Что нужно знать перед решением тригонометрических уравнений

Важным этапом подготовки к ЕГЭ является изучение методов решения тригонометрических уравнений. Особое внимание надо уделить способам преобразования уравнений к простейшему виду — они содержат громоздкие формулы и требуют внимательного подхода.

Что такое тригонометрические уравнения

В классическом понимании тригонометрическое уравнение – это уравнение, где переменная стоит под знаком тригонометрической функции (косинуса, синуса, тангенса, котангенса). Определение строгое, что означает, что в нем не должно быть неизвестных за пределами этих функций. Например, ctgx=1,– это уравнение тригонометрическое,   cos²z=0,6 — тоже, а z*cosz=0,6 или t+sint=1 к этому классу не относятся (это так называемые смешанные уравнения).

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Перед тем, как решать простейшие тригонометрические уравнения, надо ознакомиться с так называемыми обратными тригонометрическими функциями, существующими наряду с функциями синуса, косинуса, тангенса. Их удобно использовать для решения тригонометрических уравнений. В противоположность «прямым» функциям, по известному углу выдающие значение соотношений в прямоугольном треугольнике или на тригонометрической окружности, «аркфункции» задают значение функции по известному углу.

Арксинус

Пусть имеется уравнение sinx=a. Равенство выполняется при определенном угле x, при этом -1<a<1. Если же |a|≤1, то углов, удовлетворяющих условию, существует бесконечное множество в силу периодичности функции синуса.

Но если ограничить синусоиду участком от –π/2 до π/2, то имеется только одно значение a, при котором уравнение превращается в верное равенство. Это число называется арксинусом x и записывается, как arccsin(x).

Область определения функции arcsin(x) является отрезок [-1;1], а областью значений – [π/2;π/2]. При этих значениях углу x однозначно сопоставляется значение арксинуса. На тригонометрической окружности точки арксинуса лежат в I и IV квадрантах – справа от оси Y.

Арккосинус

Многое из рассмотренного в предыдущем разделе можно применить и к косинусам, в частности:

• уравнение cos x=a имеет бесконечное количество решений;
• число а должно лежать в пределах [-1;1].

В отличие от синуса, единственное значение угла x при заданном а, будет в участке от 0 до π, так как графики функций сдвинуты друг относительно друга на π/2.

Следовательно, область определения функции arccos(x) также является отрезок [-1;1], а областью значений – [0;π]. На тригонометрической окружности арккосинус расположится в I и II квадрантах.

Арктангенс

Тангенс также является периодичной функцией, отличие от синусов и косинусов в том, что:

• функция тангенса не является непрерывной;
• область значений лежит в пространстве действительных чисел R (то есть, от -∞ до ∞).

Чтобы иметь возможность в выражении tg x=a однозначно сопоставить значение числа значению аргумента, удобно взять центральную область графика и ограничить область определения arctgx участком (-π/2;π/2).

Что касается тригонометрической окружности, то, подобно синусам, «арктангенсы живут справа», то есть, в квадрантах I и IV.

Как решать простейшие тригонометрические уравнения

Существует два основных способа, позволяющих решить простейшее тригонометрическое уравнение:

• по формулам;
• с помощью тригонометрической окружности.

Первый способ предполагает решение для уравнений, например, cosx=a в виде x=±arccos(a)+2πn, где n-целое число. Для других функций (синус, тангенс и котангенс) решением служат также соответствующие обратные функции. Если в условиях заданы углы, для которых имеются табличные значения, то результат записывается в виде числа (рационального или иррационального).

Например, для уравнения sint=1 по таблице можно найти решение в виде t=π/2, а с учетом периодичности — t=π/2+2πn.

Если в условии заданы произвольные углы, например, sint=0,25, то решение записывается в виде t=(−1)ⁿ*arcsin(0,25)+πn, что не дает визуального представления о величине корня.

Метод тригонометрической окружности позволяет решать уравнения как для табличных, так и для произвольных углов в числовом виде, однако во втором случае точность ответа ограничивается точностью построения и измерения.

Формулы для решения тригонометрических уравнений

Все способы решения тригонометрических уравнений предполагают в первую очередь приведение исходной записи к простейшему виду. Для этого выведено множество формул, которые лучше запомнить. В тригонометрии чаще всего применяются следующие приемы:

1. Замена одних тригонометрических функций другими тригонометрическими функциями. Например, от тангенса или котангенса можно перейти к косинусу или синусу и наоборот. Для этого применяются тождества:
2. Использование других тригонометрических формул для сумм и разностей аргументов:

Также можно использовать формулы двойного и тройного угла.

Широко применяются формулы сложения и вычитания, а также произведения функций.

3. Для преобразования выражений применяются свойства чётности и периодичности тригонометрических функций:
4. Применение формул понижения степени. Если в тригонометрическом выражении компоненты состоят в какой-либо степени, применяют формулу понижения степени или формулу половинного аргумента

В тригонометрии для преобразовании выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю.

Решение тригонометрического уравнения с синусом на окружности

Для решения простейших тригонометрических уравнений имеется возможность выбора метода, и все во многом зависит от индивидуальных особенностей. Кому-то проще запомнить формулы, кто-то лучше воспринимает визуальную информацию. Во втором случае можно воспользоваться тригонометрической окружностью. Вкратце вспомним ее свойства:

• ее центр находится в начале координат, а ее радиус равен единице, следовательно, наибольшая координата любой ее точки не выходит за пределы области значений синуса или косинуса;
• исследуемые углы откладываются от оси абсцисс от положительной части;
• синус отложенного угла равен ординате точки пересечения единичного вектора с окружностью.

Кроме того, на окружности наглядно видны значения характерных углов (0⁰, 90⁰, 180⁰ и т.д.), а также четность/нечетность тригонометрических функций, их периодичность, а также соотношения между положительными и отрицательными углами – все, что раньше было представлено в виде формул. Пользуясь этими свойствами, можно решать  уравнения с синусом. Пусть имеется запись sin(f)=0,7. Отложим на оси Y значение 0,7.

Через полученную точку проведем прямую, параллельную оси Х. Прямая пересечет окружность в точках А и А1. Далее надо построить единичные векторы из точки О в точки А и А1, и измерить полученные углы. Угол в первой четверти будет равен примерно 45 градусов, угол во втором квадранте будет примерно равен 135 градусов или 180-45 градусов. Здесь прекрасно иллюстрируется свойство нечетности синуса. Предварительно получим f₁≈45⁰ и f₂≈135⁰.

Однако если начать вращать единичный вектор вокруг точки начала координат, он начнет периодически (с шагом 360 градусов) совпадать с найденными решениями, что дает право записать f₁≈45⁰+n*360⁰ и f₂≈135⁰+n*360⁰, где n – целое число.

Можно переписать ответ в виде f≈(-1)ⁿ*135⁰+180⁰*n. Учитывая, что 45⁰= π/4 радиан, запись в радианах будет иметь вид f≈(-1)ⁿ* π/4 +π*n.

Во всех выражениях используются нетабличные значения тригонометрических функций, поэтому применены знаки приближенного равенства (на самом деле для sin(f)=0,7 относительно точное решение будет равно 44,427⁰).Решение с помощью окружности наглядно, но, как и все графические способы, не очень точно и в общем (нетабличном) случае дает возможность находить лишь приближенные значения корней.

Решение тригонометрического уравнения с косинусом на окружности

Уравнения косинуса решаются по тому же принципу, только косинус точки равен ее абсциссе. Пусть требуется  решить похожее тригонометрическое уравнение: cos(w)=0,7. Теперь точку откладываем на оси Х, и проводим прямую, параллельную оси ординат.

После аналогичных построений получим углы:

• w₁≈45⁰
• w₂≈-45⁰ или w₂≈360-45⁰≈315⁰

Здесь очевидна четность косинуса – противоположным по знаку аргументам соответствует одно и то же значение. Учитывая периодичность функции, запишем ответ в виде w₁≈45⁰+ n*360 и w₂≈-45⁰+ n*360 или в радианах w₁≈ π/4 +2πn и w₂≈- π/4+2πn (n – везде целое число).

Можно запомнить расположение характерных углов в градусах и радианах, на единичной окружности. В некоторых случаях это дает возможность не измерять построенные углы, а сразу считывать их.

Тригонометрическое уравнение с тангенсом на окружности

С помощью окружности можно решать  уравнения тангенса, однако здесь не обойтись без дополнительных построений. Дело в том, что область значений тангенса выходит за рамки [-1;1]. Она представляет собой все действительные числа и лежит на интервале (-∞;∞). Поэтому для  решения таких тригонометрических уравнений необходимо построить ось тангенсов – прямую, параллельную оси Y и касающуюся окружности в точке (1,0).

Пусть требуется решить уравнение tg x=2. Откладываем на оси тангенсов это значение, в найденную точку проводим луч из начала координат. Получили угол приблизительно равный 63^◦ или 1 радиан. С учетом периодичности запишем ответ x≈1+πn.

Тригонометрическое уравнение с котангенсом

Все отмеченное в предыдущем разделе относится и к котангенсам, только надо построить ось котангенсов, параллельную оси X, и касающуюся окружности в точке (0,1). Для примера можно взять уравнение ctg s=√3. В правой части уравнения стоит иррациональное число, поэтому все равенства будут приблизительными.

Для решения как можно точнее отметим точку √3=1,73205080… на оси абсцисс. На практике точнее, чем 1,73 (в большинстве случаев – точнее, чем 1,7) отметить вряд ли получится. Далее – по той же методике, что и с тангенсом:

• строим перпендикуляр из точки 1,73 к оси котангенсов;
• проводим луч OA;
• измеряем полученный угол или сравниваем с характерными углами, для которых значения функций можно найти в таблицах.

Градусная мера этого угла будет близка к 30⁰, что соответствует π/6 радиан. С учетом периодичности запишем ответ в виде s≈ π/6+πn. Проверка решения на калькуляторе или по таблицам покажет, что в данном случае можно обойтись и знаком точного равенства s= π/6+πn, однако без такой проверки найденное решение можно обозначать лишь как приближенное.

Замена переменной в тригонометрических уравнениях

Для нахождения корней  уравнений в тригонометрии не стоит пренебрегать и другими путями, изученными в предыдущих разделах алгебры. К  основным методам решения тригонометрических уравнений относят и широко известный способ замены переменных.

Замена выражения под тригонометрической функцией

Имеется уравнение sin(2v)=√3/2. Чтобы на время избавиться от 2v, можно выполнить замену переменной:

2v=d.

Получим:

sind=√3/2.

Пришли к простейшему тригонометрическому уравнению с табличным значением. Решение можно записать, как:

• d₁=π/3+2πn
• d₂= 2π/3+2πn

Вернувшись к исходной переменной, записываем:

• 2v₁=π/3+2πn
• 2v₂= 2π/3+2πn

Окончательные ответы: v₁=π/6+πn и v₂= π/3+πn (период тоже надо разделить на 2!).

Замена всей тригонометрической функции

В этом случае тригонометрические уравнения часто приводятся к обычным квадратным. Пусть надо найти  решение тригонометрического уравнения 2sin²t-3sint+1=0. Здесь напрашивается замена z=sin t. Переходим к квадратному уравнению 2z²-3z+1=0.Решаем уравнение любым способом, получаем:

• z₁=2
• z₂=0,5

Первый корень лежит вне области значений синуса, следовательно, переходим к уравнению sint=0,5. Отсюда t=(-1)ⁿ*arcsin0,5+πn или t=(-1)ⁿ*(π/6)+πn.

Навык решения простых уравнений позволяет перейти к изучению нахождения корней все более сложных математических записей. Постепенное повышение уровня сложности поможет успешно пройти все этапы подготовки к экзаменам.