Подобные треугольники в геометрии — признаки, свойства и задачи

В быту часто можно встретить предметы, одинаковые по форме, но отличающиеся размерами. Например, корабль и его модель, или футбольный мяч и мяч для тенниса. В геометрии также есть фигуры, отличающиеся только масштабом. Такие фигуры называются подобными. Например, все окружности, круги и квадраты будут между собой подобны. Несколько сложнее обстоит дело с треугольниками.

Что такое подобные треугольники в геометрии

В геометрии существует строгое определение подобных треугольников — их углы должны быть равны, а длины сторон должны быть пропорциональны. Пример подобных треугольников приведен на чертеже.

У треугольников XYZ и UWV соответствующие углы равны, а стороны составляют пропорцию:

• XY/UW=2x/x
• YZ/WV=2y/y
• ZX/VU=2z/z

В математике это обозначается, как ΔXYZ~ΔUWV. Хотя для треугольника XYZ обозначения ΔXYZ, ΔXZY, ΔZYX и т.д. равнозначны, также, как и для второго треугольника ΔUWV, ΔUVW, ΔVWU и т.д., для подобных треугольников принято (но не носит характер обязательного правила), что пропорциональные стороны и равные углы чередуются одинаково. Хорошим тоном будет обозначать подобную пару, как ΔXYZ~ΔUWV. Обозначение ΔXYZ~ΔVWU правилам не противоречит, однако затрудняет и замедляет анализ (особенно, при сложных построениях). Кроме того, подобные треугольники на чертежах могут быть повернуты относительно друг друга на произвольные углы. В этом случае анализ рисунков при несоответствии обозначений еще более затруднен.

Логично для подобных треугольников, различающихся размерами, ввести множитель масштабирования. Он называется коэффициентом подобия треугольников k, и он показывает, во сколько раз один треугольник больше другого. Этот множитель выражается через соотношение сторон. Для этого коэффициента можно взять любую сторону, остальные соотношения будут одинаковыми. Для примера с чертежа: XY/UW=YZ/WV=ZX/VU=2x/x=2y/y==2z/z=k=2.

Попарно пропорциональные стороны называют соответственными, или сходственными (реже).

Полезная информация о подобных треугольниках

Можно запомнить несколько фактов о подобных треугольниках:

• сходственные стороны подобных треугольников расположены напротив одинаковых по мере углов.
• частный случай подобных треугольников — равные фигуры (с равными по длине сторонами), в этом случае коэффициент подобия равен единице.

В некоторых случаях это может помочь в решении примеров и задач.

Признаки подобия треугольников

На практике для выявления подобия треугольников не потребуется измерять все их углы, стороны и вычислять пропорции. Выведены три признака треугольников, и для решения задач в большинстве случаев этого достаточно.

Первый признак подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников — подобие по двум углам. Если у двух треугольников равны меры двух углов, то они подобны. Пусть у уже рассмотренных треугольников равны углы:

• ∠Y=∠W;
• ∠X=∠U

Однако в этом случае должны совпадать и меры углов ∠Z=∠V, так как сумма трех углов в треугольнике равна 180^◦. Отсюда ∠Z=180-∠Y+∠X=180-∠U+∠W=∠V. Следовательно, все углы попарно равны, и это первое условие подобия данных фигур.

Теперь наложим треугольники один на другой, чтобы один из равных углов (например, Z) наложился на другой (в данном случае V). Равенство углов Y и W влечет за собой параллельность прямых, содержащих отрезки  YX и WU. Согласно теореме Фалеса, изучаемой в 8 классе, на противоположной стороне треугольника они отсекают отрезки, пропорциональные отрезкам на ближайшей стороне. Следовательно, ZX/UV=ZY/VW. Если совместить треугольники другими равными углами, например, X и U, можно получить что ZX/UV=YX/UW. Сложив равенства в одно, можно записать, что ZX/UV=ZY/VW= YX/UW. А это второе условие подобия треугольников.

Второй признак подобия треугольников

Второй признак гласит, что  если у треугольников равны два угла (пример для имеющегося чертежа — Y и W), и стороны, прилегающие к углам (XY и UW, YZ и WV) попарно пропорциональны, то эти треугольники подобны.

Для доказательства достаточно убедиться, что в этом случае имеет место равенство еще двух углов треугольников и свести задачу к первому признаку. Чтобы это доказать, надо выполнить дополнительное построение для «малого» треугольника.

Надо начертить еще один треугольник так U₁WV, чтобы у них:

• одна сторона была общая;
• угол 1 был равен углу XYZ большого треугольника;
• угол 2 был равен углу XZY большого треугольника.

Тогда  имеет место подобие треугольников ΔXYZ и ΔU₁WV по двум углам.

Отсюда имеем пропорциональность сторон WV/YZ= XY/U₁W. Из исходных условий XY/UW равно коэффициенту подобия, следовательно, XY/U₁W тоже равно k, и XY/UW= XY/U₁W =>UW= U₁W.

Если рассмотреть треугольники U₁WV и UWV, то у них:

• ∠1=∠XYZ, а ∠XYZ=∠UWV по условию, отсюда ∠UWV=∠1;
• UW= U₁W — доказано ранее;
• AB — общая сторона по построению.

Значит, эти два треугольника равны по углу и двум прилежащим сторонам. Отсюда ∠UVW=∠2. Но по построению ∠2=∠XZY=>∠UVW=∠XZY. Следовательно, у треугольников XYZ  и UWV два угла попарно равны, и треугольники подобны по первому признаку.

Третий признак подобия треугольников

Еще один признак — по трем сторонам, если они стороны пропорциональны друг другу. В этом случае выполняется вторая часть определения подобных треугольников и надо доказать лишь равенство соответствующих пар углов. Для доказательства можно воспользоваться вторым признаком подобия треугольников.

Воспользуемся дополнительным построением, выполненным ранее. ΔXYZ~ ΔU₁WV по двум углам, следовательно, YZ/WV =XY/U₁W=XZ/U₁V. Из условия WV/YZ=YX/UW=XZ/UV. Отсюда U₁W=UW и U₁V=UV и треугольники UWV и U₁WV равны по трем сторонам. Следовательно, ∠UWV =∠1, при этом ∠XYZ тоже равен ∠1 по построению. Отсюда ∠UWV=∠XYZ, что дает право применить для ΔXYZ и ΔUWV второй признак подобия. Следовательно, пропорциональные по сторонам треугольники подобны.

Следует отметить, что существуют упрощенные признаки подобия для прямоугольных треугольников, вытекающие из их свойств. Такие треугольники попадают под определение подобных, если:

• острый угол одного треугольника равен острому углу другого;
• два катета одного треугольника пропорциональны сходственным катетам другого;
• гипотенуза и один катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Эти свойства подобных треугольников можно использовать для более быстрого нахождения решений задач.

Свойства подобных треугольников

У подобных треугольников имеются свойства, которые можно использовать для наиболее быстрого нахождения решений геометрических задач. Эти свойства подобных треугольников представляют собой отдельные теоремы.

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников треугольников равно коэффициенту подобия.

Для доказательства рассматривается уже известный чертеж и соотношение XY/UW=YZ/WV=ZX/VU=k. Можно записать, что:

• XY/UW=k
• YZ/WV =k
• ZX/VU=k

Следовательно:

• UW=k* XY
• WV=k* YZ
• VU=k*ZX

Складываем все равенства: UW+WV+VU=k*(XY+YZ+ZX). Суммы длин сторон — это и есть периметры, отсюда p₁=k*p₂ или p₁/ p₂=k.

Отношение площадей подобных треугольников

Площади подобных треугольников относятся друг к другу, как квадрат коэффициента подобия.

Можно найти площадь треугольников через синус угла и длины двух сторон, прилегающих к этому углу по формуле  , где α — градусная мера угла. Тогда площадь «большого» треугольника равна   , а «малого» — , где:

• α — мера угла YXZ;
• β — мера угла

Так как углы треугольников попарно равны, то α=β, и sinα=sin β. Соответственные стороны треугольников относятся, как XY/UW=k и XZ/UV=k. Отсюда XY=UW/k и XZ=UV/k. Тогда отношение площадей можно записать в виде S_XYZ/S_UWV=((1/2)*XY*XZ*sinα)/((1/2)*UW*UV*sinβ), или, после подстановки выведенных равенств, ((1/2)*XY*XZ*sinα)/((1/2)*(XY/k)*(XZ/k)*sinα). После сокращений получается, что S_XYZ/S_UWV=k², это означает, что  отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия во второй степени.

При изучении подобных треугольников в 9 классе учащиеся уже должны быть знакомы с тригонометрическими понятиями. Но если еще нет, то доказать это свойство можно, выразив площадь через высоту: , где h — высота треугольника, а a — его основание.

Проведем в треугольниках высоты. Их длина будет равна h₁ для «большого» треугольника, и h₂ для «малого». Далее будет доказано, что высоты подобных треугольников пропорциональны с коэффициентом подобия, а пока принимаем это, как данность. Тогда  h₁/h₂=k, и h₁=h₂*k. Так как основания треугольников являются сходственными сторонами, то YZ=WV*k. Значит, соотношение площадей равно S_XYZ/S_UWV=((1/2)*YZ*h₁)/((1/2)*WV*h₂), что можно записать, как S_XYZ/S_UWV=((1/2)* WV*k * h₂*k)/((1/2)*WV*h₂). После сокращения снова получаем S_XYZ/S_UWV=k².

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников

Отношение элементов подобных треугольников (к которым относятся высоты, биссектрисы и медианы, проведенные из равных углов к соответственным сторонам), равно коэффициенту подобия треугольников.

В подобных треугольниках построим из верхнего угла одного треугольника XYZ и верхнего угла другого треугольника UWV  медианы XN и UM. Тогда YN=YZ/2, а WM=WV/2. Тогда ΔXYN и ΔUWM подобны по углу и прилегающим пропорциональным сторонам, при этом XY/UW=k. Следовательно, стороны UM и XN, являющиеся медианами, также пропорциональны с коэффициентом k.

Теперь в тех же подобных треугольниках XYZ  и UWM с коэффициентом подобия k проведем биссектрисы XN и UM. Тогда в треугольниках XYN и UWM углы X и W равны по условию, а углы WUM и YXN равны, как половины углов YXZ и WUV. Следовательно, треугольники XYN и UWM подобны, а k=XY/UW. Тогда и XN/UM=k, что и требовалось доказать.

Наконец, проведем в паре подобных фигур высоты XN и UM. Прямоугольные треугольники YXN и WUM подобны по равенству острых углов Y и W, стороны WU и YX относятся между собой, как k. Отсюда XN/UM=k.

Задачи по теме подобные треугольники

Умение решать задачи на подобие треугольников — важная составляющая подготовки к ЕГЭ по математике. Однако первые две задачи, предлагаемые к разбору, все же больше подойдут для умения находить решение в практических ситуациях.

Задача 1. Пусть имеется фонарь, висящий на высоте 5 м. Человек, стоящий на расстоянии 3 м, отбрасывает тень, длиной 2 м. Как найти рост человека?

Рассмотрим треугольники FOP и MNP. FOP — подобный треугольник для MNP, так как угол P у них общий, углы POF и PNM равны, как прямые. Следовательно, ΔFOP~ΔMNP по двум углам (или по острому углу в прямоугольном треугольнике). Находим коэффициент подобия: k=OP/NP=(ON+NP)/NP=(3+2)/2=2,5. Применив этот коэффициент к катетам FO и MN, получим, что FO/MN=2,5, отсюда MN=FO/k=5/2,5 и рост человека составляет 2 м, что с большой вероятностью говорит о том, что он занимается баскетболом.

Задача 2. Фонаря нет, но есть солнечный день, пятиэтажный дом и дерево, отбрасывающее тень в 15 м. Надо определить высоту дерева.

Можно долго искать в интернете таблицы или калькуляторы, вычисляющие высоту солнца в конкретный день на конкретной широте и долготе. Тогда получится свести задачу к предыдущей. А можно измерить тень от расположенной недалеко пятиэтажки и воспользоваться подобием треугольников HOS и TRE. А они подобны, как прямоугольные с равным острым углом (∠E=∠S — это угол солнца относительно горизонта). Значит, и отношение теней OS/RE равно коэффициенту подобия. Измерив длины теней рулеткой, получим:

• OS=35 м;
• RE=15 м.

Тогда коэффициент подобия k=OS/RE=35/15=7/3. Зная, что высота пятиэтажки равна примерно 14 м, применим к ней коэффициент подобия: HO/TR=k =>TR=HO/k=14/(7/3)=14*(3/7) и высота сосны составляет 6 м. На практике можно даже не выходить из дома, измерив высоту теней на спутниковых снимках, воспользовавшись соответствующими ресурсами в интернете (Google Earth и подобные).

Задача 3. Имеется окружность с центром в точке О. Из точки S, лежащей вне окружности, проведены две касательные, содержащие отрезки SX и SY. Длина каждого отрезка — 156 единиц, а расстояние между точками касания X и Y — 120 единиц. Найти радиус окружности.

Пусть точка E — середина отрезка XY. Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки: SX=SY. Тогда ΔSXY — равнобедренный, и в нем медиана SE является одновременно высотой. Тогда SE находится по теореме Пифагора: SE²=156²-60²=20736=> SE=144. Радиус в точке касания перпендикулярен касательной, значит, радиус OX перпендикулярен SX (а радиус OY перпендикулярен SY). Тогда прямоугольные  треугольники SXO и SEX подобны, так как угол S у них общий. В этом случае OX/XE=SX/SE, и радиус OX=(SX*XE)/SE=156*60/144=65.