Олимпиады по математике проводятся уже давно. Первой олимпиадой принято считать проведенный еще в 19 веке конкурс в особой форме на поступление в университет в Венгрии. В СССР математические олимпиады начали проводиться еще до Великой отечественной войны. А первая международная олимпиада была проведена в 1959 году по инициативе Советского Союза.
Хотя само понятие Олимпиады предполагает соревновательную сущность, победу одного участника над другими, дух современных мероприятий все же в другом. В первую очередь для участников — это проверка своих сил, выявление сильных и слабых сторон, хотя, конечно, организаторы ставят задачей и выявление сильнейших учащихся. Вниманию читателя предлагаются олимпиадные задания различного возрастного уровня и различных этапов с решениями, в которые не стоит торопиться заглядывать. Лучше сначала попытаться решить задачи самостоятельно.
Задача 1 (школьный этап 7 класс)
Мешок вмещает 25 кг сахара. Есть рычажные весы и одна гиря весом в 1 кг. За два приема надо отмерить 19 кг сахара.
Решение. Первое взвешивание — в одну чашку весов кладем гирю и распределяем сахар по чашкам так, чтобы весы уравновесились. Получим две порции — 12 кг и 13 кг. Вторую порцию откладываем, а первую делим пополам методом уравновешивания чашек, но уже без гири — 6+6=12. Соединяем две получившиеся порции — 6+13=19.
Задача 2. Китайская математическая олимпиада
Решить уравнение (t-6)4+(t-8)4=16. Корни найти в действительных числах.
Решение. Обозначим t-6 как z, тогда уравнение можно записать в виде z4+(z-2)4=16. Перепишем его в виде z4+[(z-2)2]2=16.
Выражение в круглых скобках раскрываем, как квадрат разности:
z4+[(z2-4z+4)]2=16.
Чтобы раскрыть выражение в квадратных скобках, воспользуемся формулой (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. Получим:
z4+(z2)2+(-4z)2+42+2z2(-4z) +2(-4z)*4+2z2*4=16.
Раскрываем скобки:
z4+ z4+16z2+16-8z3-32z+8z2=16.
Группируем члены, перенося свободный коэффициент в левую часть:
2z4-8z3+24z2-32z=16-16.
Вынесем 2z за скобки:
2z(z3-4z2+12z-16)=0.
Один из множителей должен быть равен нулю (или оба):
- 2z=0
- или z3-4z2+12z-16=0
Решение первого уравнения — z=0. Тогда t-6=0, и t=6.
Для решения второго уравнения 3 степени воспользуемся следствием из теоремы Безу для целочисленных коэффициентов. Корень можно попробовать поискать перебором среди делителей свободного члена.Возьмем z=2 и подставим в уравнение: 23-4*22+12*2-16=8-16+24-16=0. Получилось верное равенство, поэтому z=2 является корнем уравнения. (можно проверить и другие делители в качестве корней). Отсюда t-6=2, и t=8.
Задача 3 (всероссийский этап 9 класс)
Андрей, Богдан, Вася и Глеб пошли на рыбалку. Если бы Андрей поймал рыбы в два раза меньше, а Богдан в два раза больше, то у них в сумме было бы столько же рыбы, сколько у Васи и Глеба вместе. А если бы Вася поймал в два раза меньше, а Глеб в два раза больше, то их общий улов был бы равен улову Андрея и Богдана. Доказать, что Вася поймал рыбы в два раза больше, чем Глеб, а улов Андрея в два раза больше улова Глеба.
Решение.
Обозначим улов Андрея, Богдана, Васи и Глеба соответственно a, b, v, g. Можно составить уравнения:
- a/2+2b=v+g
- a+b=v/2+2g
Если первое равенство умножить на 2 и вычесть из него второе, получится 3b=3/2v. Следовательно, v=2b, при этом a=2g.
Задача 4. (Германская математическая олимпиада)
Решить уравнение (s+3)6=26.
Решение.
Пользуясь свойствами преобразования степенных выражений, запишем уравнение в виде (s+3)3*2=23*2, а далее мы сможем переписать его в виде [(s+3) 3]2=(23)2.
Перенеся оба члена уравнения в правую часть, получим запись в виде разности квадратов:
[(s+3) 3]2-(23)2=0.
Теперь можно раскрыть запись по известной формуле a2-b2=(a+b)(a-b). Получим:
[(s+3)3 +23]* [(s+3)3 -23]=0. Приравняем каждый из множителей к нулю:
- (s+3)3 +23=0
- (s+3)3 -23=0
Раскроем первое уравнение по формуле суммы кубов (a+b+c)3=(a+b)(a2-2ab+b2):
(s+3+2)*[(s+3)2-(s+3)*2+22].
Раскрыв скобки и приведя все члены получим:
(s+5)* [s2+32+2*s*3-s*2+3*2+4]
(s+5)* [s2+9+6*s-s*2+6+4]
(s+5)* [s2+4s+7]=0.
Первый множитель дает решение s=-5. Корни второго можно найти, решая квадратное уравнение s2+4s+7=0. Его дискриминант D=16-1*4*7=16-28=-12, то есть, действительных корней уравнение не имеет. Можно найти комплексные, они будут равны:
- s1=-2+i√3
- s2==-2—i√3
Теперь рассмотрим второе уравнение (s+3)3 -23=0. Его раскроем по формуле разности кубов a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2):
(s+3-2)*[(s+3)2+(s+3)*2+22]
Раскроем скобки и упростим выражение:
(s+1)*(s2+32+2*s*3+s*2+3*2+4)=0
(s+1)*(s2+9+6s+2s+6+4)=0
(s+1)*(s2+8s+19)=0
Из первого множителя получим s=-1. Чтобы найти корни второго, надо снова решить квадратное уравнение:
s2+8s+19=0.
В нем дискриминант равен D=64-1*4*19=64-76=-12, и снова уравнение не имеет действительных корней. Найдем комплексные корни:
- s1=-4+i√3
- s2==-4—i√3
Следовательно, множество корней уравнения имеет вид {-5; -2+i√3; -2-i√3;-1; -4+i√3; -4-i√3}
Задача 5. (Всероссийский этап, 8 класс)
Имеются действительные числа х1, х2, х3, х4, при этом:
- х1+x2≥12
- х1+x3≥13
- х1+x4≥14
- х3+x4≥22
- х2+x3≥23
- х2+x4≥24
Какое минимальное значение может принимать сумма всех четырех чисел?
Решение. Чтобы решить задачу, достаточно сложить первое неравенство с последним: х1+х2+х3+х4≥37. Можно найти значения для всех переменных, взяв х1=1. Тогда:
- x2=11
- x3=12
- x4=13
Подставив эти числа в остальные неравенства, можно проверить их на соответствие другим условиям задачи.
Задача 6. Французская математическая олимпиада
Решить уравнение √b+√-b=12.
Решение. Перенесем член с -b в правую часть:
√b =12-√-b, далее возведем обе части в квадрат -(√b)2=(12-√-b)2. Правую часть раскроем по формуле квадрата разности:
b=122+(√-b)2-2*12*(-√-b). Отсюда b=144+(-b)-24√-b или b=144-b-24√-b. Перенося b в левую часть получим:
b+b=144 -24√-b.
Перепишем уравнение в виде:
2b=2(72-12√-b) и разделим обе части на 2. Получим b=72-12√-b. Выполним перегруппировку:
b-72=-12√-b.
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:
(b-72)2=(-12√-b)2.
Правую строну раскладываем, как квадрат разности:
b2+722-2*b*72=(-12)2*(√-b)2.
Получим:
b2+722-144b=144(-b) => b2+722-144b=144(-b) => b2+722=0.
Окончательно получаем b2=-722. Отсюда b=±√-722или b=±i√722. Ответ записываем в виде b=±i72.
