOY=45⁰. Угол MOX состоит из двух одинаковых половин ХОА и MOA, градусную меру которых обозначим α. Тогда угол между биссектрисами AOB – это часть угла, образованного стороной OX прямого угла XOY и биссектрисой OB того же угла. ОX и OB образуют угол  ∠BOX =45⁰, отсюда  α=45⁰-15⁰=30⁰. Можно найти величину угла MOX – его половина составляет 30⁰, значит, ∠MOX=60⁰. Угол MOY является дополнительным по отношению к ∠MOX, это означает, что их сумма равна 90⁰, откуда ∠MOY=90⁰-∠MOX=90⁰-30⁰=60⁰. Задача решена.

Задача 7. У трапеции WXYZ противоположные стороны WX и YZ лежат на перпендикулярных прямых. На серединах оснований и серединах диагоналей построен четырехугольник SQRT. Требуется найти его площадь, если известны длины сторон WX и YZ.

Решение. Если рассмотреть треугольники WXY и WXZ, то очевидно, что отрезки SQ и RT являются их средними линиями соответственно. Треугольники построены на общем основании WX, поэтому SQ⟂WX. При этом SQ=WX/2. Отрезок RT тоже параллелен WX и тоже равен WX/2. Отсюда RT||SQ и RT=SQ=WX/2.

Рассуждаем аналогично касательно треугольников с общим основанием YZW и XYZ. У них QR||ST и QR=ST=YZ/2.

Теперь рассмотрим четырехугольник SQRT. Его стороны попарно параллельны, а противоположные стороны попарно равны. Следовательно, он попадает под определение прямоугольника.  Площадь этой фигуры равна произведению двух прилежащих сторон, или S=QR*RT=(YZ/2)*(WX/2)=(YZ*WX)/4.

Задача 8. Дан развернутый угол XOY, где точка О – его вершина. Из этой точки проведены лучи ON и OM так, что угол XOY разделен на 3 равные части. Доказать, что биссектриса OP среднего угла NOM перпендикулярна сторонам развернутого угла XOY.

Решение. Так как углы XON, NOM и MOY составляют развернутый угол и их градусная мера одинакова, то градусная мера каждого из этих углов равна трети от 180⁰: ∠XON=∠NOM=∠MOY=180⁰/3=60⁰. Так как OP – биссектриса и делит угол NOM на две равные части, то ∠РON=∠РOM=60⁰/2=30⁰. При этом угол РОY составлен из углов POM и MOY, имеющих общую сторону. Можно записать, что ∠РОY=∠POM+∠MOY=60⁰+30⁰=90⁰ и луч PO является перпендикуляром к сторонам угла XOY.