Решение логарифмических уравнений

Логарифмическое уравнение – это математическая запись, в которую входит переменная или функция под знаком логарифма в качестве аргумента или основания. Решение таких уравнений входит в программу подготовки к ЕГЭ.

Как решать логарифмические уравнения

Общий подход к решению логарифмических уравнений основан на утверждении, что если у два логарифма с одинаковым основанием равны аргументы, то равны и сами логарифмы. В базовом виде это может выглядеть так:

log₃x=log₃5

Решение этого простейшего логарифмического уравнения очевидно:

х=5.

В общем случае под знаком логарифма может быть не только переменная, но и выражение, содержащее неизвестную. В этом случае надо учитывать, что ОДЗ (область допустимых значений) аргументов логарифма  — положительные числа. Например, имеется уравнение:

log₄(2+2t)= log₄(3t+5)

Вопрос, как избавиться от логарифма, здесь не стоит – просто приравниваются функции, являющиеся аргументами:

2+2t=3t+5

t=-3

Подставляя найденное значение вместо переменной в обе части, получим:

log₄(2+2*(-3))= log₄(3*(-3)+5)

log₄(2-6)= log₄(-9+5)

log₄(-4)= log₄(-4)

С одной стороны, равенство на первый взгляд, верное. С другой – под знаком логарифма отрицательное число, чего быть не может. Следовательно, значение выражения при найденном корне не попадает  в ОДЗ логарифмов, и уравнение не имеет решений.

Ситуация становится сложнее, когда основания логарифмов, входящих в уравнение, не равны. В этом случае нельзя просто приравнять значения аргументов. Например, надо решить уравнение:

log₂t=log₄16

«В лоб» его решать нельзя – основания логарифмов различаются. Надо привести логарифмы к единому виду. В данном случае можно воспользоваться свойством логарифма – если основание и аргумент возвести в одну и ту же степень, то значение функции не изменится. Тогда правую часть уравнение с логарифмами можно возвести в степень ½ и записать так:

Что легко преобразовать к виду

log₂t=log₂4

Отсюда t=4.

Можно привести к основанию 4 правую часть, возведя основание и аргумент во вторую степень, однако в этом случае надо проявить определенную осмотрительность.

Отсюда следует, что t²=16 и t=±4. Однако -4 не может быть аргументом логарифма, поэтому учитываем ОДЗ и оставляем один корень t=4. Результат совпал с предыдущим.

Для приведения логарифмов к одинаковой степени можно воспользоваться и другими формулами, основная из которых

Пригодятся и следующие соотношения:

• 
• 

Из них вытекает, что:

• 
• 

Для дальнейших преобразований потребуется знать и другие свойства логарифмов.

Иногда требуется решать  логарифмические уравнения вида log_xy=b, где b – положительное число. Здесь поможет знание факта, что любое такое число можно записать в виде логарифма с любым основанием. Чтобы записать b в виде логарифма с основанием x, надо выполнить пошагово:

• представить b в виде b*1;
• вспомнить, что логарифм любого числа по основанию, равному этому числу, равен 1;
• записать 1=log_xx;
• внести b под знак логарифма в виде степени аргумента: b*1=b*log_xx= log_xx^b.

Пусть имеется уравнение log₃(t)=8. Сначала запишем число 8 в виде логарифма с основанием 3:

• 8=8*1;
• 1=log₃3;
• 8=8*log₃3;
• внесем 8 под знак логарифма: 8=log₃3⁸= log₃

Тогда исходное уравнение перепишется, как log₃(t)= log₃6561, откуда t=6561.

В уравнении подобного вида b может быть равно нулю. Например, log₃(z+4)=0. Решается это тем же путем:

• 0=0*1;
• 1=log₃3;
• 0=0*log₃3;
• внесем 0 под знак логарифма: 0=log₃3⁰;
• помня, что любое число в нулевой степени равно 1, записываем 0=log₃

Теперь исходная запись должна выглядеть так:

z+4=1 =>z=-3.

Проверим на ОДЗ:

-3+4=1>0.

Решение верное.

Алгоритмом решения логарифмических уравнений

Подводя итог, общий и достаточно подробный алгоритм решения  уравнения с логарифмами, называемый потенцированием,  можно записать так:

• сравниваем основания логарифмов;
• если они равны, приравниваем аргументы под знаком логарифма, решаем получившееся равенство с учетом ОДЗ;
• если в уравнение входят логарифмы с разными основаниями , приводим их к общему основанию, используя свойства логарифмов;
• если в линейном уравнении с логарифмами имеются слагаемые в виде констант, преобразовываем их до получения логарифма с нужным основанием;
• используя свойства логарифмов, упрощаем получившееся выражение;
• приравниваем функции под знаком логарифма, решаем уравнение (если получившееся уравнение не имеет решений, то их не имеет и исходное уравнение)

При каждом преобразовании надо определять область допустимых значений и проверять найденные корни на принадлежность к этой области.

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Существует другой тип логарифмических уравнений — они содержат переменную не в качестве аргумента (или не только в качестве аргумента). Неизвестной величиной в них является основание логарифма. Иными словами, при разных корнях основание логарифма тоже будет различным. Подобные уравнения могут иметь вид log_f(x)g(x)=b, и они имеют ограничения по ОДЗ логарифма:

• g(x)>0;
• f(x)>0;
• f(x)≠1.

В качестве примера возьмем простое уравнение:

log_x2=1

Cпособы решения логарифмических уравнений подобного вида аналогичны рассмотреным ранее. В первую очередь надо по тому же методу преобразовать запись так, чтобы в обеих частях получились логарифмы с одинаковым основанием:

1=1*log_xx=log_xx

Приравниваем выражения:

log_x2= log_xx

Следовательно, х=2. Это удовлетворяет условиям ОДЗ. Проверка подстановкой дает log₂2=1.

Замена переменной в уравнениях с логарифмами

В качестве одного из основных методов решения логарифмических уравнений можно использовать известный способ замены переменной. Это путь выбирается при достаточно сложных выражениях. Например, там, где логарифмы (не основания и не аргументы!) возводятся в различные степени и т.п. В общем виде запись такого уравнения имеет вид g(log_bx)=0. Замена log_bx=t преобразует уравнение в вид g(t)=0.

Замена выполняется после приведения к единому основанию и единому аргументу. После этого уравнение решается относительно новой переменной и производится обратная замена.

В качестве несложного примера разберем уравнение:

2*log²₉z-log₉z=1.

Здесь в квадрат возведен логарифм, поэтому преобразовать аргумент или основание, чтобы избавиться от степени, не получится. Но основание у двух логарифмов одинаковое, поэтому можно произвести замену log₉z=s. Уравнение перепишется в виде:

2s²-s=1 или 2s²-s-1=0.

Корни квадратного уравнения можно найти любым изученным ранее способом:

• s₁=1
• s₂=-1/2

Выполним обратную замену для первого корня:

log₉z=1 или log₉z= log₉9, отсюда z=9, что соответствует ОДЗ уравнений такого типа.

Для второго корня:

log₉z=-1/2 или log₉z=-1/2 *log₉9, или .

Вычислив аргумент логарифма в правой части, окончательно получим:

log₉z=log₉(1/3) и z=1/3.

Второй корень также соответствует ОДЗ.

Сложные задачи

В предыдущих разделах в качестве иллюстраций к пояснениям даны примеры решения простейших логарифмических уравнений. В процессе подготовки к Единому государственному экзамену следует научиться решать задачи посложнее. Далее предлагаются более сложные логарифмические уравнения с решением, в которое не надо торопиться заглядывать – лучше сначала попытаться найти ответ самостоятельно.

Задача 1.  Решить логарифмическое уравнение log_6-t(t²+3t+1)=1.

Решение. В первую очередь лучше определить ОДЗ, включая допустимые значения для основания логарифма, так как оно содержит переменную:

• t²+3t+1>0;
• 6-t>0ót<6;
• 6-t≠1ót≠5

Теперь избавляемся от постоянной справа, переписывая ее в виде логарифма с основанием 6-t:

1=log_6-t6-t

Тогда уравнение будет иметь вид:

log_6-t(t²+3t+1)= log_6-t(6-t)

Теперь выражения под логарифмом можно приравнять:

t²+3t+1=6-t или t²+3t+t+1-6=0 ó t²+4t-5=0.

Решив квадратное уравнение, получаем два корня:

• t₁=-5
• t₂=1

Проверка обоих корней на ОДЗ дает положительный результат.

Задача 2. Найти корни уравнения log²₂u+6=5* log₂u.

Решение. Сначала установим ограничение по ОДЗ – u>0. Основания логарифмов равные с одинаковыми аргументами. Переписывать константы в виде логарифмов нецелесообразно, лучше сделать замену log₂u=y. Уравнение перепишется в виде:

y²+6=5yó y²-5y+6=0.

Решая уравнение, получаем корни:

• y₁=3
• y₂=2

После обратной замены получим:

• log₂u=3 =>u₁=8
• log₂u=2=>u₂=4

Проверяем на ОДЗ, оба корня подходят.

Задача 3. Решить уравнение log₂(v²+4v)+log_0,5(v/4)+2=log₂(v²+3v−4).

Решение. Начнем с определения ОДЗ. Запишем ограничения:

• v²+4v>0
• v>0
• v²+3v−4>0

Разложим записи с переменными во второй степени на множители:

• v(v+4)>0
• v>0
• (v-1)(v+4)>0

Проще всего объединить области графическим способом. Обозначим на координатной прямой:

• решение первого неравенства – красным цветом;
• второго – фиолетовым;
• третьего – зеленым;
• объединение областей – заштрихованной областью.
• 

Следовательно, ОДЗ для переменной данного уравнения – v>1.

Чтобы решить само уравнение, потребуется привести все члены к единому основанию. Рационально это делать для основания 0,5, приведя его к основанию 2. Для этого надо представить 0,5 как ½ или 2^-1. Уравнение запишется в виде:

Вынесем степень -1 за знак логарифма:

log₂(v²+4v)+(-1/1)*log₂(v/4)+2=log₂ (v²+3v-4).

Или:

log₂(v²+4v)-log₂(v/4)+2=log₂(v²+3v-4).

Теперь воспользуемся разложением, сделанным ранее:

log₂(v(v+4))-log₂(v/4)+2=log₂(v-1)(v+4).

Применяя формулы для сумм (и разностей) логарифмов, получаем запись:

log₂v+ log₂(v+4)-log₂(v)+ log₂4+2=log₂(v-1)+ log₂(v+4).

После сокращения подобных членов уравнение примет вид:

log₂4+2=log₂(v-1).

С учетом того, что log₂4=2, в очередной раз запишем:

log₂(v-1)=4.

Число 4 в виде логарифма с основанием 2 записывается так:

• 4=4*1
• 1=log₂2
• 4=4*log₂2
• 4= log₂2⁴= log₂16

Отсюда log₂(v-1)= log₂16 и v-1=16 или v=17. Этот корень успешно проходит проверку на ОДЗ.

Задача 4. Решить уравнение log²₄w +log₄w-1,5 = 0.

Решение. В этом уравнении в квадрат возведена сама логарифмическая функция, поэтому преобразовать его, убрав степень под знак логарифма, не получится. Придется прибегнуть к методу замены переменных:

s= log₄w

Отметим ОДЗ: w>0.

Перейдем к квадратному уравнению:

s²+s-1,5=0

Решив уравнение, получим корни:

• 1
• -3/2

Выполнив обратную замену, получим:

• log₄w=1
• log₄w=-3/2

Отсюда:

• w₁=4
• w₂=4^-3/2=(2²) ^-3/2=2^-3=1/8

Оба корня попадают в ОДЗ.

Задача 5. Решить уравнение log₂(p-2)+log₂(p-3) = 1.

Решение. ОДЗ данного уравнения представляет собой систему неравенств:

• p-2>0 или p>2;
• p-3>0 или p>3.

В итоге ОДЗ определяется неравенством p>3.

Для решения уравнения надо воспользоваться свойством суммы логарифмов с единым основанием:

log₂(p-2)+log₂(p-3)= log₂(p-2)*(p-3)

Преобразуем обе части поочередно:

• log₂(p-2)*(p-3)= log₂(p²-5p+6)
• 1= log₂2

После приравнивания получим:

log₂(p²-5p+6)= log₂2

Откуда:

p²-5p+6=2 или p²-5p+4=0

Это уравнение имеет корни:

• 1
• 4

Первый корень не проходит по ограничениям ОДЗ, поэтому p=4.

Задача 6. Решить уравнение с натуральными логарифмами lg(r²+2r-5)-lg(r-1)=2*lg3

Решение. В данном случае выяснение ОДЗ затруднено тем, что корни квадратного трехчлена r²+2r-5 – иррациональные числа:

• r₁=-1-√6
• r₂=-1+√6

Корни преобразованного уравнения также будут иметь неудобный вид, что приведет к громоздким вычислениям при решении логарифмического уравнения и проверке на ОДЗ. По этой причине перед тем,   как убрать логарифм, лучше сразу выполнить преобразование по формуле разности логарифмов и переписать исходное выражение в виде системы:

В правой части первой записи внесем множитель 2 под знак логарифма:

2*lg3=lg3²=lg9

Отсюда , откуда:

Перепишем в виде r²+2r-5=9r-1 (не забываем об ОДЗ!) или r²-7r+4=0.

Находим корни (как и предупреждалось ранее, они получились неудобные):

• r₁=(7+√33)/2
• r₂=(7-√33)/2

Первый корень явно попадает в ОДЗ, так как r₁>7/2, а 7/2>1. Подставим в условие второй корень: r₂-1=(7-√33)/2-1=(5-√33)/2=(√25-√33)/2. Так как √25-√33<0, то этот корень не попадает в ОДЗ, поэтому единственное решение уравнения —  r=(7+√33)/2.