Матрица перехода: как составить и найти обратную матрицу перехода

В этой статье предполагается, что читатель знаком с основными элементами аналитической геометрии, относящимися к матрицам, а также умеет производить основные операции между ними. По этой причине промежуточные вычисления во многих случаях будут пропущены, и даны лишь те рассуждения, которые необходимы для понимания процедуры замены базиса.

Основные матрицы

Тем не менее, стоит вспомнить основные понятия векторной алгебры. В ней векторы записываются в виде набора координат, количество которых зависит от размерности пространства. Встречающиеся в практической деятельности векторы могут иметь две (на плоскости) или три (в пространстве) координаты, абстрактные математические векторы, расположенные в n-мерном пространстве, соответственно, имеют n независимых координат. Координаты можно записать в строку. Например, вектор в трехмерном пространстве можно записать, как a (0;3;1). А можно записать в столбик, как . В этом случае вектор записывается в виде матрицы размерами в 1 столбец и три строки, и с ним можно производить операции, как с обычными матрицами.

Векторы могут образовывать базис, который, совместно с точкой начала координат, служит основой системы координат. Для этого направленные отрезки должны соответствовать нескольким условиям:

• они не должны лежать на параллельных прямых (не быть коллинеарными);
• их количество должно соответствовать размерности пространства (для плоскости необходимо и достаточно двух, для трехмерного пространства — трех и т.д.).

Для декартовой системы плоскости базисные векторы традиционно обозначаются (i;j), они направлены по осям Х и Y соответственно. Векторы имеют длину в 1 единицу (можно выбрать самостоятельно — миллиметр, фунт, дюйм, сажень и т.п.).

Для трехмерной системы принято обозначать базисные векторы, как (i;j;k).

Для n-мерного пространства рисунок выполнить не представляется возможным, в нем базисные векторы записываются, как {е₁;е₂…е_n}.

Если в пространстве задан базис, любой вектор может быть записан единственным образом в виде разложения по базисным векторам, то есть, в виде суммы двух базисных векторов с масштабирующими коэффициентами. Например, если на чертеже задана базисная пара {е₁;е₂} (векторы в данном случае не ортогональны и имеют различную длину), то вектор а можно записать в виде суммыa=xе₁+yе_2. Числа х и у называют координатами вектора а по базису {е₁;е₂}. Если базис фиксирован, можно записать а(х,у).

Однако на плоскости могут быть заданы несколько различных базисов (например, два), и может потребоваться записывать координаты векторов, заданные в одном из них, в координатах другого базиса, то есть, произвести преобразование координат. Например, есть плоскость, на которой заданы базисные пары:

• единичная {i;j};
• произвольная (при этом ортогональная) {s₁;s₂}.

Сразу надо обратить внимание, что длины векторов вновь введенного произвольного базиса не равны 1:

• длина s₁ составляет 2√2;
• длина s₂ составляет √2.

На этой же плоскости построен вектор а. Если его разложить по базису {i;j}, то получим а=4i-4j, что можно записать, как а(4;-4).

Разложение по базису

{s₁;s₂} дает a=0*s₁-4*s₂ или а(0;-4). Так мы получили координаты того же вектора в новом базисе.

Попробуем теперь связать векторы нового базиса со старым, разложив их по {i;j}:

• s₁=2i+2j;
• s₂=—i+j.

Можно составить матрицу из коэффициентов:

Удобнее применять «повернутую» матрицу, в которой коэффициенты одного вектора укладывают в столбец матрицы:

Теперь надо аналитически найти связь между «предыдущими» координатами вектора а=а₁i+а₂j и «текущими» координатами а=а₁‘s₁+а₂‘s₂. Для этого потребуется подставить выражения s₁=2i+2j и s₂=-i+j в выражение а=а₁‘s₁+а₂‘s₂ и раскрыть скобки:

а=а₁‘(2i+2j)+а₂‘(-i+j)= а₁‘2i+ а₁‘2j-а₂‘i+а₂‘j= i(2а₁‘-а₂‘)+ j(2а₁‘+а₂‘)

Сравнивая с имеющимся разложением по {i;j}, и помня, что разложить вектор по базису можно единственным способом, получаем:

• а₁=2а₁‘-а₂‘
• а₂=2а₁‘+а₂‘

Получили формулу перехода от новых координат к старым. Коэффициенты записываем в матрицу и получаем матричное уравнение:

Его можно записать в виде A=D*A’. Обычно задача состоит в обратном переходе — зная текущие координаты, перейти к новым. Для поиска решения надо обе части уравнения умножить на D^-1:

А* D^-1= D*A’* D^-1

Так как D* D^-1=Е (где Е — единичная матрица), получим, что A’* D^-1= A. И это будет искомой формулой перехода от известных координат к новым.

Прямые матрицы перехода

До настоящего момента мы рассматривали только двумерные или трехмерные пространства. Теперь можно сделать обобщающий переход к пространству, в котором имеется n измерений. Если в этом пространстве задать два базиса d={d₁;d₂..d_n }и g={g₁; g₂..g_n }, то можно записать координаты базиса g (назовем его «новым» или «конечным») в базисе d (возьмем его за исходный). Запись можно выполнить в виде квадратной матрицы.

Здесь первый индекс нумерации элемента означает номер нового базисного вектора (номер столбца матрицы), а второй — указывает на координату этого вектора в исходном базисе. Подобная нумерация не является общепринятой и обязательной, но она наиболее удобна. Например, второй столбец — строковая запись координат вектора g₂:[w_2,1; w_2,2.. w_2,n], что означает разложение g₂ по исходному базису d: g₂=[w_2,1*d₁; w_2,2*d₂.. w_2,n*d_n]

Такие уравнения можно составить для каждого столбца (вектора в новом базисе):

g₁=[w_1,1*d₁; w_1,2*d₂.. w_1,n*d_n]

..

g_n=[w_n,1*d₁; w_n,2*d₂.. w_n,n*d_n]

Объединив полученные уравнения в систему и записав их в матричном виде, можно получить запись вида [g₁; g₂..g_n ]= [d₁;d₂..d_n]*Р, где множитель Р:

Это и есть искомая матрица перехода. Она помогает выполнить запись конечного базиса через старый компактно и наглядно. Не следует лишь забывать, что в квадратных скобках записаны не числа, а векторы, поэтому использована запись в строку, а не в виде вертикальной матрицы.

Матрицы перехода имеют определенные свойства. Главные из них:

• матрица перехода от базиса к самому себе (от базиса m к базису m) является единичной матрицей;
• если матрица Y является переходом от одного базиса e к другому базису z, то для перехода обратно (от базиса z к системе базисных векторов е) надо использовать матрицу Y^-1;
• свойство транзита: пусть матрица G — переход от системы базисных векторов g к системе d, а S — матрица перехода от d к базису u. Тогда матрицу V перехода от g к u можно найти по формуле V=G*S.

И еще одно свойство, которое можно применять для решения задач по векторной алгебре. Для произвольного n-мерного базиса t и произвольной матрицы S размером n*n, определитель которой отличен от нуля, результат переход базиса t через матрицу S будет являться новым базисом.

Обратные матрицы перехода

Матрица перехода от старого базиса к новому является обратной к только что разобранной. Ее определение уже упоминалось выше — при умножении на исходный объект В, она дает в результате единичную матрицу Е. Это можно записать, как В*В’=Е. В аналитической геометрии существуют различные способы получения такой матрицы:

• метод алгебраических дополнений;
• метод Гаусса-Жордана (правильное написание второй фамилии все-таки Йордан).

Оба способа достаточно трудоемки. Тем не менее, рекомендуется их освоить до уровня уверенного использования. По этой причине не стоит использовать онлайн-калькуляторы для нахождения обратных матриц от исходников размером 2х2 или 3х3 (для более высоких размеров сложность и вероятность ошибки критически возрастают).

Как составить матрицу перехода

Теперь разберемся, как составить матрицу перехода. Это можно сделать пошагово.

Шаг 1 определите базисные векторы

Если в задаче векторы заданы изначально, этот шаг можно пропустить. Если даны произвольные наборы исходных и «новых» векторов, их надо отобрать для использования в базисе:

• в первую очередь, отсеиваются те векторы, у которых размерность отличается от размерности пространства;
• количество отобранных векторов также должно совпадать с количеством измерений n выбранного пространства.

Из координат найденных векторов составляется матрица и проверяется на вырожденность. Если определитель не равен нулю, то векторы не являются линейно зависимыми, и могут образовать базис.  Проверка производится отдельно для сета исходных и «новых» векторов.

Шаг 2 представьте старые базисные векторы в новых терминах

Далее надо выполнить разложение новых базисных векторов u по старым v, не забывая включать элементы с коэффициентами, равными нулю:

u₁=m_1,1*v₁+m_1,2*v₂+m_1,3*v₃..m_1,n*v_n

Здесь m — соответствующие множители разложения. Далее надо построчно составить соответствующие выражения для каждого вектора «новой» системы от 2 до n:

u₂=m_2,1*v₁+m_2,2*v₂+m_2,3*v₃..m_2,n*v_n и так далее, чтобы получилось n уравнений с n коэффициентов в каждом.

Шаг 3 заполните матрицу перехода

Теперь можно переходить к непосредственному заполнению матрицы перехода. Берем первое уравнение u₁=m_1,1*v₁+m_1,2*v₂+m_1,3*v₃..m_1,n*v_n и незаполненную таблицу. Коэффициенты из строки записываем сверху вниз в первый столбик.

Берем второе уравнение u₂=m_2,1*v₁+m_2,2*v₂+m_2,3*v₃..m_2,n*v_n и записываем сверху вниз во второй столбик

Повторяем эту операцию n раз. В качестве итога получаем заполненную искомую матрицу.  При освоении данного алгоритма проблем,  как найти матрицу перехода от базиса к базису, возникнуть не должно.

Примеры вычислений

Задача 1.

Есть два вектора:

• d(-2;14);
• g(3;8).

Проверить, образуют ли они базис.

Решение

В первую очередь, надо проверить векторы на коллинеарность. Для этого надо выяснить, существует ли коэффициент k такой, чтобы выполнялись равенства:

• k*d1=g1;
• k*d2=g2.

Для первой координаты k=-3/2. Умножим вторую координату на k: 14*(-3/2)=-21≠8. Следовательно, векторы не лежат на одной прямой.

Каждый из векторов имеет по две координаты, следовательно, они могут образовать базис в двухмерном пространстве (на плоскости).

Задача 2.

Это большая по объему решения задача, но в ней ставятся практически все вопросы, изученные в статье. Пусть имеется линейное пространство размерностью равное 3. В нем заданы базисы:

{t} ={ t_1, t_2, t₃ }: t₁={1;1;1}, t₂={2;1;1}, t₃={1;1;3}

{t’} ={ t’_1, t’_2, t’₃ }: t‘₁={0;1;1}, t‘₂={1;0;1}, t‘₃={1;0;2}

Помимо этого, задан вектор z=5t₁+3t₂+t₃.

Требуется найти:

1.  Матрицу перехода Р от имеющегося базиса {t} к новому базису {t‘}.
2. Матрицу перехода от Р^-1{t‘} к {t}.
3. Координаты вектора t1 в базисах {t} и {t‘}.

Также надо найти координаты вектора z в базисе {t‘}.

Решение.

Для базиса {t} составляется матрица .

Для {t‘} по тому же принципу .

Они связаны между собой выражением M=NP, где Р — матрица перехода от одного базиса к другому. Она находится по формуле Р=L^-1M. Определители матриц L и M отличны от нуля (будет показано далее), поэтому для них существуют обратные матрицы.

Найдем матрицу, обратную к L по формуле . Сначала надо отыскать определитель: |L|= 1·1·3 + 2·1·1 + 1·1·1 — 1·1·1 — 1·1·1 — 2·1·3 = 3 + 2 + 1 — 1 — 1 — 6 = -2.

Составим союзную матрицу, поочередно отыскивая миноры и алгебраические дополнения:

Транспонируем союзную матрицу:

Обратная матрица будет равна

Отсюда

Находим матрицу обратного перехода .

Чтобы определить координаты вектора t1 по базису {t}, его надо расписать в виде t₁=1*t₁+0*t₂+0*t₃. Следовательно, координаты t₁ записываются как (1;0;0).

Теперь найдем координаты вектора е₁ по базису {е}, используя формулу Х’=Р^-1*Х. В этой формуле Х — координаты вектора е₁ по базису {е}, записанные в виде . Следовательно, , что можно записать, как координаты (1;2;-1).

Применяя ту же формулу Х’=Р^-1*Х, можно найти координаты вектора z в новом базисе{t‘}, только в качестве Х надо взять исходные координаты z , а в качестве Р^-1 уже найденную матрицу перехода к новому базису: .Можно записать координаты и в виде(9;22;-10).