Как решать дробно-рациональные уравнения — с примерами

Изучение  дробно-рациональных уравнений в 9 классе обычно особых проблем не вызывает. Их решение требует лишь внимательности и знания общих принципов раздела. Однако овладение навыками нахождения корней дробные уравнения требует уверенного владения математическими приемами, изучаемых в курсе алгебры ранее – действий с дробями, умения решать квадратные уравнения и т.п.

Что такое дробно рациональные уравнения

Рациональными уравнениями называются математические записи, у которых обе части состоят из чисел целых степеней, переменных в целых степенях, а также знаков сложения, вычитания, деления и умножения.

Дробно-рациональным уравнением являются записи вида S(t)/R(t)=0, где S(t) и R(t) – выражения, содержащие переменную t, а также уравнения, которые можно свести к подобному виду. Например, уравнение z/5=4 не принадлежит к данному классу, а 4t²/(3t+1)=5 – принадлежит.

Следовательно, к дробно-рациональным уравнениям относятся такие математические выражения, в которых:

• переменная или выражение с ней стоит в знаменателе;
• отсутствует переменная под знаком радикала или в дробной степени.

Эти два условия определяют специфику решения дробных уравнений рационального типа.

Как решаются дробно рациональные уравнения

Так как рассматриваемый тип математических записей представляет собой дробное уравнение, или, попросту, дробь, то его знаменатель не может быть равен нулю. По этой причине решение дробно-рациональных уравнений начинается с определения области допустимых значений неизвестной, при которых знаменатель, содержащий переменную, не обращается в ноль. Следующим шагом для выражений вида S(t)/R(t)=0 надо приравнять числитель к нулю, потому что только в этом случае дробь будет равна нулю. Это можно записать в виде системы:

• S(t)=0
• R(t)≠0

В качестве примера дробно рациональные уравнения рассмотрим выражение . Перепишем в виде системы:

• z²+4z+3=0
• z+2≠0.

Найдем корни квадратного уравнения:

• z₁=-1
• z₂=-3

Проверяем по второму уравнению системы. И в том, и в другом случае нуля в знаменателе нет, значит оба корня нам подходят.

Любое дробно-рациональное выражение приводится к виду S(t)/R(t)=0, однако в этом не всегда есть необходимость. Можно рассмотреть записи иного вида, как отдельный вид уравнений со способом решения, имеющим свою специфику. Например, еще один тип  дробно-рациональных уравнений выглядит, как S(t)/R(t)= G(t)/R(t). Это означает, что как в левой, так и в правой части стоят дроби, в качестве знаменателя имеющие одинаковые выражения с переменной. Алгоритм нахождения выглядит так:

• определяем ОДЗ;
• приравниваем числители, не обращая больше внимания на знаменатели;
• решаем получившееся уравнение;
• проверяем корни на принадлежность к ОДЗ, отсеивая лишние.

Примером такого выражения может быть уравнение . Начинаем с определения ОДЗ: r-4≠0 или r≠4. Приравниваем числители, получаем квадратное уравнение:

r²-4-3r=0.

Решаем, находим корни:

• r₁=-1
• r₂=4

Подстановка второго корня дает ноль в знаменателе, следовательно, единственным решением является r=-1.

Третий вид данного класса уравнений – если знаменатели не совпадают, а количество дробей может быть две или больше:

S(t)/R(t)+ P(t)/Q(t)=.. =U(t)/W(t)

В этом случае область допустимых значений определяется с учетом каждого знаменателя. Затем уравнения приводятся к единому знаменателю, после чего числители приравниваются.

Решим уравнение .

Знаменатель первого слагаемого обращается в ноль при z=-1, второго – при z=1, третьего – при z=1 и z=-1, следовательно z≠±1. Приводим к общему знаменателю, учитывая, что z²-1=(z-1)(z+1):

Далее используем только числитель:

(z-2)(z-1)+3(z+1)=6.

Раскрываем скобки:

z²-3z+2+3z+3-6=0.

В итоге получаем z²-1=0. Дальше, в принципе, можно не решать – очевидно, что знаменатель обеих слагаемых правой части равен нулю. Все же разложим на множители:

(z-1)(z+1)=0.

Отсюда:

• z₁=1
• z₂=-1

Окончательно убеждаемся, что оба корня не соответствуют ОДЗ, и исходное уравнение решений не имеет.

Следует отметить, что для решения таких дробно-рациональных уравнений надо уметь находить визуально возможности использования формул сокращенного умножения и других путей, способных упростить алгебраические преобразования.

Частным случаем этой категории уравнений является запись, содержащая две дроби — S(t)/R(t)= P(t)/Q(t). В этой ситуации для некоторых случаев можно упростить решение, не приводя дроби к общему знаменателю, а воспользовавшись свойством пропорции. После исследования на ОДЗ надо записать исходное уравнение в виде S(t)*Q(t)= P(t)*R(t). Например,  имеется уравнение . Определим ОДЗ: t≠7. Перепишем исходное выражение в виде  и раскроем пропорцию:

t(7-t)=12 ó-t²+7t-12=0 ót²-7t+12=0

Решаем уравнение второй степени, находим корни:

• t₁=3
• t₂=4

Оба корня не противоречат ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Примеры решения дробных уравнений

Для закрепления навыка  разберем примеры дробно-рациональных уравнений с решениями. Упражнения подобраны так, чтобы в них встречались различные типы уравнений с  использованием всех алгоритмов решения дробно рациональных уравнений.

Пример 1.   Решите дробное уравнение .

Решение. Начинаем с ОДЗ. Знаменатели обращаются в ноль при t=-1, следовательно, если корень попадет в это значение, его придется исключить. Дальше имеется соблазн сократить обе части на t-4, но этого делать нельзя, так как полученное уравнение не будет равносильным. Приводим к общему знаменателю:

Скобки в знаменателе раскрывать не обязательно, ограничимся преобразованиями числителя:

3t²-12t+3t-12=2t²-8t+2t-8

t²-3t-4=0

Находим корни любым удобным методом:

• t₁=-1
• t₂=4

Первый корень попадает под ограничение ОДЗ, следовательно, единственное решение дробно-рационального уравнения: t=4.

 

Пример 2.  Определить, имеет ли решение уравнение х/х=0.

 

Решение. При определении ОДЗ очевидно, что переменная не может быть равна нулю (x≠0). С другой стороны, уравнение может быть обращено в верное равенство только при х=0 (знаменатель должен быть равен нулю). Следовательно, единственный корень не попадает в ОДЗ, и уравнение не имеет решений.

 

Пример 3.  Решить уравнение .

Решение. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому z≠0. Поэтому можно избавиться от дроби, для этого надо обе части уравнения умножить на z. Получим 5z+4=z, откуда 4z=4 и z=1, и этот корень не ограничивается областью допустимых значений.

Пример 4.  Задано уравнение , найти его корни.

Решение. В первую очередь определяем ОДЗ, одновременно анализируя знаменатели на возможность разложения на множители:

• r²-4≠0
• r+2≠0
• r²-2r≠0

Решив неравенства, запишем:

• r≠2, r≠-2
• r≠-2
• r≠0, r≠-2

Объединяем решения:

• r≠0
• r≠2
• r≠-2

К этому моменту становится очевидным разложение знаменателей на множители и способ приведения всех слагаемых к общему знаменателю:

Раскрывать скобки в знаменателе не обязательно, переписываем числители в виде уравнения:

2r+(r-4)(r-2)=r+2

Раскрываем скобки, перенося все члены в левую часть:

2r+r²-2r-4r+8-r-2=0

r²-5r+6=0.

Решив квадратное уравнение, находим корни:

• r₁=2
• r₂=3

Первый корень противоречит ОДЗ. Отбрасываем, оставляем единственный корень r=3.

Пример 5.  Найти корни уравнения , учитывая область допустимых значений.

Решение. Сначала надо найти ОДЗ, при которых ни один знаменатель не становится равным нулю:

• t≠3
• t≠-5

Теперь приведем обе части к единому знаменателю:

Приравниваем числители:

2t+10=t-3

t=-13

Это решение не противоречит ОДЗ.

Пример 6.  Решить уравнение . При решении использовать свойство пропорции.

Решение. Решая уравнение любым способом, сначала надо определить ОДЗ:

• 5z-10≠0
• 4z+8≠0

Решаем неравенства:

• z≠2
• z≠-2

Перемножаем соответствующие члены пропорции:

1*(4z+8)=1*(5z-10)

4z+8=5z-10

-z=-18

z=18

Найденный корень не противоречит области допустимых значений.

Пример 7.  Найти решения уравнения

Решение. ОДЗ, при которых уравнение имеет математический смысл – t-1≠0 или t≠1. Числитель обращается в ноль, если t²+6t-7=0. Решаем уравнение второй степени, находим корни:

• t₁=-7
• t₂=1

Второй корень не соответствует ОДЗ, обращая знаменатель в ноль. Решение уравнения — t=-7.

Пример 8.  Найти корни уравнения третьей степени

Решение. Запрещенное значение знаменателя z-1=0, поэтому область допустимых значений этого уравнения – все вещественные числа, кроме z=1. Для преобразования математической записи можно домножить левую и правую части на z-1, получим:

z³-6z²+11z-6=2z³-5z²+z+2

При переносе и группировке всех членов полином останется кубическим: z³+z²-10z+8=0. Однако несложно заметить, что z=1 является одним из корней уравнения, поэтому возможно целочисленное деление на z-1. В итоге получится z²+2z-8. Следовательно, исходное уравнение раскладывается на множители z³+z²-10z+8=(z-1)(z²+2z-8). Значит, решение можно найти в виде совокупности (не системы!):

• z-1=0
• z²+2z-8=0

Находим корни каждого уравнения:

• z₁=1
• z₂=-4
• z₃=2

Первый корень не удовлетворяет ограничениям ОДЗ, его отбрасываем, оставляем z₁=-4 и z₂=2.

Пример 9.  Найти корни дробно-рационального уравнения

Решение. Первым шагом определим ОДЗ. Первое слагаемое имеет ноль в знаменателе при u=-2, второе – при u=-5. Для определения ОДЗ третьего члена, решаем квадратное уравнение в знаменателе, находим корни:

• u₁=-2
• u₂=-5

Объединяем условия для всех слагаемых в систему:

• u≠-2
• u≠-5

Перепишем исходное уравнение, разложив знаменатель третьего члена на множители:

Теперь стал очевиден путь приведения всех дробей к единому знаменателю, который равен (u+2)(u+5). Умножим на него все уравнение:

Теперь каждую дробь можно сократить:

u(u+5)+(u+1)(u+5)-7+u.

Раскрыв скобки, запишем:

u²+5u+u²+3u+2-7=0 или 2u²+9u-5=0.

Отсюда корни:

• u₁=-5
• u₂=0,5

При этом первый корень противоречит ОДЗ, поэтому решением уравнения является u=0,5.

 

Пример 9.  Практический пример на составление дробно-рационального уравнения. Баржа прошла 108 км по течению реки, развернулась и прошла 84 км против течения. Время в пути составило 8 часов. Скорость течения составляет 3 км/ч. Найти собственную скорость баржи.

 

Решение. Обозначим искомую величину (скорость баржи), как v. Тогда скорость вниз по течению составит v+3 км/ч, а в противоположном направлении — v-3 км/ч.  Тогда время t₁, затраченное на дорогу по течению, равно  t₁=108/(v+3) часов, а время t₂, затраченное на подъем против течения, составит t₁=84/(v-3). Так как общее время t₁+t₂ по условию равно 8 часов, можно составить дробно-рациональное уравнение:

108/(v+3)+ 84/(v-3)=8.

Отсюда ОДЗ:

• v≠3
• v≠-3

Физический смысл ОДЗ также понятен:

• если v=3, то скорость баржи равна скорости течения, и судно при движении вверх будет стоять на месте, время движения будет бесконечным;
• если v=-3 (т.е. судно будет двигаться задним ходом со скоростью течения), оно никогда не достигнет пункта внизу, и не сможет преодолеть течение при движении вверх.

Приводим слагаемые к общему знаменателю и занимаемся числителем:

108*(v-3)+84*(v+3)=8(v-3)(v+3)

108*(v-3)+84*(v+3)=8(v²-9)

108v-324+84v+252=8v²-72

8v²-192v=0

8v(v-24)=0

Отсюда корни уравнения:

• v₁=0
• v₂=24

Оба найденных числа удовлетворяют ОДЗ, однако в данном случае надо учитывать еще и физический смысл корней. По условию задачи теплоход не может иметь нулевую скорость (она должна быть как минимум выше скорости течения, т.е. v>3), поэтому этот корень не соответствует условию. Следовательно, собственная скорость баржи составляет v=24 км/ч.