Иррациональные уравнения — с одним корнем, с несколькими, n-й степени. Решение и примеры

Изучение иррациональных уравнений в 10 классе предполагает четкое понимание,  что такое иррациональные уравнения, знание их основных видов и представление, как решать иррациональные уравнения различных видов и содержащих радикалы разной степени. Для подготовки к ЕГЭ по математике эта тема важна и должна быть изучена на должном уровне.

Что такое иррациональные уравнения

Определение данного класса уравнений звучит следующим образом: иррациональным уравнением называется запись, в которой неизвестная величина находится в дробной степени (или, что равносильно, под знаком корня любой степени).

Частным, и наиболее распространенным случаем дробной степени является степень ½, чаще всего называемая квадратным корнем. С иррациональных уравнений с квадратным корнем можно начать изучение методов решение иррациональных уравнений в целом.

Иррациональные уравнения с одним квадратным корнем

В эту категорию входят уравнения нескольких типов, однако для их решения, как и для решения иррациональных уравнений в других категориях, есть общие моменты:

1. Основной метод решения – найти путь, как избавиться от корня над искомой величиной в уравнении с корнями возведением во вторую степень обеих частей записи и приведение к обычному алгебраическому уравнению. Возможно, для этого иррациональное уравнение придется преобразовать к удобному виду.
2. Проверка полученных корней уравнения на принадлежность к области допустимых значений (ОДЗ). Преобразованные иррациональные уравнения могут иметь корни, меньшие нуля, их вносить под корень второй степени недопустимо.

Итак, первый – самый простой – вид иррационального уравнения от переменной z: √u(z)=k, где k – любое число, большее нуля или равное нулю (отрицательные числа не входят в ОДЗ квадратного корня). Чтобы решить подобное равенство, надо возвести в квадрат левую и правую части. В итоге получится выражение u(z)=k². После успешного избавления от радикала дальнейшее решение уравнения надо производить изученными ранее алгебраическими методами. При преобразовании уравнений происходит замена уравнений равносильными, а при этой операции могут возникнуть посторонние корни. По этой причине не надо забывать определять область допустимых значений (лучше делать это сразу) и проверять найденные решения на принадлежность к ОДЗ.

Решим простейшее иррациональное уравнение √t=5. После возведения обеих частей уравнения в квадрат получим t=5² или t=25. Для проверки можно подставить 25 под знак корня: √25 – корректное математическое выражение.

Уравнение посложнее: . После возведения обеих частей иррационального уравнения в квадрат, получается 3x+1=16, отсюда 3x=15 и x=5. При подставлении x=5 в исходное уравнение, под знаком корня получается 16, и уравнение решено верно.

Теперь пусть под знаком корня  — квадратное уравнение:

После избавления от радикала имеем x²-8x-8=1 или x²-8x-9=0. Решив квадратное уравнение любыми известными способами, получим два корня:

• x₁=-1
• x₂=9

Однако первый корень лежит вне ОДЗ – под корнем отрицательного числа быть не может. Соответственно, единственное решение данного иррационального уравнения – x=9.

И еще одно уравнение: √x=-7. Оно не имеет решений, так как значение корня квадратного не может быть меньше 0.

Следующий вид иррационального уравнения с одним радикалом — √u(z)=v(z). Перед тем, как решить такие иррациональные уравнения, надо проверить обе части записи на ОДЗ. Если значения правой функции отрицательны, то в этой области решения отсутствуют. После такой проверки обе части уравнения возводят в квадрат и решают обычным способом.

Разберемся, как решать такие иррациональные уравнения на примере равенства  Здесь справа должно стоять неотрицательное число, поэтому учитываем, что t≥7.

Избавляемся от радикала слева:  =>t-5=t²-14t+49. Окончательно записываем t²-15t+54=0. Решая квадратное уравнение, получаем:

• t₁=9
• t₂=6

Однако t₂=6 не подходит под условие t≥7, отсюда единственный корень t=9.

Более сложное решение имеют иррациональные уравнения вида √u(z)+w(z)=v(z). Здесь непосредственное возведение обеих частей в квадрат не только не даст избавления от радикала, но и придает исходной записи громоздкий вид: (√u(z)+w(z))²=√u(z))²+2*√u(z)*w(z)+w(z)²=√u(z) +2*√u(z)*w(z)+ w(z)².

Метод решения иррациональных уравнений такого типа сводится к перегруппировке слагаемых перед возведением в квадрат, чтобы получить запись вида √u(z)=v(z)-w(z). После преобразований удобный вид не гарантируется, но от радикала избавимся. Только надо помнить, что v(z)-w(z) ≥0.

Разберем решение уравнения . Перенесем все, что стоит в первой степени, в левую часть: . Сразу ограничим ОДЗ:

• t+5≥0 или t≥-5
• t-1≥0 или t≥1

Объединив ограничения, получим t≥1.

Возведя обе части во вторую степень, получаем: t+5=(t-1)².

Раскрываем скобки: t+5=(t-1)²=t²-2*t*1+1= t²-2t+1.

После перегруппировки: t²-2t+1-t-5=0 или t²-3t-4=0. Решаем квадратное уравнение любым способом:

• t₁=-1
• t₂=4

Первый корень не подходит под ограничение ОДЗ  t≥1. Значит, единственное решение: t=4.

Еще один тип иррациональных уравнений с одним корнем отличается тем, что при решении не обязательно избавляться от радикала. Такие уравнения имеют вид v(z)*√u(z)=0, а их решение основано на том, что один из множителей должен быть равен нулю:

• v(z)=0
• или √u(z)=0

Следует учесть, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому u(z) ≥0. При этом корень равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю, следовательно:

• v(z)=0
• или u(z)=0 (не противоречит условию u(z) ≥0).

В качестве   примера решения иррационального уравнения такого вида рассмотрим запись . Сразу отметим ограничение t+2≥0 или t≥-2, и сведем решение к решению совокупности:

• t²-9=0
• t+2=0

Отсюда:

• t₁=3
• t₂=-3
• t₃=-2

Корень t₂ не удовлетворяет условию t≥-2, остаются два корня:3 и -2.

Также следует отметить, что если уравнение имеет вид b*√u(z)=v(z), где b  — любое число, то от множителя надо избавиться обычным способом: разделив обе части на b: √u(z)=v(z)/b. Следовательно, общий вид иррационального уравнения с одним корнем может быть записан в виде b*√u(z)+w(z)=v(z). Тогда обобщенный алгоритм решения выглядит так:

• переносим все, что не под знаком радикала, в правую часть до вида b*√u(z)=v(z)-w(z);
• дальше надо убрать множитель, чтобы получить √u(z)=(v(z)-w(z))/b;
• возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от радикала, результат запишем в виде u(z)=((v(z)-w(z))/b)²;
• выводим ограничения ОДЗ, как (v(z)-w(z))/b≥0;

Решаем уравнение с помощью алгебраических приемов, изученных ранее. Если запись содержит обыкновенные дроби с неизвестной в знаменателе, надо дополнительно проверить корни, не обращают ли они знаменатель в ноль.

Иррациональные уравнения с несколькими корнями

В иррациональном уравнении с одной переменной может быть больше одного радикала, тогда оно принимает вид √u(z)=√v(z). Для решения подобного уравнения с двумя корнями даже необязательно возводить обе части во вторую степень – достаточно воспользоваться знанием того факта, что корни равны, если равны выражения под знаком радикала, то есть, u(z)=v(z). Однако нельзя забывать об ОДЗ – значения под корнем не должны быть отрицательными, как справа, так и слева. Проанализировать на ограничение достаточно только одну, поэтому выбирается наиболее простая функция. Выбирается одно из неравенств — u(z)≥0 или v(z) ≥0, из соображений удобства.

Пусть имеется иррациональное уравнение . В правой части t-3≥0 или t≥3, и этого достаточно для определения ОЗЗ. Приравниваем подкоренные выражения: 9-3t=t-3. Отсюда 9+3=t+3t или 4t=12. Решением уравнения является единственный корень t=3. Он удовлетворяет условиям ограничения t≥3. Если выбрать ограничение по левому уравнению, немного более сложному, то здесь 9-3t≥0 или 3t≤9, что равносильно t≤3 – и снова найденный корень удовлетворяет заданным лимитам.

Более сложны для решения уравнения, которые записываются в виде √u(z)=√v(z)+w(z). Для нахождения корней такого равенства часто приходится возводить обе части иррационального уравнения во вторую степень не один раз, при этом могут возникать новые лимиты по области допустимых значений. Имеется уравнение Сначала можно найти ОДЗ для корней:

• z≥4,5
• z≥3

Следовательно, z≥4,5. Теперь уравнение можно записать в виде . Как левая, так и правая части неотрицательны, поэтому при возведении во вторую степень получим . Раскрыв скобки, имеем или .Снова получаем переменную под знаком радикала. Но теперь появляется дополнительное условие – z-7≥0, то есть новое ограничение: z≥7. Учитывая это, вновь возводим обе части во вторую степень: (z-7)²=4(z-3). Раскрыв скобки и решив квадратное уравнение z²-18z+61=0, получим:

• z₁=9-2√5
• z₂=9+2√5

Вычислив приближенно значение корней, можно получить:

• z₁=4,53
• z₂=13,47

Первый корень не удовлетворяет ограничению z≥7, оставляем единственное решение z=9+2√5.

Иррациональные уравнения с корнями n й степени

Дробная степень у выражения с переменной не всегда ограничивается ½, она может принимать любые значения, что означает, что корень может быть любой (большей 2) степени. Если корень четный (4,6,8 и т.д.), то методы решения таких иррациональных уравнений принципиально не отличается от уравнений с квадратными корнями. Надо лишь возводить обе части уравнения не во вторую степень, а в степень, определяемую корнем. При этом ограничения по ОДЗ будут такими же:

• подкоренное значение не может быть меньше нуля;
• значение корня не может быть отрицательным.

Рассмотрим уравнение . Под знаком корня s-6 не может быть отрицательным, следовательно, ограничим ОДЗ s≥6. Возводим обе части в 4 степень:  или s-6=16. Отсюда s=22, что попадает в область допустимых значений.

Если же уравнение содержит корень нечетной степени, то  способы решения иррациональных уравнений такого вида также совпадают с рассмотренными. При этом задача упрощается тем, что в этом случае не надо проверять область допустимых значений. Как известно, под знаком корней нечетных степеней могут быть отрицательные числа, а сами корни могут принимать значения, меньшие нуля. Например и т.д.

Решим уравнение . Так как корень нечетной степени, проверку на ОДЗ можно не проводить и сразу возвести обе части в куб. Получим 3t=-216 или t=-72. На всякий случай проверим подстановкой: .

Для решения иррациональных уравнений можно применять совершенно различные методики, которые предоставляет алгебра. Например, некоторые уравнения можно решать широко применяемым методом замены переменной. Пусть требуется решить иррациональное уравнение . Можно возвести обе части во вторую степень получив очень громоздкое и сложное для решения уравнение. А можно более внимательно проанализировать исходную запись. Например, при вычитании второго подкоренного выражения из первого, можно обнаружить, что напрашивается замена 2t²-8t+25 на 2s-1, где s=t²-4t+13, то есть, выражение под вторым радикалом. Исходное иррациональное уравнение запишется в виде . Избавляемся от отрицательных членов переносом в правую часть: . После возведения в квадрат получим 2s-1=4+4√s+s или s-5=4√s. Находим ОДЗ:

• s≥0
• s≥5

Возводим обе части уравнения в квадрат: (s-5)²=(4√s)² или s-5=16s=>s²-26s+25=0.

Решая квадратное уравнение, находим два корня:

• s=1
• s=25

Первое решение не попадает в ОДЗ, следовательно, s=25 и t²-4t+13=25, откуда t²-4t-12=0. Находим корни: 6 и -2. Следовательно, после решения двух уравнений ответ будет:

• t₁=6
• t₂=-2.

Наряду с рассмотренными, существуют и иные методы решения иррациональных уравнений. К ним относится прямой графический путь, подразумевающий построение графиков и нахождение точек пересечения (не самый точный способ), применение свойств функций, метод умножения на сопряженный множитель, выделение полного квадрата и т.п. Все эти способы также позволяют находить корни уравнений изучаемой категории и, хотя применяются не столь широко, но вполне заслуживают изучения.