Один из способов построения такой распространенной геометрической фигуры, как угол — выполнение двух лучей, выходящих из одной точки (на каждом луче для удобства можно отметить дополнительные точки). Однако, из каждой точки можно провести бесконечное количество лучей во всех направлениях.
Определение биссектрисы угла
Наиболее интересным является случай, когда такой луч выходит из вершины внутри уже построенного угла и делит этот угол на две части с равной градусной мерой. Такой луч называют биссектрисой угла (от латинских слов bi — два, и sectio — делить). Так, для приведенного на чертеже тупого угла АОВ луч ОМ будет являться биссектрисой (для удобства визуального восприятия применяется обозначение равных углов равным количеством дуг).
Построить такой луч можно различными способами. Самый простой путь — измерить градусную меру угла любым способом (например, с помощью транспортира). Получившееся значение надо разделить пополам и с помощью того же транспортира построить угол с мерой, равной результату деления, отложив новый угол от любой стороны имеющегося.
Чтобы освоить другой метод, сначала надо разобрать теорему, определяющую одно из основных свойств биссектрисы: любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла (и наоборот — если точка равноудалена от каждой стороны луча, то она лежит на биссектрисе).
Для доказательства можно построить произвольный угол с вершиной в точке О и лучом ОМ, делящим исходный угол на две равные части. Из точки М нужно опустить перпендикуляры на каждую сторону угла.
Этим построением получаем два треугольника — ОМН1 и ОМН2. У этих фигур:
· гипотенуза ОМ общая;
· два острых угла равны по определению биссектрисы угла;
· углы ОН2М и ОН1М прямые по построению.
Следовательно, треугольники равны по правилу равенства двух углов и стороны. Перпендикуляры, являющиеся расстояниями от точки М до лучей, образующих угол, тоже равны.
Чтобы доказать обратное утверждение, надо построить точку, равноудаленную от двух сторон. Через нее надо провести луч ОМ.
Снова получены два треугольника ОМН1 и ОМН2, у которых:
· ОМ — общая сторона;
· стороны MH2 и MH1 равны по построению;
· углы ОН2М и ОН1М прямые по построению.
Вывод: ОМН1 и ОМН2 равны, значит, углы Н2ОМ и Н1ОМ тоже равны, и луч ОМ — биссектриса угла Н2ОН1 по определению. Зная эту теорему, можно строить биссектрисы произвольных углов с помощью циркуля и линейки.
Пусть имеется угол В. Посредством циркуля можно построить окружность любого радиуса с центром в вершине угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках А и С (можно называть угол B углом АВС).
Теперь можно найти середину этого отрезка — точку О, не применяя других инструментов, помимо циркуля и линейки. Если теперь провести луч из точки В через точку О, то он будет являться биссектрисой угла АВС.
В качестве дополнительного доказательства примем, что в треугольниках ОАВ и ОСВ сторона ОВ — общая, АО=ОС по построению, точка О — медиана треугольника АВС, следовательно, она же является биссектрисой и высотой (доказательство — далее).
Что такое биссектриса в геометрии
Понятие биссектриса в геометрии используется более широко, чем луч, проведенный внутри угла. Так, в различных областях практической человеческой деятельности используются треугольники, как геометрические фигуры, имеющие три угла. В разделе геометрии, изучающем свойства треугольников, понятие биссектрисы несколько отличается.
Если биссектриса угла — это луч, то биссектрисой внутреннего угла треугольника называется отрезок, который делит этот угол пополам, при этом начало отрезка лежит в вершине этого угла, а конец — на противоположной стороне треугольника. Так как у этой геометрической фигуры имеется три угла, то, соответственно, есть и три биссектрисы. Интересно, что они пересекаются в одной точке, и это утверждение зачастую применяется в качестве аксиомы. Кроме того, эта точка определяет центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Когда говорят об углах треугольника, по умолчанию имеются в виду внутренние углы, однако, у этой фигуры существуют и внешние. Образуются такие углы продлением одной из сторон треугольника. На чертеже в треугольнике АВС показан внешний угол САD, образованный продлением стороны ВА. Конечно, у такого угла также существует биссектриса (луч АЕ на чертеже). По этой причине в условиях задач лучше явно оговаривать, о каких углах идет речь.
Свойства биссектрисы треугольника
Биссектриса угла в треугольнике обладает теми же свойствами, разобранными выше, что и биссектриса любого угла, так как отрезок является частью луча, который делящего угол пополам, а также каждая точка биссектрисы угла треугольника лежит на равном расстоянии от двух его сторон. Однако в треугольнике имеются условия, определяющие дополнительные свойства биссектрисы. Одно из них заключается в том, что биссектриса делит сторону, противоположную вершине, пропорционально отношению двух других сторон треугольника. Эта теорема была сформулирована и доказана Евклидом еще в античные времена.
Доказать это можно, например, из определения биссектрисы угла. В треугольнике АВС на чертеже ниже ∠ВАD=∠САD=α. Можно найти площади треугольников ВАD и САD, по известным двум сторонам и синусу угла между ними:
Отсюда соотношение площадей
Через углы ВDA и СDA те же площади можно вычислить, как
Углы ВАD и САD являются смежными, значит, их синусы равны. Отсюда 
, и записать окончательно 
.
Это доказательство не единственное. Существуют и другие рассуждения, доказывающие верность теоремы. Например, доказательство через теорему синусов выглядит гораздо более простым. Для него надо выполнить чертеж треугольника АВС, в котором биссектриса AD делит угол при вершине А пополам.
Для доказательства надо записать теорему синусов для треугольника АВD:
Для треугольника ACD по той же теореме:
Из свойств синуса известно, что sin (180-γ)= sin (γ), тогда равенство можно записать в виде
Можно разделить одну пропорцию на другую, в результате получится
У теоремы имеется интересное обобщение для треугольников, в которых построен отрезок от вершины до противоположной стороны, который делит угол в произвольном соотношении. Для такого случая можно записать, что
То есть, произвольно проведенный отрезок делит противолежащую сторону пропорционально сторонам, умноженным на синусы полученных углов. Очевидно, что если эти углы равны (∠DAB=∠DAC), соотношение сводится к полученной пропорции для биссектрисы угла треугольника.
Доказанные выше утверждения справедливы для всех видов треугольников. Однако существуют и частные виды этих фигур. например, равнобедренный треугольник. Для него можно вывести частные утверждения. Например, если опустить биссектрису угла, противоположного основанию, на это основание, то такая биссектриса будет являться медианой и высотой этого равнобедренного треугольника.
Согласно теореме о биссектрисе угла в треугольнике, точка M делит основание на две части, пропорциональные боковым сторонам. Но эти стороны между собой равны, значит, равны и отрезки ВМ и МС, поэтому отрезок АМ является медианой треугольника.
Другое свойство равнобедренного треугольника — его углы при основании равны. Но углы ВАМ и САМ также равны, следовательно, равны и углы АМВ и АМС. Но они при этом являются смежными, а смежные углы могут быть равными только если они прямые. Поэтому АМ является высотой, а треугольники АМВ и АМС являются прямоугольными. Утверждение можно считать полностью доказанным.
Все формулы биссектрисы в треугольнике
Так как биссектрисы углов в треугольнике являются отрезками, они имеют конечную длину. Для решения некоторых задач, необходимо знать эти длины, и их можно найти.
Пусть имеется произвольный треугольник АВС. Отрезок AD делит угол ВАС на две равные части. Требуется найти длину l биссектрисы AD.
Для доказательства надо изначально выполнить дополнительные построения. Сторону АС надо продолжить влево. Через точку В надо построить прямую, параллельную биссектрисе. Она пересечется с продолженной стороной в точке Е. Отрезки АВ и АЕ равны и имеют длину с. Это можно доказать, учитывая, что ∠EBA равен ∠BAD как внутренние накрест лежащие для прямых ЕВ и AD, лежащих параллельно. При этом также ∠BEA =∠DAC как соответственные углы при параллельных прямых EB и AD. Это означает, что и ∠EBA =∠BEA, что позволяет говорить, что треугольник АЕВ является равнобедренным, и АВ и АЕ равны, как боковые стороны такого треугольника.
Применив следствие теоремы косинусов к треугольнику ЕАВ, получим, что 
. Треугольники ADC и ЕВС подобны, отсюда 
, отсюда 
и длина биссектрисы угла А равна 
.
Есть и другие формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника. Например, формула длины через длины сторон треугольника выглядит более громоздко, но выводится проще. Пусть имеется произвольный треугольник с длинами сторон a, b и с, в котором к стороне а провели биссектрису длиной l.
Применяя теорему косинусов, можно записать 
. Используя формулу двойного угла, запишем 
. Отсюда 
. Так как из предыдущей теоремы известно, что 
, можно вывести, что 
. Это окончательный вид формулы для длины биссектрисы через длины сторон.
Существуют и другие формулы для вычисления необходимой длины. Например, Только что выведенную зависимость можно записать в виде 
и выразить через полупериметр, равный 
. Формула примет вид 
. А если известны отрезки d и е, на которые биссектриса делит противоположную сторону, то длину можно найти, как 
.
Выше указано, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Можно вычислить длины отрезков, на которые разбивает биссектрису эта точка.
Пусть в произвольном треугольнике со сторонами длиной a, b, с построены две биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Эта точка разбивает отрезок, проведенный к стороне a на участки с длиной m и n. В свою очередь, сторона а разбивается биссектрисой на отрезки длиной p и q. Можно записать, что 
, при этом 
. Отсюда 
. Это и есть формула длины отрезков биссектрисы через длины сторон треугольника.
Рассуждения приведены для двух биссектрис, однако их можно применить к любой паре из трех, и вычислить длины отрезков для любой биссектрисы треугольника.
Выше доказано, что в равнобедренном треугольнике биссектриса угла является также высотой. Однако можно найти связь между высотой и биссектрисой для и для произвольного треугольника АВС — например, вычислить угол между ними.
Пусть два угла такой фигуры при стороне АВ равны γ и δ. Проведем биссектрису из угла С в точку D на стороне АВ, а высоту — в точку Е (для произвольного треугольника они не совпадают). По свойству биссектрисы угла 
. Так как СЕ — высота, то градусная мера ∠ЕСВ=90- δ. Отсюда 
. Это и есть угол между высотой и биссектрисой в произвольном треугольнике. Для равнобедренной фигуры γ=δ, и угол между отрезками равен нулю (так как они совпадают). Что касается длин биссектрисы и высоты, то они связаны выражением 
, что является простым следствием из выведенной формулы. В равнобедренном треугольнике под знаком косинуса будет ноль, такой косинус равен единице, и длины отрезков совпадут.
В геометрии понятие биссектрисы, как и знание ее свойств, широко применяются для решения задач и доказательств теорем. По этой причине усвоение материала, данного выше, весьма важно — оно позволяет получать новые математические знания и навыки.
