При изучении любого раздела математики (включая геометрию) важную роль играют аксиомы (реже их называют постулатами). В отличие от теорем, эти утверждения принимаются без доказательств, и они являются начальным звеном в любой цепочке математических рассуждений. Можно сказать, что изначально вся математика в своей основе имеет систему постулатов.
Основные понятия стереометрии
Стереометрией называется раздел геометрии в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Подобными фигурами являются объекты, не лежащие в одной плоскости. В связи с этим вводится само понятие плоскости, как бесконечной поверхности, через каждую пару точек которой можно начертить прямую.
Знание и понимание свойств плоскостей при их различном взаимном положении в пространстве и при различном расположении точек и прямых весьма важно. Без этого невозможно дальнейшее изучение стереометрии – объемных фигур, в которых плоскости и прямые формируют грани и ребра. Обозначается плоскость обычно строчной греческой буквой (α, β, γ и т.д.). Помимо этого, в стереометрии также оперируют всеми элементами из планиметрии (окружность, круг, квадрат и т.д.)
Аксиомы стереометрии
На начальном этапе обучения геометрии внимание уделяется освоению большого количества аксиом плоскости. Пониманию и запоминанию постулатов отводится важная роль и в освоении курса стереометрии. При изучении этого раздела геометрия в 10 классе в качестве базовых выделяют три аксиомы стереометрии (на самом деле их больше).
Первая аксиома стереометрии
Самая распространенная формулировка первого постулата стереометрии звучит так: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. В виде символов это можно записать, как ABC ϵ α (поверхность также можно пометить в виде ABC). Это утверждение легко практически проверяется в быту – стол или стул с тремя ножками является наиболее устойчивым.
Если же имеется четвертая точка D, то она не обязательно лежит в заданной плоскости α. Так, стул с четырьмя ножками не обязательно устойчив (для этого требуется одинаковая длина всех ножек).
Однако на плоскости можно отметить количество точек, большее, чем 3 (например, 4 и до бесконечности), и определить единственную плоскость можно любыми тремя – но только если они не лежат на одной прямой. Так, в примере на чертеже поверхность α можно определить точками BOC, ODA, COA и т.п., но нельзя точками COD – через них можно построить бесконечно большое количество плоскостей.
Вторая аксиома стереометрии
2 аксиома может быть сформулирована в следующем виде: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. аксиому А2 иллюстрирует рисунок, на котором наглядно показано, что две точки прямой A и B принадлежат плоскости, при этом и вся прямая принадлежит плоскости.
Для дальнейшего понимания возможных ситуаций взаимного положения прямых и п, следует запомнить, что существует всего три случая:
- прямая расположена на поверхности (этот случай только что рассмотрен);
- прямая пересекает плоскость в единственной точке;
- прямая параллельна поверхности, не пересекает ее и не имеет с ней общих пунктов.
Для наглядности можно вообразить прямоугольный параллелепипед WXYZW1X1Y1Z1(прямоугольная коробка), стоящий на поверхности β (на полу).
На этом чертеже прямая XW (и две ее точки) находятся на поверхности β. Прямая X1W1 параллельна поверхности, как и X1Y1, Y1Z1, W1Z1 (не имеют с β общих точек), а прямая Z1Z пересекает β в точке Z.
Третья аксиома стереометрии
Наиболее частая формулировка аксиомы 3 такова: если две плоскости имеют общую точку, то они формируют совместную прямую, содержащую общие точки этих плоскостей. На чертеже показано пересечение двух плоскостей α и β, формирующее прямую a.
Для понимания третьей аксиомы можно вообразить пересечение двух плоских бумажных листов. Не получится пересечь их в одной точке. Это возможно только с формированием совместной прямой (надо учитывать, что плоскость бесконечна!).
Таковы три базовые аксиомы стереометрии. В дополнение к ним в некоторых источниках приводят еще две дополнительные:
- Расстояние между двумя точками в пространстве на любой плоскости будет одинаковым. Иными словами, через две произвольные точки M и N можно построить бесконечно большое число плоскостей, однако на любой из них расстояние MN будет одинаковым.
- Если плоскость делит пространство на две части, то, если произвольно выбранные две точки (А и С на чертеже) расположены в одной части пространства, они не разделяются плоскостью. И наоборот, точки А и B расположены в разных частях пространства, они разделяются плоскостью α.
Эти дополнительные постулаты также можно положить в основу доказательств теорем и использовать для решения задач.
Кроме того, можно упомянуть аксиому, связывающая разделы геометрии. Она гласит, что на любых плоскостях, существующих в пространстве, выполняются все постулаты планиметрии. Это означает, что при освоении стереометрии можно использовать все изученные ранее свойства и особенности плоских фигур. Для этого достаточно задать плоскость, в которой они находятся.
И, наконец, заслуживает внимания еще один постулат. Он дополняет первую аксиому пространственной геометрии и гласит, что для любой плоскости, расположенной в пространстве, существуют точки как находящиеся на ней, так и не принадлежащие ей.
Простейшие следствия из аксиом стереометрии
Наряду с усвоением базовых аксиом стереометрии, важное значение имеет и знание их простейших следствий (иногда их выделяют в самостоятельные доказанные теоремы), которые можно использовать в качестве самостоятельных постулатов.
Одним из выводов из первой аксиомы стереометрии является факт, что через прямую и точку, находящуюся вне прямой, можно построить плоскость, и только одну. В данном случае можно использовать две любые точки (B и С), имеющиеся на прямой. Вместе с внешней точкой A они формируют триаду, позволяющую выполнить единственную плоскость.
Второе следствие – логическое развитие предыдущего. Оно гласит, что через две пересекающиеся прямые также можно построить плоскость, и единственным способом. Пусть на той же прямой a расположены точки B и С. Через точку B можно начертить прямую b, на которой выделить пункт А. Следствие сводится к предыдущему – к возможности построения единственной плоскости через триаду точек, которая вводится первой основной аксиомой стереометрии.
Если же прямые не пересекаются (параллельны), то в этом случае к двум пунктам A и B на одной прямой можно добавить еще точку С на параллельной прямой и выйти на предыдущее заключение. Вывод сформулируется так: через две параллельные прямые можно провести плоскость, и единственным способом.
Однако в этом случае надо учесть, что в стереометрии, в отличие от планиметрии, помимо параллельных прямых существует еще один тип непересекающихся прямых – скрещивающиеся. Эти прямые не лежат в одной плоскости, соответственно, к ним этот вывод из аксиомы по пространственной геометрии не относится. Так, на чертеже слева прямые a и b параллельны, и через них построена плоскость. А прямые справа скрещиваются, не пересекаясь, и плоскость через них построить нельзя.
Задачи на использование аксиом
Понимание аксиом стереометрии и следствий из них позволяет доказывать теоремы в области стереометрии и решать задачи.
Задача 1.
Имеются три точки A B, C, которые попарно соединены отрезками. Требуется доказать, что все отрезки расположены в одной плоскости.
Решение.
Сначала рассмотрим тривиальный случай — точки A, B, С расположены на одной прямой. В этой ситуации ответ очевиден. Если точки формируют треугольник (не расположены на одной прямой), то через них, согласно первому постулату, можно построить плоскость α единственным образом.
Тогда прямая AB расположена в этой плоскости, так как две ее точки лежат на плоскости α (второй постулат). Отрезок AB является частью этой прямой, следовательно, он также расположен на поверхности α.
Расположение отрезков AC и BC доказывается по аналогии — прямые AC и BС лежат на заданной поверхности, так как две точки каждой прямой расположены на α. Это означает, что и отрезки AC и BC принадлежат той же поверхности.
Задача 2.
Две соседние вершины параллелограмма ABCD и точка пересечения диагоналей O, расположены в одной плоскости. Требуется доказать, что остальные две вершины также расположены на поверхности α.
Решение.
Через три точки A,B,O (по первому постулату) можно построить плоскость единственным образом, и эта плоскость, согласно исходным данным — α. Так как точки A и O лежат на этой поверхности, то прямая AO тоже лежит на плоскости α. Точка С лежит на этой же прямой, следовательно, она принадлежит поверхности α. Для точки D доказываем аналогично. B и O лежат на общей плоскости, на ней же лежит точка D, как часть прямой BO.
Задача 3.
Выяснить верность утверждений:
- Если две точки, отмеченные на окружности лежат в плоскости γ, то и вся окружность лежит в плоскости γ.
- Если три точки окружности лежат в плоскости γ, то и вся окружность лежит в этой плоскости.
Решение.
- Имеется окружность, на которой отмечены точки A и B, лежащие на плоскости γ. Согласно первому постулату стереометрии, этого недостаточно, чтобы плоскость, проходящая через них, была единственной. Утверждение ложно. На рисунке показана возможность построения окружности, перпендикулярной поверхности, и пересекающей ее в двух точках.
- Через точки A, B, C, лежащие на окружности, можно построить плоскость, и притом только одну (первый постулат). Пусть это плоскость γ. Прямые AB, BC, AC лежат в плоскости γ, так как на ней по две точки этих прямых. Если на окружности отметить произвольный пункт Z и начертить через него прямую AZ, то эта прямая пересечет прямую BC в точке Q. Прямая AQ принадлежит γ, следовательно, произвольная точка Z также принадлежит γ. Значит, любая иная точка окружности также принадлежит полученной плоскости, и вся окружность лежит на поверхности γ.
Задача 3.
Две плоскости β и γ пересекаются, формируя прямую z. Прямая d проведена на плоскости β и пересекает поверхность γ в точке X. Требуется доказать, что точка X лежит на прямой z. .
Решение.
Точка X расположена на прямой d, которая лежит в плоскости β, при этом прямая z лежит в плоскости γ, то точка X принадлежит поверхности γ. По исходным данным задачи точка X задана, как принадлежащая плоскости β. Следовательно, точка X принадлежит обеим поверхностям. Это означает, что она расположена на линии пересечения z.
Задача 4.
Имеется параллелограмм WXYZ. Его вершина W лежит на плоскости β, при этом прямая YX пересекает поверхность в пункте Q, а прямая YZ — в пункте P. Требуется проверить корректность выполнения чертежа.
Решение.
Через пункты Q и P надо построить прямую m. Очевидно, что точка W не лежит на этой прямой, следовательно, точки Q, W, P не лежат на этой прямой. Отсюда, по первому постулату, эти пункты однозначно определяют плоскость.
Из заданных условий это – плоскость β. С другой стороны, эти же точки определяют поверхность, в которой лежит параллелограмм, и эта плоскость должна совпадать с β, что противоречит исходным данным и рисунку. Вывод: чертеж некорректен.
Возможно и другое решение. Исходно пункты Q,W,P являются общими для плоскости β и плоскости параллелограмма WXYZ. Третий постулат утверждает, что тогда все точки должны лежать на одной прямой, а это противоречит чертежу. Рисунок построен некорректно.
Задача 5.
Есть три взаимно пересекающиеся прямые – x,y,z, причем они пересекаются не в одной совместной точке (пункты пересечения – Q,P,R). Определить, лежат ли эти прямые в одной плоскости.
Решение.
Точки пересечения Q,P.R не лежат на одной прямой. Постулат 1 утверждает, что в этом случае они задают плоскость α единственным способом. Так как пункты Q и P относятся к прямой z, то эта прямая также относится к поверхности α. Аналогично для остальных прямых:
- точки Q и R лежат на α, прямая x также лежит на α;
- точки P и R лежат на α, прямая y также лежит на α.
Вывод: все заданные прямые лежат в одной плоскости.
