Квадратные уравнения: простое руководство с примерами и решениями

Квадратные уравнения в математике использовались еще с древних времен. Первые упоминания о них оставили вавилоняне (второе тысячелетие до нашей эры), а решать некоторые квадратные уравнения умел уже, например, средневековый математик Фибоначчи. Сейчас этот раздел алгебры хорошо изучен, и его освоение является частью математической подготовки в средней школе.

Понятие квадратного уравнения

Прежде, чем приступить к изучению способов решения подобных задачи, следует сначала разобраться, что такое квадратные уравнения. Квадратное уравнение (равнозначные термины – уравнение второй степени, квадратный трехчлен) – это уравнение (для изучаемого курса – с одной неизвестной), наибольший показатель степени неизвестной в котором равен двум (попросту говоря – х возведен в квадрат).

Классический (канонический) общий вид квадратного уравнения  — ах²+bx+с=0, где:

• х – искомая переменная;
• а – коэффициент (множитель) при квадратичной переменной (его называют старшим);
• b – средний множитель при переменной в первой степени;
• с – свободный коэффициент.

Запись, в которой множитель а равен единице, называется приведенным уравнением второй степени. Однако трехчлен вида –х²+3х-10=0, строго говоря, таковым не является, так как при квадратичной переменной стоит множитель -1 (так как –х²=-1* х²). Тем не менее, он легко преобразовывается к виду приведенного квадратного уравнения (об этом далее).

Алгоритм решения квадратных уравнений

Решать уравнения второго порядка математики научились давно. Индийские ученые вывели формулы решения квадратного уравнения для частных случаев. В античной Греции были разработаны геометрические методы (Эвклид). Появление современных универсальных способов нахождения корней относят к 17 веку нэ. К их разработке причастны Ньютон, Декарт и другие ученые того периода.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Самый распространенный путь решения квадратных трехчленов, предлагаемый при освоении курса алгебры в 9 классе, и позволяющий решать равенства практически любого типа – через нахождение дискриминанта (от латинского discriminant – различать). Этим термином называется характеристика трехчлена, вычисляемая в виде . Существуют три случая:

1. Дискриминант положительный. В этом случае решение уравнения существует, состоит из двух корней.
2. Если дискриминант равен нулю – решение существует при единственном корне.
3. Дискриминант отрицательный – решения не существует.

Навык решения уравнений второй степени зависит от знания, как найти дискриминант, потому что он не только характеризует равенство, но и входит в формулу нахождения его корней:

Эти формулы подтверждают приведенные выше утверждения о наличии и количестве корней. Так, если дискриминант равен нулю, то –b+0=-b-0, а если дискриминант меньше нуля, то корня квадратного из дискриминанта не существует.

Это можно проиллюстрировать графически. Если D>0, то график функции уравнения второй степени имеет с осью Х две общие точки, в них x=0 (существуют два решения). Если D=0, то парабола касается оси Х лишь в одном пункте, и решение является единственным. Если же D<0, то график и ось X общих точек не имеют.

Неполные квадратные уравнения

Если в равенстве второй степени один из двух коэффициентов (средний или свободный) равен нулю (кроме старшего множителя а при неизвестной в квадрате – в этом случае уравнение теряет статус квадратного), то такое уравнение называется неполным (или квадратным двучленом, или биномом). Такое квадратное уравнение можно решить посредством нахождения дискриминанта. Однако в таких случаях существуют более простые пути нахождения корней.

Как решать квадратное уравнение ax 2 bx 0

Существуют неполные квадратные уравнения вида аx²+bх=0 (в этом случае нулю равен коэффициент с). В этом выражении есть смысл вынести неизвестную величину х за скобку и получить запись вида х*(ах+b)=0. Известно, что результат перемножения равен нулю, если одно (или оба) перемножаемых чисел равны нулю. Как итог:

• х=0;
• или (и) ах+b=0 => ах=-b =>х=-b/а.

Формула решения для такого квадратного уравнения выглядит значительно проще.

Как решать квадратное уравнение ax 2 с 0

Если в уравнении второй степени нулю равен множитель b, то оно примет вид аx²+с=0. Здесь также можно найти дискриминант, но проще преобразовать запись в вид ах²=-с. Далее равенство записывается, как x²=-с/а. Решение находится извлечением квадратного корня из -с/а. Очевидно, что это решение будет существовать только если один из множителей отрицателен.

Формула Виета

Решение квадратных уравнений через дискриминант является распространенным способом, но не единственным. Французский ученый Франсуа Виет предложил другой путь решения квадратных уравнений. Он вывел корреляцию между корнями и множителями:

Для решения равенства в общем случае надо решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Способ получил меньшее распространение, однако в некоторых случаях формула Виета упрощает вычисления, а также:

• помогает решить обратный вопрос (получение трехчлена второй степени по заданным корням);
• помогает находить соотношения между корнями и определять знак корней, не вычисляя их непосредственно.

Приведенными формулами также можно пользоваться не только для нахождения корней, но и для проверки истинности решения трехчленов и биномов. Для этого найденные иным способом корни надо поместить в формулу Виета. Например, для уравнения –х²+7х-10=0 методом вычисления дискриминанта найдены корни х₁=5, х₂=2. Поместив значения в формулу суммы, получим х₁+ х₂=5+2=7, что соответствует значению записи –b/а=-7/-1=7. Формула умножения дает x₁*x₂=5*2=10, что соответствует c/а=-10/-1=10. Следовательно, задача решена правильно.

Упрощаем вид квадратных уравнений

На практике при составлении квадратных уравнений во время решения различных задач множители при неизвестной могут быть различными, но удобнее всего иметь их в целом виде и как можно меньшими для снижения громоздкости вычислений.

Если коэффициенты при переменных трехчлена или двучлена не являются взаимно простыми, их можно разделить на одно и то же число. Например, уравнение -128х²-32х+64=0 можно разделить на 32. В итоге получится трехчлен -4х²-х+2=0, работать с которым гораздо удобнее. Таким же способом уравнение можно трансформировать до приведенного вида при подходящем коэффициенте квадратного члена. Пример такого преобразования записи — трехчлен  15х²+75х-150=0. Разделив все части уравнения на 15, можно получить х²+5х-10=0.

Чтобы избавиться от дробных множителей, можно воспользоваться умножением каждой части уравнения на одно и то же число (его можно подобрать). умножением каждой составляющей на 12 можно привести к виду . Вероятность ошибиться, решая такое уравнение, гораздо меньше, чем для исходного и решать его проще (не требуется приведение к общему знаменателю).

Связь между корнями и коэффициентами

Основная  формула корреляции корней квадратного уравнения с множителями — это уже рассмотренная теорема Виета. Однако из нее следуют еще несколько суждений.

Если в приведенных квадратных уравнениях, которые могут быть представлены в виде x² + bx + c = 0, свободный коэффициент с>0, то оба корня будут иметь одинаковый знак. И наоборот, если с<0, то цифры решения будут с разным знаком.

Другой вывод: если в трехчлене того же вида сумма корней положительна,  то:

• либо и то, и другое решения больше нуля;
• либо положительный корень больше модуля отрицательного;

Если же в том же уравнении второго порядка сумма корней меньше ноля, то:

• либо и то, и другое решения отрицательны;
• либо модуль отрицательного корня больше положительного.

Эти выводы тоже можно использовать при исследовании и решении квадратных трехчленов.

Существует следствие, которое иногда рассматривают, как обособленную теорему. Оно гласит, что полные квадратные уравнения вида ах²+bx+с можно переписать в виде . Такая трансформация называется разложением на линейные множители. Его можно использовать не только для решения трехчленов, но и для преобразования дробей. Например, имеется дробь . Находим корни трехчлена, расположенного над дробной чертой (как решать квадратные уравнения через дискриминант или иным путем — подробно разобрано выше). Решениями будут числа  x = 1 и x = -4/5. Бином в знаменателе трансформируем, вынеся х за скобку: x(x + 1). Значит, запись дроби можно выполнить в виде (при этом не надо забывать, что x не должен быть равен 0 и x+1≠0). Итоговое уравнение гораздо проще исходного. так как не содержит неизвестной в степени, большей 1.

Следует помнить, что подобная трансформация возможна только при положительном дискриминанте (а если вычисленный по соответствующей формуле дискриминант равен 0, конечное выражение принимает форму a(x — x1), так как трехчлен имеет лишь одно решение.

 

 

Примеры квадратных уравнений

Задача 1.

Решите квадратное уравнение 7x-10-x²=0.

Решение.

Перепишем трехчлен в виде x^2--7x +10=0, умножив его на минус единицу, и найдем дискриминант уравнения:

Решения существуют, их можно вычислить в виде и

Задача 2.

Найти корни неполного квадратного уравнения 12х-х²=0.

Решение.

Перегруппируем трехчлен в виде -х²⁺12х=0 и вынесем искомую величину за скобку. Получим х(-x+12)=0. Отсюда находим, что х=0 или х=12.

Можно проверить результат, выполнив решение через нахождение дискриминанта. Второй способ дает те же цифры, следовательно, решение квадратного уравнения верно.

Задача 3.

Решить неполное квадратное уравнение -9х²+3=0.

Решение.

Перегруппируем член уравнения с отрицательным множителем в правую часть. Получим 3=9х² или 3х²=1, Следовательно:

Проверка классическим способом дает тот же результат.

Задача 4.

Можно ли составить приведенный квадратный трехчлен, корнями которого являются числа -5 и 12?

Решение.

По теореме Виета сложенные корни трехчлена второй степени должны давать отношение среднего множителя к старшему со знаком минус, а перемножение корней — отношение свободного коэффициента к старшему. Для приведенного уравнения а=1. Можно составить систему из двух уравнений:

Решая систему, можно получить, что b=-7, C=-60. Значит, такое уравнение существует, и записывается, как х²-7b-60=0. Проверить решение можно, выполнив обратное вычисление и найдя корни любым другим способом.

Онлайн калькулятор квадратных уравнений

В глобальной сети можно найти калькуляторы для решение квадратных уравнений. Для нахождения корней обычно достаточно ввести в предложенную форму коэффициенты а, b, c. Программа решит равенство по заложенному в нее алгоритму решения квадратного уравнения и выдаст готовые корни (или сообщит об отсутствии решения).

Применение онлайн-калькуляторов экономит время и снижает вероятность ошибки, однако снижает эффективность обучения из-за снижения количества упражнений в решениях. В случае, если есть необходимость решения квадратного уравнения через дискриминант, можно использовать интернет-ресурсы только для нахождения исключительно его значения.

Далее корни вычисляются вручную с помощью изученных ранее формул.

Рассмотренные формулы решения квадратных уравнений не являются исчерпывающими. Существуют и другие пути нахождения корней, но практически все они позволяют решать частные варианты уравнений второго порядка. Так, если квадратный трехчлен получится разложить на линейные множители, то для этого случая выведена достаточно простая формула. Однако все эти способы для курса алгебры 9 класса являются экзотикой, а приведенные методы являются основными, их достаточно для решения любых встречающихся в курсе математики и на практике задач.