Изучив свойства и определение одиночных углов, можно перейти к освоению раздела двойных углов и их свойств. Понятие смежных углов считается очень важным в геометрии со времен Евклида. Оно используется для решения различных задач и доказательства теорем в современном школьном курсе математики.
Определение смежных углов
В определении используется слово, однокоренное словам «межа» или «межевание». Это можно использовать для запоминания формулировки и мысленного представления углов на плоскости.
Итак, два угла называются смежными, если они имеют общую сторону («межу»). При этом две другие стороны являются дополнительными лучами, то есть, лежащими на одной прямой и имеющие противоположное направление. Попросту говоря, две несмежные стороны являются продолжением друг друга. Так, на чертеже углы AOB и BOC являются смежными по отношению друг к другу.
Вторая часть определения смежных углов очень важна. Например, углы АВМ и MBC под эту формулировку не подходят, даже если у них одна сторона ВМ общая.
Имеет право на существование и еще один вариант формулировки второй части определения. Смежными углами называются такие углы, раздельные лучи которых образуют развернутый угол. Это утверждение широко применяется при решении различных геометрических задач.
В качестве визуального примера можно рассмотреть чертеж. На нем пары углов АОС и СОК, ВОК и АОВ являются смежными по отношению друг к другу, а, например, СОА и ВОК — нет. Хотя одна стороны и лежат на одной прямой, общая сторона («межа») у них отсутствует.
Построить смежные углы можно двумя способами. У имеющегося одиночного угла одну сторону продлить за его вершину, как показано на чертеже слева. Либо, как на чертеже справа, на прямой отметить точку и провести от нее луч так, чтобы он не лежал на этой прямой.
Важно также не смешивать понятия смежных и дополнительных углов — вторые также имеют общую сторону и лежат по разные стороны от нее, однако составляют не развернутый, а прямой угол (их сумма равна 90 градусов). Кроме этого, к категории двойных углов относятся и вертикальные углы, свойства которых описаны в другом разделе (хотя при их построении возникают и смежные углы).
Смежные углы и их свойства
Изучение свойств смежных углов позволяет визуально находить такие углы на чертежах, а также использовать определения и теоремы для решения различных математических и практических задач.
Градусная мера смежных углов
Главное свойство смежных углов, используемое в школьной геометрии до выпускного класса, формулируется в виде теоремы. Сумма двух смежных углов составляет 180 градусов. Это доказано на примере, показанном на чертеже.
Пусть ∠АОВ и ∠ВОС по определению смежные друг другу углы. Тогда ∠АОС — развернутый угол, между сторонами которого расположен луч ОВ. Очевидно, что сумма АОВ и ВОС равна градусной мере этого развернутого угла, и составляет 180 градусов или π радиан.
Решим простую задачу. Пусть величина угла ВОС равна 48 градусам. Какую меру имеет ∠АОВ?
Обозначим меру AOB, как х. Согласно только что доказанной теореме, сумма смежных углов равна 180, отсюда х+48=180, следовательно, х=132 градуса.
Усложним условие задачи. Пусть один из смежных углов (АОВ) имеет градусную меру, на 40 градусов большую ∠ ВОС. Требуется найти оба угла. Для этого надо обозначить меру меньшего из углов y, тогда величина большего угла будет у+40. Суммарно их мера составит 180 градусов, что можно записать, как у+у+40=2у+40=180. Отсюда 2у=140, и меньший угол будет равен 70 градусов, а больший — 110. Проверяем: 70+110=180. Задача решена верно.
Задание с еще более сложным условием: один из смежных углов в 1,5 раз больше другого. Чему равны градусные меры обоих углов?
Также обозначим меру меньшего угла через y. Тогда больший угол будет составлять 1,5у градусов. По основному свойству смежных углов их сумма будет равна 180 градусам, что записывается в виде у+1,5у=180. Трансформируем уравнение в вид 2,5у=180, отсюда y=72, а 1,5у=108. Проверочное сложение даст 72+108=180. Задача решена.
Условие следующей задачи задает, что градусные меры углов соотносятся, как 3:2. Найти значение каждой из них, если углы смежные. Для решения удобнее в качестве неизвестной z выбрать одну долю. В этом случае один из углов будет иметь величину 3z, а другой — 2z. Согласно определению и свойству смежных углов, их сумма равна 180 градусов, что позволяет записать 3z+2z=180. Отсюда 5z=180, z=36. Значит, углы будут равны 2z=72, 3z=108. Проверочное сложение даст подтверждение правильности результата.
И еще одна задача, в которой сумма смежных углов относится к ее разности, как 2:9. Требуется найти эти углы. Чтобы решить задачу, надо обозначить меру одного из углов x градусов, другого — у. Тогда их сумма составит x+y=180 градусов, разность — x—y. Отношение суммы к разности 
. Поставим вместо суммы 180 градусов: 
. Раскрываем пропорцию: 9
(x — y) = 360 . Отсюда x-y=40. Имеем систему из двух уравнений:
Решая систему любым способом, получаем: х=110 градусов, y=70 градусов.
Сумма смежных углов следствие из теоремы
Выводы из приведенной теоремы не менее важны. Первый вывод кажется тривиальным, тем не менее он широко применяется для составления и решения геометрических задач: если мера одного из смежных углов равна φ градусов, то мера второго равна 180-φ. Например, если на предыдущем чертеже ∠АОВ составляет 120 градусов, то смежный ему ∠ВОС имеет меру 180-120=60 градусов.
Для вывода другого следствия надо построить биссектрисы заданных углов. Пусть луч МС делит на равные части (обе с градусной мерой х) тупой угол AMN, а луч МD делит на равные углы NМD и NМВ (каждый мерой в у градусов) острый угол NМВ.
Учитывая, что ∠AMN=2х, а ∠NМВ=2у, а их сумма составляет 180 градусов, можно выполнить запись 2х+2y=180. Отсюда х+у=90 градусов. Вывод: мера угла между биссектрисами смежных углов составляет 90 градусов или 
радиан. Эти следствия можно использовать, например, для решения задач и примеров.
Можно решить контрольную задачу. На чертеже LКZ и ZКР — углы смежные с общей стороной КZ. Луч КS лежит внутри угла LКZ, ∠LКS=30 градусам. Требуется найти угол между биссектрисами углов ZКР и SКZ.
Из чертежа очевидно, что углы LKS и SKP являются смежными между собой. Следовательно, ∠SKP=180-∠LKS=180-30=150 градусов. Построим биссектрисы KW и KO углов ZКР и SКZ соответственно. Каждая из них разбивает свой угол на два, имеющих градусную меру x и z (см.чертеж). Тогда ∠ZКР=2x, а ∠SКZ=2z. Замечаем, что ∠SКP=∠ZКР+∠SКZ=2x+2z, а ранее показано, что он равен 150 градусов. Отсюда 2x+2z=150, х+z=75 градусов. А это и есть мера угла между биссектрисами KW и KO.
Для решения следующей задачи надо рассмотреть чертеж. На нем угол АМD равен 125 градусов, ∠ВМС=115 градусов. Требуется найти градусную меру угла ВМD.
Для решения надо уяснить, что ∠ВМD входит, как часть, в состав углов как АМD, так и ВМС. Углы DМС и АМD являются смежными по отношению друг к другу, их сумма составляет 180 градусов. Следовательно, мера ∠DМС равна 180-125=55 градусов. Мера угла ВМС складывается из мер углов ВМD и DМС, значит, ∠ВМС=∠ВМD +∠DМС, отсюда ∠ВМD=∠ВМС-∠DМС=115-55=60 градусов.
Следующая задача — на углы в треугольнике. Пусть имеется треугольник АВС. Можно построить разнонаправленные лучи АМ и ВN, лежащие на прямой АВ. ∠МАС и ∠АВС в сумме составляют 180 градусов. Предлагается доказать, что ∠МАС= ∠NВС.
Для решения можно обозначит меру угла АВС равной х. Из условия вытекает, что ∠МАС=180-х. Учитывая, что АВС и NВС — смежные, можно записать, что мера ∠NВС тоже равна 180-х. Задача решена.
И еще одна задача. Если два угла равны, будут ли равны и смежные им углы? Для решения обозначим заданные углы, как φ. Тогда градусная мера каждого из смежных углов будет равна 180-φ, а это означает, что вторые углы, смежные равным, также равны между собой.
Графически это может выглядеть, как на чертеже. Равным между собой углам φ соответствуют равные углы 180-φ.
Точно также можно доказать, что если два угла не равны между собой, то и меры их смежных углов тоже не равны. Пусть даны два угла так, что ∠α≠∠λ. Смежные им углы будут равны 180-α и 180-λ.Так как по условию ∠α≠∠λ, то и разности также не будут одинаковыми. А еще отсюда следует, что углу с большей мерой соответствует смежный угол с меньшей мерой — и наоборот.
Острые тупые и прямые углы
Суммарная градусная мера двух смежных углов всегда равна 180 градусов, но их виды могут быть различными. Например если углы имеют одинаковую меру, то они оба всегда будут прямыми. Если обозначить градусную меру каждого угла через λ, то сумма будет составлять λ+λ =2λ=180 градусов, и λ=90 градусов. Это будет решением задачи, в которой ставится вопрос, могут ли смежные углы быть равными.
Можно поставить вопрос с другой стороны: если один из смежных углов равен 90 градусам, какова градусная мера другого (обозначим ее х)? Решение несложно. Так как сумма углов равна 180 градусов, то x=180-90=90 градусов. Снова получаем вывод, что угол, смежный прямому, всегда прямой.
Во все остальных случаях один угол всегда будет острым, другой — тупым. Для доказательства надо вспомнить, что тупым углом называется такой угол, мера которого больше 90 градусов, а острым — меньше 90 градусов. Пусть мера тупого угла составляет 90+x градусов, тогда мера другого будет 180-90-x=90-x. И наоборот, если мера острого угла составляет 90-x, смежный с ним будет иметь меру 180-90+x=90+х. Иными словами, угол, смежный тупому, всегда будет острым, а смежный острому углу- тупым.
Следовательно, два смежных угла не могут быть:
- оба тупыми;
- оба острыми;
- один угол прямым, другой тупым
- один угол прямым, другой острым.
Эти правила прямо следуют из рассуждений выше.
Помимо этого, у двух смежных углов есть интересное свойство — их синусы всегда равны, несмотря на разницу в градусной мере. Это следует из свойств периодичности тригонометрической функции: sin(180-φ)=sin(φ) для градусов под знаком синусов, или sin( —φ)=sin(φ) для радианной меры. Очевидно, что аргументы синусов в противоположных частях равенств являются мерой смежных углов. Подтверждение можно найти и на графике синусоидальной функции. Любые две точки — φ и 180-φ значения функции равны. Так, на чертеже приведены примеры для 30 градусов и 180-30=150 градусов.
Это свойство можно проверить и непосредственно. Например, синус одного из смежных углов равен 0,65. Можно найти соответствующий ему угол (любым способом, например, с помощью инженерного калькулятора). Мера такого угла в градусах будет составлять 40,5416018735045≈40,5416, а смежный ему угол — 139,4584 градусов. Его синус можно найти также с помощью программных средств, он равен 0,65 (с учетом погрешности округления и вычисления).
А вот косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов хоть и равны по модулю, но противоположны по знаку. Это также является следствием из периодичности данных функций:
- cos(180- φ)=-cos(φ);
- tg(180- φ)=-tg(φ);
- ctg(180- φ)=-ctg(φ);
Здесь также видно, что аргументы функций являются смежными углами, а проверить верность выражений можно прямой подстановкой углов, как это сделано для синусов. Например, косинус одного угла равен 0,5. Тогда угол будет составлять 60 градусов, а смежный ему — 120 градусов, и cos(120)=-0,5. Это легко проверить программным способом или по таблицам.
А можно проверить графически. Для той же пары точек (60 и 120 градусов) для косинуса значение функции будет равным, но противоположным по знаку.
Теми же методами можно проверить истинность утверждений для тангенсов и котангенсов, однако следует помнить, что у этих функций есть неопределенные значения (для случая углов, которые можно построить: 90 градусов для тангенса, 180 для котангенса), и при этих аргументах указанные формулы для смежных углов нелегитимны.
Приведенные задачи и теоремы не исчерпывают раздел геометрии, изучающий смежные углы. Они дают лишь базовые понятия, которые в дальнейшем можно развить и использовать для дальнейшего освоения курса математики.
Очень познавательно