При изучении курса математического анализа и решения задач из этого курса часто требуется находить пределы, содержащие тригонометрические функции, раскрывать неопределенности типа 0/0. Упростить и облегчить эти математические операции может умелое применение так называемого первого замечательного предела и его следствий.
Первый замечательный предел
Построим график функции y=sin(x)/x на отрезке, содержащем точку х=0 (например, (-2π;2π)). Очевидно, что в точке х=0 синус также равен нулю, отсюда возникает неопределённость вида 0/0. Вычислим значения функции (например, с помощью онлайн-калькулятора) в окрестности точки х=0 и внесем в таблицу.
| x | -0,009 | -0,005 | -0,001 | 0 | 0,001 | 0,005 | 0,009 |
| sin(x)/х | 0,99998650 | 0,99999583 | 0,99999983 | 0 | 0,99999983 | 0,99999583 | 0,99998650 |
Очевидно, что 
(как для х→+0, так и для х→-0). То же самое наглядно видно и из графика – на нем и справа, и слева значение функции стремится к 1. Простыми словами это означает, что чем меньше x, тем ближе значения x и sin(x). Определение первого замечательного предела надо запомнить, и это упростит математические операции, встречающиеся в заданиях в курсе математического анализа.
Другая иллюстрация сказанного – график функций y=x и y=sin(x) на одной координатной плоскости. На нем наглядно проиллюстрировано, что чем ближе к точке х=0, тем ближе проходят обе линии, совпадая в нуле.
Основная формула
Запись вида 
является основной формулой первого замечательного предела. Он называется замечательным, так как является широко применяемым инструментом, который помогает при раскрытии неопределенностей вида 0/0, если запись под знаком предела содержит тригонометрические функции.
Чаще всего, перед применением этого математического инструмента исходную запись потребуется преобразовать. Например, надо найти 
. Эта запись при прямой подстановке y=0 дает неопределенность 0/0, под знаком предела содержит тригонометрическую функцию, но эта функция отличается от формулы 1 замечательного предела, поэтому она требует трансформирования. Воспользовавшись известными тригонометрическими соотношениями, можно записать исходный предел в виде 
. Выполнив несложное разложение на множители, получим 
, и здесь в явном виде применима формула изучаемого предела: 
.
Встречаются и иные эквивалентные формы представления этого предела. Иногда можно встретить, что первый замечательный предел имеет вид 
, где k – некий коэффициент. Это также можно непосредственно применять для решения заданий. В качестве простого примера первого замечательного предела рассмотрим запись 
. Прямая подстановка нуля ведет к появлению дроби 0/0. Имеем неопределенность, воспользуемся 1 замечательным пределом – функция подходит под область его применения. Однако непосредственно применить формулу не получится — потребуется предварительное преобразование. Оно состоит в умножении числителя и знаменателя на 3t:
Выражение под знаком lim подходит под формулировку первого замечательного предела, откуда 
Чтобы полноценно пользоваться преимуществами применения этого широко применяемого предела, надо владеть приёмами преобразования тригонометрических записей – помнить формулы, уметь их применять и т.д. Например, для нахождения предела 
потребуется вспомнить формулу cos(b*x)-cos(a*х)=2sin((a+b)/2)*х)*2sin((a-b)/2)*х). Применив ее к исходному выражению, получим 
. Домножив и разделив знаменатель на 2, запишем предел в виде 
и окончательно 
Вывод формулы
Существует несколько путей вывода базовой формулы первого замечательного предела. Осуществить вывод можно, например, с применением тригонометрической окружности.
Алгоритм доказательства построен следующим образом:
- доказательство существования левого предела;
- доказательство существования правого предела;
- доказательство равенства обоих пределов.
Сначала рассмотрим правосторонний предел 
. Так как мы приближаемся к нулю справа, то:
- z>0;
- а так как аргумент строго положительный, достаточно рассмотреть поведение функции на интервале (0; π/2).
Отложим на окружности отрезок OZ под углом z (радианная мера). Потребуется выполнить дополнительные построения:
- точка W с координатами (0,1);
- отрезок WZ;
- отрезок ZH, представляющий собой перпендикуляр, опущенный из точки Z на ось абсцисс;
- прямую WP, параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке W.
При анализе чертежа выясняется, что:
- |ZH|=sin(z) – из свойств тригонометрической окружности;
- |WP|=tg(z) – также из свойств тригонометрической окружности;
- длина дуги WZ=z — из определения радианной меры.
Найдем площадь треугольника WOZ:
SΔWOZ=(1/2)* |OW|*|ZH|=(1/2)* 1* sin(z)= sin(z)/2
Площадь треугольника WOP:
SΔWOP=(1/2)* |OW|*|WP|=(1/2)* 1* tg(z)=tg(z)/2.
Площадь сектора WOZ:
S∠WOZ=πR2*(z/(2π))=z/2.
Анализируя чертеж, можно сделать выводы:
- так как треугольник WOZ построен внутри сектора WOZ, то SΔWOZ≤S∠WOZ;
- сектор WOZ построен внутри треугольника WOP => S∠WOZ≤SΔWOP.
Можно записать неравенство:
SΔWOZ≤S∠WOZ≤SΔWOP
Или:
sin(z)/2≤z/2≤ tg(z)/2
Окончательно:
sin(z)≤ z≤tg(z)
Так как ранее принято, что z>0 и z∈(0; π/2), то и sin(z)>0, и можно добавить, что:
0<1/tg(z) ≤1/z≤ 1/sin(z)
Теперь можно умножить каждый член неравенства на sin(z)>0 и в итоге получить:
cos(z) ≤ sin(z)/z≤1
Если теперь устремить z к нулю, можно отметить, что:
Функция sin(z)/z в окрестностях точки z=0 «зажата» между функцией cos(z) и 1, что дает возможность применить теорему о пределе промежуточной функции. Для наглядности приведены графики всех функций с несколько утрированным масштабом по вертикали, где график sin(x)/x нарисован линией синего цвета.
Следовательно, для z>0 справедливо 
.
Для z<0 можно записать: 
Меняем аргумент –z на t: 
Результат оказался тот же. Следовательно, в точке z=0 существуют два предела с разных сторон, и они равны между собой и равны 1. Отсюда предел существует и тоже равен единице: 
Следствия первого замечательного предела
Наряду с изученным пределом, в математическом анализе в качестве самостоятельных формул применяют следствия из первого замечательного предела. Их также можно применять для нахождения пределов, содержащих тригонометрические функции.
Следствие 1. Достаточно очевидное следствие, которое можно доказать, применив правило Лопиталя – «перевернутый» предел 
.
Найдем предел 
. Непосредственная подстановка ведет к неопределенности 0/0, а наличие синуса предполагает приведение к изучаемому пределу. Выполняем стандартное для таких случаев домножение на подходящий множитель:
. Получили произведение первого замечательного предела, следствия из него и константы. Можем записать в виде 
Следствие 2. То же самое относится еще к одной формуле: 
.
В качестве примера решим 
. Подставив в уравнение 0, получим (1-1)/0=0/0. Знаменатель легко преобразовывается с использованием основного тригонометрического тождества:
Домножаем числитель и знаменатель на 4y, получаем:
Раскладывая на множители и применяя следствие, получаем:
Следствие 3. Широко применяется еще одно следствие первого замечательного предела 
. Оно легко может быть доказано:
Например, надо найти предел 
. Непосредственная подстановка ведет к неопределённости типа 0/0. Поэтому для нахождения предела надо привести его к первому замечательному пределу. Обычно от тангенса в таких случаях стараются избавиться, путем преобразований заменив его косинусом или синусом. В данном случае операции можно упростить, пользуясь выведенным следствием: 
. Получаем в числителе запись первого замечательного предела, в знаменателе – формулу следствия из него. Отсюда 
.
Следует обратить внимание, что в уравнениях с котангенсами, в отличие от тангенса, в любом случае придется избавляться – для него подобного следствия не выведено. Например, для вычисления предела 
(непосредственная подстановка в который ведет к возникновению нуля как в числителе, так и в знаменателе), придется расписать ctg(w) как cos(w)/sin(w), а второй множитель преобразовать согласно основному тригонометрическому тождеству. Итоговый вид записи — 
. Множитель (w+5)/cos(w) после подстановки w=0 не ведет к неопределенности, его значение равно 5, и это число можно вынести за знак предела. Квадрат синуса можно расписать в виде двух множителей, числитель и знаменатель домножить на w, а числитель дважды на 4*1/4. В итоге получится:
. В итоге выходим сразу на три замечательных предела, получив 5*1*1*1*1/4*1/4=5/16.
Следствие 4. 
. Для доказательства выполняется замена переменной – t=arctg(х). Тогда x=tg(arctg(t)=tg(t). Если x→0 то и arctg(x) тоже стремится к нулю, при этом artg(х)≠0 при х≠0, поэтому имеем право записать, что 
.
Следствие 5. 
. Выполним подобную замену – p=arcsin (х), отсюда х=sin(arcsin(x)=sin(p). Запишем предел в виде 
, так как при х→0 арксинус от этой переменной тоже стремится к нулю, а sin(p)≠0 при p≠0. После несложных преобразований получим, что 
.
Существование этого следствия не означает, что исходную запись всегда надо приводить именно к такому виду. Например, имеется выражение 
. После подстановки нуля получаем неопределенность 0/0. Можно попробовать выполнить замену – q=arcsin(4u), отсюда sin(arcsin(4u))=sin(q). При u→0 имеет место предел 
, следовательно в этом случае и q→0.
Так как 4u=sin(q), а u=(1/4)*sin(q), то исходное выражение можно переписать в виде 
.
А можно сразу попробовать привести запись к виду следствия 5. Для этого надо числитель и знаменатель домножить на 4/3: 
. Результаты совпали, но во втором случае путь к решению оказался короче.
Следствие 6. 
. Для доказательства применим формулу половинного угла и немного преобразуем знаменатель: 
. Так как r→0, то и r/2→0, можно записать, что 
. Из первого замечательного предела получим, что 
.
Следствие 7. Несложно доказывается и формула 
.Умножим числитель и знаменатель на число k: 
. Выполним замену переменной k*x=z и заметим, что z→0, когда х→0. Можем записать, что 
В целом же, нахождение пределов тригонометрических функций не всегда сводится к преобразованию их к первому замечательному пределу и следствиям из него. В некоторых случаях рациональнее применять и другие способы, например, замену функции на бесконечно малые значения. Однако выбор оптимального способа решений приходит с опытом, наработать который не удастся, не научившись применять в том числе знания о первом замечательном пределе и следствиях из него.
