Производная: определение, основные правила и примеры

В 11 классе средней школы курс алгебры переходит в изучение базовых понятий математического анализа. Понятие производной функции в этом курсе является одним из основных. У некоторых учащихся вызывает затруднение понимание этого термина, им сложно осмыслить, что такое производная функции и как находить производную функции. На самом деле ничего сложного в этом нет, главное — разобраться в теме изначально, понять базовое определение и смысл производной.

Что такое производная функции и зачем она нужна

Пусть имеется какая-либо функция, определенная на  участке [a;b]. Ее значение в точке х0, принадлежащей области определения — f(х0). Тогда значение функции в точке x1, также лежащей на отрезке [a;b] —  f(х1). Можно записать, что x1-х0=Δx и назвать эту величину приращением аргумента. Тогда f(х1) можно записать в виде f(x+Δx) и назвать это приращением функции, обозначив ее Δf(x). Если устремить приращение аргумента к нулю (то есть, взять бесконечно малое значение Δx), то можно записать, что . Отсюда определение производной функции, как предел отношения приращения функции при бесконечно малом приращении аргумента (Δx стремящемся к нулю).

 

Для бесконечно малых величин принято обозначение приращения d вместо Δ. Поэтому записывают производную функции z по переменной x в виде , но можно использовать и упрощенную запись. Для случаев функции с одной переменной можно записать z'(x). Эти записи равнозначны. Также равнозначны записи «найти производную функции» и «продифференцировать функцию».

Следует отметить, что не для каждой функции и не в каждой точке можно найти производную. Признаки дифференцируемой функции изучаются в курсе математического анализа. Вкратце же можно сказать, что производную можно найти для тех функций, для которых существует и он конечен. При этом функция не должна иметь разрыва в данной точке. Пример отсутствия производной в точке х=0  показан для функции . В этой точке функция имеет разрыв, простыми словами  — она в этой точке не существует, так как делить на ноль в знаменателе нельзя. По этой причине не существует и производная в точке х=0.  Значит, дифференцируемая на всем числовом отрезке функция должна быть непрерывна на этом отрезке.

А вот функция  непрерывна, но в точке х=0 требуемого предела не существует, по этой причине функцию продифференцировать в указанной точке нельзя.

Геометрический и физический смысл производной

 

Производная не является абстрактным математическим понятием. Она имеет геометрический смысл. Пусть имеется график произвольной функции. Отметим на оси абсцисс приращение аргумента, а на оси ординат — приращение функции. Обозначим исследуемый участок на графике точками А и В и соединим их, получив секущую АВ (выделена красным). Построим треугольник АВС с прямым углом С, как показано на чертеже. Очевидно, что тангенс угла А (пусть его градусная мера составляет α) равен отношению приращения аргумента AC к приращению4 функции АВ. Если устремить Δx к нулю, то секущая в итоге выродится в касательную  — линию, имеющую с графиком функции только одну точку, и тангенс угла наклона касательной к функции будет равен tgα, и одновременно производной функции по определению. Можно записать, что f'(x)=tgα. Это и есть геометрический смысл производной.

Следует заметить, что формула прямой — y=кх+b. Произведя вычисление производной по правилам, разобранным далее, получим f'(x)=к=tg α.

Можно обратить внимание и на характерную точку x=0 для приведенной выше функции f(x) = |x| Очевидно, что в этой точке провести единственную касательную не получится. Так, в некоторых случаях можно определить возможность нахождения производной через ее геометрический смысл.

Наличие острых углов на графике функций говорит о невозможности построения касательной в характерных точках, как следствие — о невозможности дифференцирования в этих пунктах. Примером отсутствия производной функции служит знаменитая функция Вейерштрасса, как образец непрерывной, но не дифференцируемой ни в одной точке зависимости.

На первый взгляд кажется, что на чертеже есть гладкие участки, подлежащие дифференцированию. Однако при укрупнении масштаба становится понятно, что график состоит полностью из острых углов. Вывод — непрерывность является необходимым, но не исчерпывающим признаком дифференцируемости.

Если проанализировать график произвольной нелинейной функции, можно обнаружить, что на различных участках она растет неравномерно. Например, в окрестностях точки A функция возрастает, Δf(x)>0 при положительном приращении аргумента), угол α острый (больше 0, но меньше 90 градусов). В окрестностях точки B — убывает (Δf(x)<0 при Δx>0), угол β — тупой (больше 90 градусов, но меньше 180). В первом случае тангенс наклона касательной будет положительный, а во втором — отрицательный. Это означает, что значение производной функции в точке А будет положительным, а в точке B — отрицательным. Это можно использовать для исследования поведения функции на возрастание или убывание. Также интересны точки C и D, в которых функция меняет направление с возрастания на убывание или наоборот. В этих переломных пунктах (называемых экстремумами функции) касательная к графику параллельна оси абсцисс, тангенс ее наклона равен нулю, следовательно, производная тоже будет равна нулю. Это свойство производных функций можно использовать для нахождения экстремумов. Применяя все свойства совместно, можно исследовать функцию без построения графика. При этом надо помнить, что если до пункта перелома функция возрастала, а потом стала убывать, то этот экстремум является локальным максимумом (пункт С на чертеже), а если наоборот — убывала и сменила направление на возрастание, то имеет место локальный минимум (пункт D). Если знать, как посчитать производные в определенных точках, можно приблизительно оценить и построить график функции.

Широко применяется понятие производной и в физике. Пусть имеется точка (или человек, или автомобиль, или другой материальный или математический объект, способный к движению), и она находится на оси абсцисс в точке х в момент времени t0.

Через какое то время точка переместилась в точку х1, и это зафиксировано в момент времени t1. Таким образом, произошло перемещение на расстояние х1-x за время t1-t0. Отношение перемещения ко времени — это скорость. Отсюда . Устремив Δt к нулю, получаем . Следовательно,  физический смысл производной — скорость изменения функции или процесса, а так как значение Δt близко к нулю, можно говорить о понятии мгновенной скорости.

Если пойти дальше и рассмотреть движение с переменной (для простоты — с равномерно изменяющейся) скоростью, то можно записать, что если в начальный момент времени скорость была равна v0, а в конечный — v1, то изменение скорости равно . А изменение скорости во времени — это ускорение. Перейдя к пределам, получаем .  Надо заметить, что если скорость с течением времени увеличилась, то ее производная положительна, а если уменьшилась, то  и значение производной отрицательно. Следовательно, знак производной показывает направление изменения функции. Если скорость на временном отрезке не изменилась, то ее производная равна нулю .

Также надо заметить, что скорость — это производная координаты по времени, а ускорение — производная скорости. Дважды продифференцировав координату, можно получить ускорение. Это можно записать, как   . Отсюда ускорение — вторая производная координаты.

Однако в физике производная используется не только в механике и описании движения материальных точек. Например, сила электрического тока является производной по времени от заряда, прошедшего через сечение проводника.

Правила нахождения производных

При решении физических или математических задач чаще всего требуется найти производную от функции, не являющуюся простой переменной или даже просто одночленом. Обычно приходится находить производные от составных выражений. Для упрощения процесса потребуется запомнить несколько простых правил и формул нахождения производной.

Правило первое — выносим константу

Проще всего разобраться, как найти производную выражения, представляющую собой произведение константы на функцию. Надо запомнить, что константа всегда выносится за знак дифференцирования, и в вычислении производной не участвует — (kf(x))’=k(f(x)’). Так, если надо найти производную от f(x)=4×2, то надо записать исходное выражение в виде f(x)=4(x2), и f'(x)=4((x2)’). Отсюда f'(x)=4*2x=8x.

Правило второе — производная суммы функций

Второе правило вычисления производных тоже не сложно. Если функция представляет собой сумму, то и производная представляет собой сумму производных от слагаемых. Иными словами, дифференцируем каждое слагаемое отдельно, а затем найденные выражения складываем их снова. Еще проще — производная суммы равна сумме производных.

Пусть дифференцируемая функция —  g(t)=6t+cos(t). Находим производную от суммы: g'(t)=6t‘+cos(t)’=6+(-sin(t)=6-sin(t).

Правило третье — производная произведения функций

С производной произведения несколько сложнее — нельзя найти производные составляющих и затем просто перемножить их. Для  поиска производной для произведения функций n и m понадобится применить формулу (n*m)’=n‘*m+m‘*n.

В качестве примера надо продифференцировать выражение x2*sin(x):

дифференцируем первый множитель — (x2)’=2x;

найдем производную второго множителя — sin(x)’=cos(x).

Подставляем получившиеся значения в формулу:

2x*sin(x)+ x2*cos(x).

Правило четвертое — производная частного двух функций

Еще более сложно выглядит правило нахождения производной, если приходится дифференцировать частное от деления функций. Тем не менее, его вполне возможно запомнить и применять. При дифференцировании частного    результат вычисляется в виде .

В качестве примера проведем дифференцирование функции :

• выполним нахождение производной числителя (делимого) — (3z-2)’=3;
• продифференцируем знаменатель — (z2+3)’=2z.

Подставив найденные выражения в приведенную выше формулу, получим:

Производная найдена, на этом можно остановиться, а лучше раскрыть скобки в числителе и упростить выражение:

Таблица производных

Решение примеров на нахождение производных через поиск приращений аргумента и функции и их отношения возможно, но ведет к сложным и громоздким вычислениям. Облегчить  нахождение производной функции в процессе решения задач поможет таблица производных многих стандартных для алгебры функций и математических выражений. Чем больше элементов таблицы получится запомнить, тем больше времени и усилий можно будет сэкономить на нахождении сложных производных.

После освоения простых правил и запоминания табличных производных, вопросов, как посчитать производную от несложной функции, возникнуть не должно. Далее можно переходить к более сложным формулам и вычислениям, однако без овладения базовыми навыками дальнейшее изучение математического анализа невозможно.