Решение логарифмических неравенств: полный гайд с методами и примерами

Логарифмическим неравенством называется такое математическое выражение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма – в качестве основания или аргумента. В отличие от логарифмических уравнений, решением неравенств с логарифмом в большинстве случаев являются не конкретные числа, а участки на координатной прямой.

Алгоритм решения неравенств с логарифмами

Перед тем, как решать логарифмические неравенства, надо разобраться с некоторыми свойствами логарифмической функции.  В качестве примера рассмотрим график функций y=log₂(x)(красная линия) и y=lg(х) (синяя линия).

Очевидно, что при увеличении аргумента значение обеих функций возрастает на всей области определения. Можно сделать вывод, что если a>b, то и log_k(a)>log_k(b), и вместо сравнения логарифмов можно выполнять сравнение аргументов. Однако этот вывод верен только для логарифмов с одинаковым основанием. Так, на чертеже есть точки, где «синяя» линия графика проходит выше «красной» и наоборот, то есть для a>b может быть как log_k(a)<log_m(b), так и log_k(a)>log_m(b) если k≠m.

Следовательно, последовательность решений логарифмических неравенств вида log_k(g(x)<log_m(h(x)) будет следующей:

• сравниваем основания логарифмов;
• если они неравны, с помощью известных алгебраических формул приводим их к одному основанию;
• «отбрасываем» логарифмы;
• решаем неравенство g(x)<h(x).

Рассмотрим простейший пример: log₂4<log₂16. Так как основания одинаковые, можно сравнивать числа под знаком логарифма: 4<16, что верно. Проверим:

• log₂4=2
• log₂16=4
• 2<4

Все верно. Можно записать неравенство с переменной под знаком логарифма: log₂4>log₂х. Получаем решение x<4. Однако число под знаком логарифма должно быть строго положительным, поэтому на переменную накладывается дополнительное ограничение: 0<x<4.

Как решать логарифмические неравенства

Однако основание логарифма может быть меньше 1 (но обязательно больше нуля!). Сравним log_0,50,5 и log_0,50,25. Согласно полученным выкладкам, 0,5>0,25. Однако проверка дает log_0,50,5=1 и log_0,50,25=2.

Теперь рассмотрим график логарифма y= log_0,5(x). Он монотонно убывает на всей области определения. Следовательно, для положительных a>b справедливо log_k(a)<log_k(b), если 0<k<1. Поэтому полный алгоритм решения неравенств с логарифмами выглядит так:

• сравнение основания логарифмов, входящих в математическую запись;
• если они различны – приведение их к единому основанию (потребуется знать соответствующие формулы);
• избавляемся от логарифмов;
• если основание логарифма меньше 1, меняем знак на противоположный, если больше 1 – оставляем исходный.
• решаем неравенство g(x)<h(x) или g(x)>h(x) в случае замены знака.

В качестве примера логарифмические неравенства решим log_0,3​(10z+2)<log_0,3​(7z−3). Сначала запишем ОДЗ:

• 10z+2>0
• 7z-3>0

Преобразуем:

• 10z>-2 <=> z>-0,2
• 7z>3<=> z>3/7

Следовательно, z>3/7.

Теперь решаем само неравенство. Так как основание меньше 1, то при отбрасывании логарифмов меняется знак:

• 10z+2>7z−3
• 10z-7z>-3-2
• 3z>-5
• z>-5/3.

Однако ограничение по ОДЗ дает ответ z>3/7.

Метод замены переменной в неравенствах с логарифмом

Одним из распространенных способов решения логарифмических неравенств является известный метод замены переменной. Он удобен, например, в случаях, если в неравенство входит несколько логарифмов, и они возведены в какую-либо (разную или одинаковую) степень. Пусть имеется запись log²₃(z)+2>3 log₃(z). Напрашивается замена переменной p=log₃(z), при этом не следует забывать, что z>0. Перепишем неравенство в виде p²+2>3p или p²-3p+2>0. Корнями квадратного уравнения p²-3p+2=0 будут p₁=2 и p₂=1. Можно разложить на множители: (p-1)(p-2)>0. Отсюда методом интервалов несложно найти, что p∈(−∞;1)∪(2;+∞), что можно записать в виде совокупности:

• p<1
• p>2

Теперь можно выполнить обратную замену:

• log₃(z)<1
• log₃(z)>2

Таким образом, исходная запись свелась к двум простейшим логарифмическим неравенствам. Пользуясь свойствами логарифма, можно записать, что 1= log₃3. Число 2 тоже можно записать в виде логарифма с основанием 3:

• 2=2*1
• 2=2*log₃3
• 2= log₃3²
• 2= log₃9

Избавляемся от логарифмов:

• log₃(z)< log₃3 или z<3
• log₃(z)> log₃9 или z>9.

Можно переписать совокупность в виде z∈(0;3)∪(9;+∞).

Еще один пример — lg²⁽t)-lg(t)-2≤0. В первую очередь разберемся с ОДЗ. Так как аргумент логарифма всегда больше нуля, то t>0. Далее выполним замену переменной: lg(t)=r, отсюда r²-r-2≤0. Находим корни получившегося квадратного уравнения:

• r₁=-1
• r₂=2

Выполняем разложение на множители:

(r-2)(r+1) ≤0

Получаем интервал t∈[-1;2] или в виде системы:

• r≥-1
• r≤2

Выполняем обратную замену:

• lg(t)≥-1
• lg(t)≤2

Запишем -1 и 2 в виде логарифма с основанием 10:

• -1=-1*1=-1*lg10=lg10^-1=lg0,1
• 2=2*1=2*lg10=lg10²=lg100

Получаем:

• lg(t)≥ lg0,1
• lg(t)≤ lg100

Отсюда:

• t≥0,1
• t≤100

В данном случае полученный интервал полностью удовлетворяет ОДЗ, окончательно записываем t∈[0,1;100]

ОДЗ в логарифмических неравенствах как сделать проще

Решение неравенств для нахождения ОДЗ бывает громоздким, и по сложности близким к решению основного неравенства. В некоторых случаях этот этап можно немного упростить.

Пусть имеется неравенство 1+log₇(3−t)≤log₇(9−t²). Его область допустимых значений можно записать в виде:

• 3-t>0
• 9−t²>0

Решение этих неравенств можно пока отложить, приступив к основному выражению. Единицу надо записать в виде логарифма с основанием 7: 1=log₇7. Подставив эту запись в исходное неравенство и получив log₇7+log₇(3−t)≤log₇(9−t²), применим к нему формулу суммы логарифмов:

log₇(7*(3−t))≤log₇(9−t²)

Опустив логарифмы, запишем:

7*(3−t)≤ (9−t²)

Возвращаясь к ОДЗ получим, что 7*(3−t)>0 (исходя из первого неравенства). Это автоматически означает, что 9−t² тоже больше нуля, так как 0< 7*(3−t)≤ (9−t²). Следовательно, решать неравенство 9−t² не обязательно. Рассуждая таким образом, можно избавиться от лишнего действия. В данном примере это преобразование выполнить не сложно, на общую трудоёмкость решения логарифмического неравенства оно заметно не повлияет. Однако бывают случаи, когда неравенства, описывающие ОДЗ, бывают громоздкими, их решение отнимает время и чревато ошибками при вычислениях. По этой причине есть смысл проанализировать неравенство заранее на предмет потенциального упрощения ОДЗ.

Неравенства с логарифмами по переменному основанию

В процессе подготовки и сдачи экзаменов учащимся могут быть предложены логарифмические неравенства, содержащие переменную не только в подлогарифмическом выражении, но и в основании логарифма. Принципиально решение логарифмических неравенств с переменным основанием не отличается от рассмотренных выше, но есть два момента:

1. Дополнительное ограничение на ОДЗ. Надо учитывать, что основание логарифма строго положительно и не может быть равно
2. Так как значение выражения в основании может быть как больше 1, так и меньше, в зависимости от значения переменной, при решении надо рассмотреть оба случая.

В качестве примера рассмотрим неравенство log_0,5t(3t²−2t+1)≥0. Выпишем условия ограничения ОДЗ:

• 3t²−2t+1>0, так как находится под знаком логарифма;
• 0,5t>0, как основание логарифма;
• 0,5t≠1 по той же причине.

Решая квадратное уравнение, находим, что неравенство верно для любых t (a>0 и дискриминант отрицателен). Второе условие можно переписать в виде t>0, а третье — t≠2. Отсюда ОДЗ  — t∈(0;2)∪(2;+∞).

Теперь надо записать 0 в правой части в виде логарифма с основанием 0,5t:

• 0=0*log_0,5t0,5t
• 0= log_0,5t (0,5t)⁰
• 0= log_0,5t 1

Исходное выражение примет вид:

log_0,5t(3t²−2t+1)≥ log_0,5t 1

Сначала рассмотрим случай, когда основание больше 1:

0,5t>1 ót>2

При этих условиях знак неравенства изменять не потребуется. Избавимся от логарифмов:

• 3t²−2t+1≥1
• t>2

Преобразуем первую запись:

3t²−2t+1≥1ó3t²−2t≥0ót(3t-2)≥0

Решаем неравенство методом интервалов (зеленая штриховка) и накладываем ограничение t>2 (красная штриховка).

Записываем решение для этого случая t∈(2;+∞).

Теперь рассматриваем вариант, когда основание меньше 1 (но больше 0):

0<0,5t<1ó0<t<2.

Знак неравенства при этом меняется:

• 3t²−2t+1≤1
• 0<t<2

Снова преобразуем первую запись:

Преобразуем первую запись:

3t²−2t+1≤1 <=> 3t²−2t≤0ót(3t-2) ≤0

Метод интервалов вкупе с наложением ограничения дает результат t∈(0;2/3).

Объединяя результаты для обоих случаев, получаем ответ: t∈(0;2/3)∪(2;+∞).

Еще один пример. Пусть задано неравенство log_9z27≤1/(log₃z). Значения, которые может принимать переменная z, ограничены следующим образом:

• z>0 (как выражение под знаком логарифма);
• 9z≠1 (как основание логарифма);
• log₃z ≠0 (как знаменатель дроби).

Перепишем ограничения в виде:

• z>0;
• z≠1/9;
• z ≠1.

Преобразуем исходную запись с помощью известных формул так, чтобы в ней остались только логарифмы с основанием 3:

3/(log₃z+2) ≤1/(log₃z).

В этом случае получилось избавиться от переменной в основании, поэтому не надо проверять на возрастание или убывание функции. Выполнив замену переменной log₃z=s, запишем:

3/(s+2) ≤1/t или 3/(s+2)-1/s ≤0.

Преобразуем выражение дальше, приведя оба слагаемых к общему знаменателю:

3s-s-2/(s(s+2)) ≤0 <=> (2s-2)/(s(s+2))≤0 <=> (s-2)/(s(s+2))≤0

Это неравенство можно решить методом интервалов (помня о том, что s≠-2 и s≠0):

Числовой интервал	(−∞; −2)	(−2; 0)	(0; 1)	(1; +∞)
Знак	—	+	—	+

Получаем совокупность:

• s<-2
• 0<s≤1

Теперь можно выполнить обратную замену:

• log₃z <-2 ó0<z<1/9
• 0< log₃z ≤1 ó log₃1< log₃z ≤ log₃3 ó 1< z ≤ 3

Ответ запишем в виде z∈(0;1/9)∪(1;3].

Метод сужения ОДЗ в логарифмических неравенствах

При решении логарифмических неравенств приходится использовать различные формулы для преобразования логарифмов (приведение к единому основанию, упрощению аргумента и т.п.). Однако такие формулы надо использовать крайне осмотрительно.

Рассмотрим несложное уравнение: log₃(t²)>8.

Начнем с ограничений ОДЗ:

• t²>0
• t≠0

Для решения число 8 надо записать в виде логарифма с основанием 3:

8=8*1=8*log₃3= log₃3⁸

Исходная запись перепишется в виде log₃(t²)> log₃3⁸.

Отбросив логарифмы, получим t²>3⁸ или t^2-3⁸>0.

Раскладываем получившееся неравенство, как разность квадратов:

(t-3⁴)(t+3⁴)>0 или (t-81)(t+81)>0.

Выполнив решение методом интервалов, запишем t∈(−∞;−81)∪(81;+∞).

Можно выбрать другой путь решения – вынеся степень за знак логарифма: 2*log₃(t)>8. После сокращения получим log₃(t)>4. Перепишем 4 в виде логарифма: 4= log₃3⁴ и запишем неравенство в виде log₃(t)>log₃3⁴. Отсюда t>3⁴ или t>81, что можно записать в виде t∈(81;+∞). Таким образом, два способа решения дали два разных результата.

Проблема в том, что при вынесении степени из-под логарифма изменилась ОДЗ. В первом случае четная степень переменной превращала все отрицательные корни в положительные значения. Во второй ситуации условие t²>0 исчезло, так как вторая степень тоже исчезла. ОДЗ сузилась до t>0, и значения t<0 перестали удовлетворять ограничениям.

По этой причине с логарифмическими неравенствами нельзя производить преобразования, приводящие к сужению области допустимых значений всего примера. Чаще всего к подобным последствиями ведет вынос четных степеней, поэтому применять такой прием надо с осторожностью, или вообще его избегать. Например, в выражении, log₉(z+5)¹⁰≤10 велик соблазн вынести десятую степень, так как это приведет к сокращению на 10 (10log₉(z+5)≤10), но делать этого нельзя, так как теряются отрицательные значения z. Тем не менее, можно вынести из под логарифма нечетную степень 5 (5log₉(z+5)²≤10), что позволит несколько сократить выражение, не теряя ОДЗ.

Однако к изменению ОДЗ могут привести и другие трансформации. По этой причине при выполнении математических операций с логарифмами надо проверять, не сужается ли ОДЗ. Если сужается, то такие преобразования для данного неравенства выполнять нельзя.

Таким образом, метод решения логарифмических неравенств практически сводится к решению самого неравенства и решения неравенств, входящих в ОДЗ. Эти этапы практически независимы друг от друга, а сведение результатов для проверки на совпадение производится на заключительной стадии. Подобная работа требует внимательного подхода, поэтому при подготовке к экзаменам, особенно к ЕГЭ-профиль, полезно отработать остальные навыки до автоматизма (алгебраические действия с логарифмами, метод интервалов и т.д.), чтобы в процессе решения не отвлекаться на их изучение и свести вероятность ошибок к минимуму.