Тригонометрическая окружность позволила тригонометрическим функциям выйти за рамки прямоугольного треугольника. Теперь можно найти синус, косинус, тангенс и котангенс для значения угла (вплоть до огромных значений). Однако при выполнении математических операций во многих случаях удобно пользоваться все же острыми углами, значение которых лежит в пределах 0..90 градусов (0..π/2 радиан).
Список формул приведения
Чтобы трансформировать записи с произвоФльными углами к записям, содержащим градусную меру острых углов, в тригонометрии выведены формулы приведения (от слова «приводить»).
Список всех формул приведения удобно группировать по первому слагаемому аргумента. Так, для значения 90 градусов или π/2 радиан список выглядит следующим образом:
Для 180 градусов или π радиан:
Если первое слагаемое равно 270 градусов или 3π/2 радиан:
И, наконец, для 360 градусов или 2π радиан:
Анализируя формулы приведения, можно сделать вывод, что в правой части аргумент состоит из двух слагаемых:
- так называемой «опорной точки» в виде (π/2)*n радиан (или 90*n градусов) — во всех этих точках значение тригонометрических функций равно 0, 1 или -1, то есть, ведет к упрощению исходной записи;
- градусной или радианной меры острого угла.
В левой части остается только аргумент острого угла, при этом функция может поменять знак или поменяться на кофункцию.
Зачастую к формулам приведения относят и формулы аргумента с противоположным знаком (формулы четности) – sin(-α)=-sin(α) и т.п. В этом случае в записи опорной точки n=0.
Таблица формул приведения
Формулы приведения сводятся в таблицы, которые можно найти в учебниках или в Глобальной сети. Всего получается 32 формулы. В предыдущем разделе их приведено больше, но последний список обычно интерпретируется, как трансформация с помощью свойств периодичности и четности (нечетности) тригонометрических функций.
Другой вариант таблицы формулы приведения. Он более удобен для восприятия и для поиска нужного тождества.
Но лучше постараться их запомнить (хотя бы частично), потому что не всегда под рукой будут учебники с таблицей приведений или доступ в интернет может отсутствовать. Однако этих формул достаточно много, нужны они не так часто, поэтому лучше запомнить мнемоническое правило с зоологическим названием «правило лошади» (или «правило тригонометрической лошади») и выводить необходимую формулу в нужный момент.
При приведении тригонометрических функций надо определить два момента:
- будет ли меняться знак исходной функции;
- будет ли замена исходной функции на кофункцию (синус меняется на косинус, тангенс на котангенс или наоборот) — и здесь поможет «лошадка».
Для этого надо уметь уверенно пользоваться тригонометрической окружностью, чтобы выполнять операции в воображении. Но на начальном этапе тренировок можно и выполнять рисунки.
Сначала определим, в какую четверть (квадрант) попадет рассматриваемый угол. Изначально угол α острый, поэтому он лежит в первой четверти. Например, аргумент имеет вид π+α (или 180+α в градусах). Если к углу, лежащему в первом квадранте прибавить π, то получим точку в III квадранте.
Теперь чтобы определить знак, надо вспомнить расположение знаков тригонометрических функций по четвертям. Это расположение приведено на чертеже.
Если мы работаем с синусом или косинусом, то знак должен быть отрицательным, а для тангенса и котангенса – положительным. Пусть надо вспомнить равенство для sin(π+α). Значит, знак функции меняется.
Чтобы понять, надо ли менять синус на косинус, представим голову лошади, расположенную внутри тригонометрической окружности (или лошадь, смотрящую на эту окружность извне), на которой отмечена опорная точка.
Единичный радиус для угла π расположен вдоль оси абсцисс, то есть горизонтально. Горизонтальное движение головы в большинстве культур означает «НЕТ», поэтому замена на косинус не требуется. Итак, sin(π+α)=-sin(α).
Можно разобрать другой пример, например, для cos (π/2+α). Здесь суммарный аргумент попадает во второй квадрант, в нем косинус отрицателен.
Опорная точка же расположена вертикально, что соответствует движению головы, обозначающему «ДА». Следовательно, надо сменить и знак, и функцию. Отсюда cos (π/2+α)=-sin(α).
Таким образом, геометрическая лошадь позволяет визуально запомнить правило, что если опорная точка равна 0 или π (более глобально — n в формуле (π/2)*n – четно), то функция в правой части остается прежней. Если же опорная точка равна π/2 или 3π/2 (n нечетно), то происходит замена на кофункцию.
Доказательство формул приведения
При изучении формул приведения в тригонометрии становится очевидным, что их левая часть представляет собой функцию с суммой или разностью переменных. Следовательно, для вывода формул приведения достаточно применить известные тождества для суммарного или разностного аргумента.
Формулы приведения с синусом
Формулы приведения синуса выводятся с применением тождества sin(t±s)=sin(t)*cos(s)±cos(t)*sin(s). Применим эту формулу к первой записи в таблице:
sin(π/2+α)=sin(π/2)*cos(α)+ cos(π/2)*sin(α).
Функции от π/2 являются табличными, и равны:
- sin(π/2)=1
- cos(π/2)=0
Отсюда sin(π/2+α)=1*cos(α)+0*sin(α)=cos(α). Остальные формулы приведения тригонометрических функций, содержащие синус в левой части, доказываются аналогично.
Формулы приведения с косинусом
Тем же способом доказываются формулы приведения для косинуса. Используются равенства:
- cos(t+s)=cos(t)*cos(s) — sin(t)*sin(s)
- cos(t-s)=cos(t)*cos(s) + sin(t)*sin(s)
В качестве примера вывода можно взять любую формулу из приведенных 32. Пусть это будет cos(π+α). Применим равенство для суммы косинусов:
cos(π+α)= cos(π)*cos(α) — sin(π)*sin(α).
Из таблиц стандартных значений находим:
- cos(π)=-1
- sin(π)=0
Подставив значения в тождество, получим cos(π+α)=-1*cos(α)-0*sin(α)=-cos(α). Формула выведена. Поняв принцип, остальные тождества несложно вывести аналогичным путем.
Формулы приведения с тангенсом
Для вывода формулы приведения с тангенсами можно также применить формулу сложения, а можно вспомнить, что тангенс равен отношению синуса к косинусу:
tg(t)=sin(t)/cos(t).
Поэтому можно не вспоминать дополнительную формулу, а использовать две имеющиеся:
tg(π+α)=sin(π+α)/cos(π+α)=(sin(π)*cos(α)+cos(π)*sin(α))/(cos(π)*cos(α)-sin(π)*sin(α)).
Заменяем sin(π) и cos(π) табличными значениями (0 и -1 соответственно):
tg(π+α)=sin(π+α)/cos(π+α)=(0*cos(α)-1*sin(α))/(-1*cos(α)-0*sin(α)).
Окончательно tg(π+α)=(0*cos(α)-1*sin(α))/(-1*cos(α)-0*sin(α))=-sin(α)/(-cos(α))=tg(α).
Остальные зависимости для тангенса выводятся тем же способом.
Формулы приведения с котангенсом
Как известно, что котангенс представляет собой отношение, обратное тангенсу: ctg(z)=cos(z)/sin(z).
Можно использовать эту формулу для ctg(2π-α):
ctg(2π-α)= cos(2π-α)/sin(2π-α).
С учетом формул суммы аргументов:
ctg(2π-α)= (cos(2π)*cos(α) + sin(2π)*sin(α))/(sin(2π)*cos(α)- cos(2π)*sin(α)).
Находим в таблице значения функций для 2π:
- cos(2π)=1
- sin(2π)=0
Отсюда ctg(2π-α)= (1*cos(α) + 0*sin(α))/(0*cos(α)- 1*sin(α))= cos(α)/(- sin(α))=-ctg(α).
При желании можно попрактиковаться в доказательстве остальных формул приведения для косинуса.
Примеры и задачи по теме формулы приведения
Для закрепления темы надо разобрать несколько задач и примеров на формулы приведения с решениями. В них придется применить и другие формулы тригонометрии, изученные ранее.
Задача 1. Найти значение выражения 33*(cos(33⁰)/sin(57⁰)).
Решение. В первую очередь надо обратить внимание на связь аргументов тригонометрических функций. Очевидно, что 90⁰-33⁰=57, следовательно, можно попытаться выполнить преобразования для приведения к единому виду. Можно попробовать начать с косинуса в числителе. Перепишем его в виде cos(33⁰)=cos(90⁰-57⁰). По таблице или с помощью мнемонических правил определим, что cos(90⁰-57⁰)=sin(57⁰). Отсюда выражение может быть записано, как 33*( sin(57⁰)/sin(57⁰))=33*1=33.
Можно попробовать зайти с другой стороны. Преобразуем знаменатель по правилу sin(57⁰)=sin(90⁰-33⁰)=cos(33⁰). Тогда получим 33*(cos(33⁰)/cos(33⁰))=33*1=33. Результаты совпали.
Задача 2. Вычислить значение выражения ctg(23π/6)-√3*cos(22π/3)
Решение. Преобразуем выражение почленнно.
- Для первого слагаемого ctg(23π/6)= ctg(24π/6-π/6)= ctg(4π-π/6). Используем формулы приведения и правило лошади. Острый угол расположен в первой четверти, следовательно, знак функции не меняется. Опорная точка равна 4π= (π/2)*8, следовательно, n — четное число, и замены на кофункцию не требуется. Отсюда ctg(4π-π/6)=ctg(-π/6)=- ctg(π/6). Табличное значение этой функции равно -√3.
- Второй множитель второе слагаемого cos(22π/3) запишем, как cos(24π/3-2π/3)=cos(8π-2π/3). Для преобразования воспользуемся свойством периодичности косинуса cos(γ)=cos(γ+2πm). В нашем случае 8π=2π*4, следовательно, cos(8π-2π/3)=cos(-2π/3). Воспользовавшись свойством четности косинуса, запишем cos(-2π/3)=cos(2π/3). Воспользовавшись таблицей, найдем, что cos(2π/3)=-(1/2).
Теперь подставим найденные значения в исходную запись:
-√3-√3*(-(1/2)= -√3+(√3)/2=-(√3/2)
Задача 3. Упростить запись (sin(π+γ)*(cos(-γ))/(2cos(π+γ)*sin(3π-γ).
Решение. Преобразуем члены по отдельности:
- sin(π+γ)=-sin(γ)
- cos(-γ)= cos(γ)
- cos(π+γ)=cos(γ)
- sin(3π-γ)=- sin(γ) (так как 3π=(π/2)*8, а синус — функция нечетная).
Вновь запишем исходное выражение:
(- sin(γ)* cos(γ))/(-2 cos(γ)* sin(γ)).
После сокращения получим 1/2.
Задача 3. Найти значение выражения (12sin(49⁰))/(5sin (311⁰))
Решение. Сначала выполним приведение почленно:
- 49⁰=90⁰-41⁰, следовательно, sin(49⁰)=sin(90⁰-41⁰)=cos(41⁰);
- 311⁰=360⁰-49⁰, следовательно, sin (311⁰)=sin(360⁰-49⁰)=sin(-49⁰)=-sin(49⁰).
Анализируя обе записи, приходим к выводу, что первое преобразование излишне. Достаточно выполнить второе, и получатся функции от одного аргумента (49⁰), и более того — одинаковые функции, на которые можно сократить. Отбросив первую трансформацию, получаем (12sin(49⁰))/(5sin (311⁰))=(12sin(49⁰))/(-5sin(49⁰))=-12/5.
Задача 4. Решить уравнение 3cos(2π+γ)+sin(π/2+ γ)=4
Решение. Преобразуем слагаемые поочередно:
- cos(2π+γ)=cos(γ)
- sin(π/2+γ)=cos(γ)
Подставим трансформированные слагаемые в исходное уравнение:
3cos(2π+ γ)+sin(π/2+ γ)=4 <=>3cos(γ)+ cos(γ)=4
Следовательно, 4cos(γ)=4, откуда cos(γ)=1. Окончательно — γ=arccos(1)=0+2πn=2πn (n — целое число).
Задача 5. Найти значение выражения 39cos(5π/2+β), при условии, что cos(β)=12/13, а β∈(3π/2;2π).
Решение. Так как 5π/2= (π/2)*5, то n — нечетное число. Это означает, что при приведении должна произойти замена функции на синус: cos(5π/2+β)=-sin(β).
Найдем синус угла по известному косинусу: sin2(β)=1-(12/13)2=1-144/169=25/169. Отсюда синус угла β может иметь значения 5/13 или -5/13.
Из того, что β∈(3π/2;2π), следует, что угол расположен в 4 четверти. В этом квадранте синус отрицательный, следовательно, положительный корень отбрасывается, остается sin(β)=-5/13. После подстановки получаем: 39(-sin(β))=39*(-(-5/13))= (39*5/13)=3*5=15.
Задача 6. Вычислить ctg(-β-7π/2) при условии, что tg(β)=2
Решение. Сначала лучше преобразовать аргумент тангенса так, чтобы он выглядел стандартно — сначала точка привязки, затем мера угла. Перепишем ctg(-β-7π/2) в виде ctg(-7π/2-β). Теперь полезно избавиться от знака «минус»:
ctg(-7π/2-β)=ctg(-(7π/2+β)), а применив свойство нечетности котангенса, можно получить ctg(-(7π/2+β))=-ctg(7π/2+β). Далее можно представить 7π/2=2π+3π/2. Используя свойство периодичности тангенса, 2π можно проигнорировать (это всего лишь поворот единичного радиуса тригонометрической окружности на 1 полный оборот). Отсюда исходное выражение примет вид -ctg(3π/2+β). И в таком виде к записи применимы правила приведения:
- 3π/2+β — это третий квадрант, в нем ctg<0;
- единичный вектор точки привязки расположен вдоль оси ординат (сверху вниз), определяем, что требуется замена на кофункцию.
Следовательно, -ctg(3π/2+β)=-(-tg(β))=tg(β). Из условий tg(β)=2, отсюда ctg(-β-7π/2)=2.
Однако решение можно было сократить, пропустив часть трансформаций. Не обязательно было приводить запись к стандартному виду тригонометрических формул приведения. В данном случае единичный радиус угла 7π/2 на тригонометрической окружности вертикален (требует замены на кофункцию), а угол -β-7π/2 лежит в первой четверти (котангенс имеет знак +). Поэтому можно сразу перейти от ctg(-β-7π/2) к tg(β) и получить верный ответ.
