Тригонометрические формулы: простое объяснение, выводы и все основные виды — от двойного до тройного угла

Кажущиеся проблемы с освоением тригонометрии при изучении курса  алгебры в 10 классе связаны с внешним видом тригонометрических формул — они кажутся громоздкими и нелогичными. На самом деле надо лишь внимательно изучить основы, и станет понятно, что все тригонометрические формулы легко вытекают одна из другой.

Зачем нужны тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы связывают между собой различные углы и тригонометрические функции. Эта связь позволяет выражать одни функции через другие, что помогает упрощать тригонометрические записи, решать уравнения и исследовать характер и свойства тригонометрических функций.

В школьном курсе изучение тригонометрических формул составляет отдельный самостоятельный раздел, при освоении которого учащиеся получают навыки работы с этими тождествами, решая задачи по тригонометрии и уравнения. Помимо этого  основные формулы тригонометрии применяются в геометрии для нахождения углов и взаимных зависимостей геометрических фигур.

На практике тригонометрические формулы используются для описания физических процессов, для астрономических расчетов, навигации, создания компьютерной графики и в дургих областях человеческой деятельности.

Вывод формул

Базовая тригонометрическая формула, которую надо запомнить, устанавливает связь между синусом и косинусом одного и того же угла и называется основным тригонометрическим тождеством:

sin²γ+соs²γ=1.

Доказательство этого тождества можно выполнить с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности точку А с координатами (x,y) и проведем из начала координат в эту точку отрезок ОА, который образует с осью абсцисс угол γ. Из точки А на ось Х опустим перпендикуляр в точку H, которая будет иметь координату (x,0). Рассмотрим прямоугольный треугольник OAH с острым углом γ, катетами OH и АН и гипотенузой OA, длина которой равна 1, как радиус единичной окружности. Согласно теореме Пифагора, квадрат его гипотенузы равен длина |OH|²+|AH|²=1²=1.

Исходя из свойств единичного круга, длина отрезка OH равна координате x, то есть, косинусу угла γ. Длина AH равна координате y, то есть, синусу γ. Подставив эти функции в соотношения меду катетами, получим:

sin²γ+соs²γ=1

Из этого равенства можно найти одну из функций, если известна вторая:

• sin²γ =1-соs²γ
• соs²γ=1-sin²γ

Например, известен синус угла φ, равный 0,6. Подставим это значение в формулу для косинуса, получим соs² φ =1-(0,6)²=1-0,36=0,64. Отсюда соs² φ=0,8.

Не менее важны формулы, устанавливающие связь между тангенсом и котангенсом, а также между этими функциями и синусом и косинусом.

Из определения тангенса, как отношения противолежащего катета к прилежащему, следует, что в треугольнике OAH tgγ=|АН|/|ОН|, а в виде координат это можно записать, как y/x. При переходе от координат к функциям, получаем tgγ=sinγ/соsγ.

Например, для рассмотренного выше угла φ с найденными значениями функций sin и соs, тангенс будет равен tg φ =0,6/0,8=0,75

Зная, что котангенс представляет собой отношение, обратное тангенсу (в координатной форме х/у), аналогичным образом можно выразить и котангенс через синус и косинус:

сtgγ=соsγ/sinγ.

Для угла φ, используемого в качестве примера, сtgφ=0,8/0,6≈1,33. Для проверки можно воспользоваться соотношением, выведенным из определения тангенса и котангенса:

сtgγ=1/tgγ.

Подставляя в формулу значения функция для угла φ, получаем:

сtgφ=1/0,75≈1,33 – результаты совпали.

Соотношение сtgγ=1/tgγ можно вывести и из координатной формы:

сtgγ=x/y=1/(y/x)= 1/tgγ

Если перемножить тангенс и котангенс, можно получить еще одно важное тождество:

сtgγ*tgγ= (соsγ/sinγ)*(sinγ/соsγ) (или в форме координат сtgγ*tgγ= (х/y)*(y/x)), отсюда сtgγ*tgγ=1. Для проверки: 1,33*0,75≈1.

Подставляя в основное тригонометрическое тождество соотношения для тангенса и котангенса, можно получить и другие тригонометрические формулы,  связывающие эти тригонометрические функции.

Подставив в равенство sin²γ+соs²γ=1 тангенс, как соотношение синуса к косинусу, можно получить:

соs²γ+tg²γ*соs²γ=1 (так как tg²γ= sin²γ/соs²γ, откуда sin²γ= tg²γ*соs²γ).

Произведем несложные алгебраические и тригонометрические преобразования:

соs²γ(1+ tg²γ)=1

Окончательно запишем:

1+ tg²γ=1/соs²γ

По аналогичному принципу, заменяя косинус на котангенс, можно вывести:

• sin²γ+сtg²γ*sin²γ=1
• sin²γ(1+сtg²γ)=1

Окончательно получаем:

1+ сtg²γ=1/sin²γ

Конечно же надо помнить, в этих формулах в знаменателях соsγ≠0 и  sinγ≠0 соответственно. В качестве примеров и для проверки подставим уже найденные значения для угла φ:

1+(1,33)²≈1/((0,6)²) <=>1+1,77≈1/0,36 <=>2,77≈2,77

С учетом погрешности округления, результаты совпали.

Основные формулы тригонометрии

Рассмотренные выше соотношения считаются основными формулами в тригонометрии. Они легко запоминаются, а при необходимости их несложно вывести. При подготовке к экзаменам, включая ОГЭ, формулы тригонометрических функций составляют минимум, без которых решение тригонометрических задач невозможно. Однако существуют и другие, более сложные  формулы тригонометрии. Часть из них даже для ЕГЭ дается в виде справочных материалов, однако неплохо их запомнить, и уж точно надо отработать навыки их применения. Помимо этого, без знания и умения применять эти соотношения невозможна подготовка к олимпиадам.

Формула сложения

Первая формула этого раздела выводится с помощью тригонометрической окружности. Отметим на ней точки F и G и проведем из начала координат отрезки OF и OG, образующие с осью абсцисс углы δ и λ соответственно.

Обратим внимание, что точки имеют координаты:

• F(x₁;y₁)
• G(x₂;y₂)

Пользуясь свойствами тригонометрической окружности, координаты можно записать в виде функций углов:

• F(соs δ;sin δ)
• G(соs λ;sin λ)

Рассматривая треугольник GOF отмечаем, что ∠GOF=λ-δ. Применим теорему косинусов:

GF²=OG²+OF²-2* OG*OF*соs(λ-δ). OF и GF имеют единичную длину, как радиусы единичной окружности, следовательно GF²=1+1-2* 1*1*соs(λ-δ)=2-2 соs(λ-δ).

Теперь найдем длину GF по формуле расстояния между двумя точками на координатной плоскости:

GF²=(соs(λ)-соs(δ))²+(sin(λ)-sin(δ))²=соs²(λ)-2*соs(λ)*соs(δ)+соs²(δ)+sin²(λ)-2*sin(λ)*sin(δ)+sin²(δ).

После перегруппировки членов получим:

GF²=(соs²(λ)+sin²(λ))+(соs²(δ)+sin²(δ))-2(соs(λ)*соs(δ)+sin(λ)*sin(δ))=1+1-2(соs(λ)*соs(δ)+sin(λ)*sin(δ))=2-2(соs(λ)*соs(δ)+sin(λ)*sin(δ)).

Приравниваем два тождества для длины GF:

GF²=2-2(соs(λ)*соs(δ)+sin(λ)*sin(δ))= 2-2 соs(λ-δ).

Отсюда соs(λ-δ)=соs(λ)*соs(δ)+sin(λ)*sin(δ).

И это, пожалуй, самый сложный вывод как в этом разделе, так и в целом в теме статьи. Остальные тождества выводятся из полученного. Так, для вывода формулы преобразования суммы переменных под знаком косинуса надо воспользоваться свойством четности данной функции и нечетности синуса:

соs(λ+δ)= соs(λ+(-δ))=соs(λ)*соs(-δ)+sin(λ)*sin(-δ).

Окончательно получаем соs(λ+δ)=соs(λ)*соs(δ)-sin(λ)*sin(δ).

Аналогично для разности переменных под знаком синуса:

sin(λ-δ)= sin(λ+(-δ))=sin(λ)*соs(-δ)+sin(λ)*sin(-δ).

Для вывода формул суммы переменных для синусов надо дополнительно использовать формулы приведения:

• соs(λ)=sin(90^◦-λ)
• sin(λ)=соs(90^◦-λ)

Тогда sin(λ+δ)=соs(90^◦-(λ+δ))=соs((90^◦-λ)+δ)=соs((90^◦-λ)*соs( δ)+sin((90^◦-λ)*sin δ). Окончательная формула:

sin(λ+δ)=sin(λ)*соs( δ)+соs(λ)*sin δ)

Теперь для разности переменных для синусов:

sin(λ-δ)= sin(λ+(-δ))=sin(λ)*соs(-δ)+соs(λ)*sin(-δ).

Окончательно:

sin(λ-δ)=sin(λ)*соs(δ)-соs(λ)*sin(δ).

Формула двойного угла

Эта группа формул позволяет выполнить переход от тригонометрических функций с удвоенными переменными (например, sin(2a)) к функциям с одинарными переменными (sin(a), соs(a)). Они легко получаются из формул суммы тригонометрических функций, достаточно подставить в них одинаковые аргументы. Например, из тождества для сложения sin(γ+φ)=sinγ*соsφ+sinφ*соsγ при γ=φ легко получается sin(2γ)=sin γ*соs γ+sin γ *соs γ=2sin γ*соs γ. Остальные формулы получаются такой же нехитрой подстановкой:

• соs(2γ)=соs²γ −sin²γ
• tg(2φ)=2tgφ/(1−tg²φ) (при этом соsφ≠0, соs(2φ)≠0)
• сtg(2φ)=(сtg²φ-1)/2сtgφ

Используя основное тригонометрическое тождество, можно выражение для косинуса переписать, как соs(2γ)=соs²γ−sin²γ=соs²γ−(1−соs²γ)=2соs²γ−1. Можно вывести формулу и через синус: соs(2γ)=соs²γ−sin²γ= (1−sin² γ)−sin² γ =1−2sin² γ.

Формула тройного угла

Формулы тройного угла, позволяющие перейти от функций с утроенными переменными (соs(3φ) и т.д.) к одиночным переменных (соs(3φ)), не менее просто выводятся из тех же формул суммы переменных. Снова возьмем формулу sin(γ+φ)=sinγ*соsφ+sinφ*соsγ и вместо φ подставим в нее 2γ:

sin(γ+2γ)=sinγ*соs2γ +sin2γ *соsγ

Снова разложим соs2γ и sin2γ по выведенным ранее формулам:

sin(3γ)=sinγ*(1−2sin² γ)+2sin γ*соs γ*соsγ

Раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены, окончательно запишем:

sin(3γ)=3sinγ−4sin³γ.

По аналогичному принципу несложно выводится формула для косинуса:

соs(3γ)=4соs³γ−3соsγ.

Формула половинного угла

Глобально формулы половинного угла вытекают из формул двойного угла заменой удвоенной переменной на одинарную, а одинарной – на половинную (переход от sin (x) к sin(x/2)).

Возьмем формулу соs(2γ)=1−2sin²γ и выполним замену:2γ=δ. Тогда соs(δ)=1−2sin² (δ/2) или  sin² (δ/2)=(1- соs(δ))/2.

Для косинуса формула выводится из соs(2γ)= 2соs²γ−1. Окончательный вид соs² δ/2= (соs(δ)+1)/2.

Для вывода формулы половинного угла для тангенса и котангенса надо воспользоваться известными соотношениями tgγ=sinγ/соsγ и сtgγ=соsγ/sinγ. Подставив в них вместо γ в качестве аргумента δ/2 и воспользовавшись только что выведенными формулами для синуса и косинуса половинного угла, несложно получить tg² (δ/2)=(1-соs(δ))/ (1+соs(δ)) и сtg²(δ/2)=(1+соs(δ))/ (1-соs(δ)).

Формула перемножения функций

Для вывода формул произведения тригонометрических функций сначала воспользуемся формулами сложения переменных:

• соs(λ+δ)=соs(λ)*соs(δ)-sin(λ)*sin(δ)
• соs(λ-δ)=соs(λ)*соs(δ)+sin(λ)*sin(δ)

Если их сложить, то получится:

соs(λ-δ)+ соs(λ+δ)=2*соs(λ)*соs(δ), и окончательно:

соs(λ)*соs(δ)=(соs(λ-δ)+соs(λ+δ))/2

А теперь вычтем из первого уравнения второе:

соs(λ+δ)- соs(λ-δ)=2*sin(λ)*sin(δ)

Запишем:

sin(λ)*sin(δ)=(соs(λ-δ)-соs(λ+δ))/2

Теперь сложим формулы для суммы и разности аргументов синуса:

• sin(λ+δ)=sin(λ)*соs(δ)+соs(λ)*sin δ)
• sin(λ-δ)=sin(λ)*соs(δ)-соs(λ)*sin(δ)

Получим sin(λ+δ)+sin(λ-δ)=sin(λ)*соs(δ)+соs(λ)*sin(δ)+sin(λ)*соs(δ)-соs(λ)*sin(δ). Несложными преобразованиями это равенство приводится к окончательному виду:

sin(λ)*соs(δ)=(sin(λ-δ)+sin(λ+δ))/2

Сумма и разность тригонометрических функций

Название этой группы отличается от изученных выше тем, что в них складываются не переменные под знаком функций, а сами функции от различных переменных.

Введем новые переменные:

• t= λ+δ
• m=λ-δ

Отсюда λ=(m+t)/2 и δ=(m-t)/2. Подставляя эти значения в формулы для сумм переменных, в итоге получим:

• соs(t)+соs(m)=2соs((m+t)/2)*соs((m—t)/2)
• соs(t)-соs(m)=2sin((m+t)/2)*sin((m-t)/2)
• sin(t)+sin(m)=2sin((m+t)/2)*соs((m-t)/2)

Из последней формулы можно получить разность синусов, используя нечетность этой функции (sin(-x)=-sin(x):

sin(t)-sin(m)= sin(t)+sin(-m)

Итоговая формула:

sin(t)-sin(m)= 2sin((t-m)/2)*соs((m+t)/2)

Представив тангенс, как отношение соs к sin, можно записать, что:

tg(t)±tg(m)=sin(t)/соs(t) ±sin(m)/соs(m)

Приведя к общему знаменателю, запишем:

tg(t)±tg(m)=(sin(t)*соs(m)± sin(m)*соs(t))/соs(t)*соs(m)

Окончательно:

tg(t)±tg(m)=sin(m±t)/соs(m)*соs(t)

Те же самые выкладки для котангенса приводят к записи:

сtg(t)±сtg(m)=sin(m±t)/sin(m)*sin(t)

Формула понижения степени

Если рассмотреть формулы двойных углов для синуса и косинуса, легко заметить, что в одной части уравнений функция стоит в первой степени, а в противоположной части – во второй. Выполнив соответствующие переносы, можно выполнить переход от квадратов функций к первым степеням.

Из формулы соs(2γ)= 2соs²γ−1 тождество для уменьшения показателя выводится без труда простой перегруппировкой:

 2соs²γ= 1+соs(2γ)

Уменьшение степени синуса становится возможным из записи соs(2γ)=1−2sin²γ. Перегруппировав члены, получим 2sin²γ=1-соs(2γ) или sin²γ=(1- соs(2γ))/2

Понижение третьей степени

То же самое можно отметить и для формул тройного угла – в них можно сгруппировать члены так, чтобы в одной части были функции в третьей степени, а в противоположной части – в первой. Таким методом можно перейти от кубических степеней синусов и косинусов к единичным показателям.

sin(3γ)=3sinγ−4sin³γ <=> sin³γ=(3sinγ−sin(3γ))/4

соs(3γ)=4соs³γ−3соsγ <=> соs³γ= (соs(3γ)+3соsγ)/4

Очевидно, что  все формулы в тригонометрии, кажущиеся на первый взгляд нагромождением символов, на самом деле логичны и легко выводятся одна из другой. Их можно запоминать, а можно при необходимости выводить — кому как проще.