Теорема Менелая

Античный ученый Менелай Александрийский в составе своего математического наследства оставил потомкам трехтомник под названием «Сферика» и шеститомник «Вычисление хорд», который не сохранился до наших дней, а также другие труды в области математики и астрономии. Помимо начал неевклидовой геометрии (он изучал сферические треугольники), Менелай оставил классическую теорему, названную его именем.

Содержание

Теорема Менелая
Формулировка теоремы Менелая
Доказательство теоремы
Формулировка теоремы Чевы
Доказательство теоремы
Следствия из теоремы
Запишем для трех углов:
Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ
Задача 1
Задача 2

Эту простую и красивую теорему, которая вошла в золотой фонд античной математики, называют теоремой о трансверсалях или теоремой о полном четырехстороннике, а также теоремой шести величин. Теорема была сформулирована Менелаем для планиметрии, а затем перенесена на сферическую поверхность. Далее речь будет идти о «плоском» варианте теоремы.

Формулировка теоремы Менелая

Теорема менелая для треугольника имеет различные формулировки, а наиболее распространенная из них звучит следующим образом. Пусть имеется треугольник XYZ. На его сторонах и на прямых, содержащих стороны, можно отметить Х₁, Y₁, Z₁ так, чтобы они не совпадали с точками вершин и лежали на одной прямой (точки обозначены по противолежащим им вершинам). Тогда произведение соотношения длин каждых двух отрезков можно записать в виде:

Соответствующие отрезки на чертеже и в формуле показаны одинаковыми цветами. Для запоминания пропорции можно воспользоваться мнемоническим правилом — обходим треугольник от одной вершины, например, Х, через две другие – Y и Z, и возвращаемся в вершину X, проходя через отмеченные промежуточные точки. Для каждой стороны:

первый отрезок (красный) от вершины до точки;
второй отрезок (зеленый) от точки до вершины.

То есть, для стороны XY, на которой расположена точка Z_1,отношение записывается, как ХZ₁/Z₁Y, и так далее. Другое правило для запоминания:»едем из города в город и заезжаем на заправку», где город — вершина треугольника, а заправка — промежуточная точка.

Эта теорема называется прямой теоремой Менелая. Она гласит, что выполнения неравенства необходимо и достаточно для того, чтобы точки лежали на одной прямой. Существует формулировка обратной теоремы: если для трех точек на сторонах треугольника или их продолжениях, выполняется равенство, приведенное выше, то эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство теоремы

Как и у многих теорем, дошедших до нас с античных времен, у теоремы Менелая существует несколько доказательств. Самое распространённое в силу своей очевидности основано на свойствах подобных треугольников.

Для этого надо провести из точки Z прямую, параллельную стороне YX. Она пересечет прямую Y₁Z₁, на которой лежат рассматриваемые точки, в пункте W.

Тем самым на чертеже сформируется несколько пар подобных треугольников. Рассмотрим треугольники Y₁WZ и Y₁Z₁X. У них угол Y₁общий, а стороны Y₁W и Y₁Z₁, ZY₁ и XY₁ попарно пропорциональны. Следовательно, эти треугольники подобные.

Из подобия треугольников следует, что отношения длин сторон XZ₁ к WZ равно отношению стороны ХY₁ к ZY₁:

Отсюда .

Теперь рассмотрим другую пару треугольников – X₁ZW и X₁YZ₁.

У них углы при вершине X₁ равны, как вертикальные. Углы ZWX₁ и YZ₁X₁являются накрест лежащими при параллельных прямых ZW и YX, а секущей является прямая Y₁Z₁. По этой причине эти углы также равны, отсюда следует, что треугольники X₁ZW и X₁YZ₁подобны. Можно записать, что .

Отсюда .

Приравниваем правые части дробей, содержащих WZ:

Теперь обе части дроби можно умножить на дробь, обратную левой части:

Окончательно имеем:

Что и требовалось доказать.

Для обратной теоремы рассмотрим другой чертеж. Пусть прямая Y₁Z₁ пересекает сторону YZ в точке X₂.

Так как точки Х₂, Y₁, Z₁расположены на одной прямой, то для них из доказанного ранее справедливо .

Сопоставим полученные результаты с полученным ранее равенством и чертежом:

Делаем вывод, что или , и точка X₂ совпадает с точкой X₁.

Формулировка теоремы Чевы

В новейшие времена теорию секущих и вопросы пропорциональности деления развивал итальянский ученый Джованни Чева. Помимо других достижений, в своем математическом наследии он оставил теорему, также ставшую классической и считающуюся дополнением теоремы Менелая. Формулировка теоремы Чевы звучит так: пусть в произвольном треугольнике XYZ из каждой вершины к противоположной стороне (или ее продолжению) проведены отрезки. Эти отрезки пересекутся в одной точке О тогда и только тогда, когда выполняется равенство .

Это утверждение называют прямой теоремой Чевы. Но оно также работает и в обратную сторону: если условие, заданное отношением отрезков, выполняется, то отрезки пересекаются в одной точке.

Следует отметить, что такие отрезки вошли в математику под названием чевианы. Возможны два варианта построения чевиан: если общая точка О расположена внутри треугольника (как на чертеже, когда точки пересечения лежат на сторонах) или точка О лежит вне треугольника (это возможно, когда отрезки проведены к продолжениям сторон).

Доказательство теоремы

Для этой теоремы также существует не единственное доказательство. Для одного из них надо провести прямую NM через вершину Z так, чтобы эта прямая была параллельна стороне YZ. Прямые, содержащие отрезки ZZ₁ и YY₁ пересекают эту прямую в точках N и M соответственно.

Треугольники YY₁Z и MY₁X подобны, так как:

углы XY₁M и YY₁Z вертикальные;
углы Y₁ZY и Y₁XM – накрест лежащие.

Отсюда следует равенство

Если рассмотреть треугольники YZ₁Z и XC₁N, то у них:

∠ZZ1Y=∠Z1NX;
∠Z1YZ=∠Z1XN,

Так как эти углы составляют накрест лежащие пары. Следовательно, выделенные на чертеже треугольники подобны. Из их подобия можно сделать вывод: .

Рассуждая аналогично, из подобия треугольников OYZ и OMN (по двум углам), можно вывести, что .

Перемножаем левые и правые части всех равенств: . После сокращений получается заданное равенство

Следствия из теоремы

Из теоремы теоремы Чевы существуют несколько следствий. Их можно применять для решения задач по геометрии.

Следствие 1. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. В этой ситуации верно равенство .

Пусть в треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Из определения медианы, на сторонах AB, BC, CD получаются отрезки равной длины:

AF=FB;
AE=EC;
CD=DB.

Следовательно:

AF/FB=1;
AE/EC=1;
CD/DB=1.

Это дает право приравнять отношения и записать равенство, заданное в условии.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке.

Так как биссектриса делит угол на равные части, то у получившихся углов равны и косинусы, как отношения противолежащих тангенсов к гипотенузе.

Запишем для трех углов:

для угла А: BD/DC=AB/AC;
для угла B: AE/EC=AB/BC;
для угла C: AF/FB=AC/BC.

Применяем теорему Чевы:

Следствие 3. И высоты треугольника тоже пересекаются в одной точке.

Пусть имеется треугольник, у которого все углы острые. Опустим из каждого угла высоты на противоположные стороны. Из свойств прямоугольных треугольников:

AF/FB=AC*cosA/BC*cosB;
BD/CD= AB*cosB/AC*cosC;
CE/AC= BC*cosC /AB*cosA.

Перемножив равенства, получим

Другой треугольник – тупоугольный (мера угла B>90 градусов). В этом случае высота угла В лежит на стороне АС, а высоты других углов – на продолжении соответствующих сторон. Тогда точка О (ортоцентр треугольника) будет лежать вне пределов треугольника.

При изучении треугольников ADC и CFB можно обнаружить, что AF=AC*cosA, а FB=BC*cos(180-B), что можно записать, как FB=BC*-cosB. Следовательно, AF/FB= -(AC*cosA/ BC*cosB).

Теперь можно рассмотреть треугольники ABD и ADC. Для них аналогично BD=AB*cos(180-B)=-AB*cosB и DC=AC*cosC. Отсюда BD/DC=-(AB*cosB/AC*cosC).

По тому же принципу для треугольников ВЕС и АЕВ можно найти, что CE=BC*cosC и EA=AB*cosA. Для отношения отрезков запись выглядит, как CE/EA= BC*cosC/ AB*cosA. Теперь для окончательного доказательства надо перемножить все три выведенных тождества: . После сокращения правой части получится .

В качестве частного случая можно рассмотреть прямоугольный треугольник. У него лишь одна высота представляет собой обособленный отрезок, а две оставшиеся совпадают с прилежащими сторонами. Тем не менее, очевидно, что все высоты также пересекаются в одной точке (вершина С).

Следствие 4. И даже серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника будут иметь общую точку пересечения.

Для доказательства надо построить треугольник Z₁Y₁X₁ с вершинами сторон на серединах сторон исходного треугольника ZYX. Стороны внутреннего треугольника будут являться средними линиями для сторон внешнего. Это означает, что внутренние стороны параллельны внешним сторонам.

Теперь можно построить серединные перпендикуляры к каждой стороне «большого» треугольника. Каждый из них будет содержать соответствующую высоту к сторонам «малого» треугольника, а высоты, как доказано выше, пересекаются в одной точке.

Следствие 5. Если в треугольник вписать окружность, то отрезки, опущенные из вершин в точки касания на противоположных сторонах, пересекутся в одной точке (называемой точкой Жергона).

Прямые YZ и YX являются касательными к вписанной окружности, проведенные из точки Y. Это означает, что Z₁Y=YX₁. По тому же принципу X₁Z=ZY₁ и XZ₁= Z₁Y. Отсюда .

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Изучение теоремы Менелая и теоремы Чевы не входит в базовый курс школьной геометрии. Однако их разбор дается на факультативных занятиях, а также при подготовке к олимпиадам, включая проводимые в режиме онлайн конкурсные работы по математике. Тем не менее, при подготовке к ЕГЭ навык решения задач с помощью этих теорем будет весьма полезным, так как тем самым нахождение ответов в некоторых случаях упрощается.

Задача 1

Пример задачи на теорему Менелая. Имеется параллелограмм WXYZ. Точка N делит отрезок WZ в отношении k , а точка L делит отрезок ZY в отношении m. Прямые XN и WL пересекаются в точке O. Определить отношение WO к OL.

Решение. Отношение WN к NZ равно k (WN/NZ=k). Если обозначить NZ=b, то WN=kb. По тому же принципу — если LY обозначить, как а, то ZL=am.

Продолжим прямые XN и YZ до пересечения в точке X₁. Образовалось два треугольника XX₁Y и NX₁Z. Они подобны, так как угол X₁ у них общий, а углы YXX₁ и ZNX₁ являются накрест лежащими.

Из подобия следует, что отношение XY к NZ равно отношению YX₁ к ZX₁. Обозначим длину отрезка X₁Z, как x. Тогда соотношение для других отрезков можно записать, как , отсюда . Отсюда можно найти х: 1+k=a(1+m)/x+1 и x=а(1+m)/k.

Прямая XX₁пересекает две стороны треугольника WLZ и продолжение третьей стороны. Отсюда по теореме Менелая . Подставив сюда выведенные ранее соотношения, можно получить . Подставим найденное ранее значение . После сокращения имеем: .

Задача 2

Следующая задача — на применение теоремы Чевы. Построим три окружности радиусами r1, r2, r3 с центрами в точках X, Y, Z, которые попарно касаются друг друга в точках A,B,C. Доказать, что отрезки YA, ZC, XB пересекаются в одной точке.

Для решения потребуется вспомнить известный математический факт — если окружности касаются, то отрезок, соединяющий их центры, проходит через точку касания. Следовательно, каждая из троек точек:

лежит на своей прямой. Можно сделать вывод, что эти прямые образуют треугольник XYZ. Чтобы доказать, что указанные отрезки пересекаются в одной точке, надо доказать, что . Каждый из этих отрезков равен радиусу соответствующей окружности, и можно переписать равенство в виде . После сокращения очевидно, что получилось верное равенство.