Изучение понятия корня n-й степени и его свойств относится к базовым вопросам алгебры. Без четкого усвоения этой темы невозможно изучение более важных разделов математики. Однако помимо теоретического назначения, арифметические корни применяются и для практических целей — для измерения расстояний косвенными методами (например, в астрономии), для расчета площадей (например, земельных участков) и в других областях человеческой деятельности.
Корень n ой степени
На определенном этапе развития алгебры, математики ввели понятие степени для случая перемножения n одинаковых чисел. Длинную запись вида t*t*t*..*t*t (n раз) заменили компактным выражением tn (t в степени n). Выяснилось, что понятие степени имеет большой алгебраический потенциал, и, по мере развития, был создан целый сектор алгебры, изучающий степенную функцию. Одним из результатов явилась потребность по известному числу z= tn и показателю степени находить исходное число t. Это число и будет являться арифметическим корнем n-ой степени из числа z.
Отсюда можно вывести определение корня n-ой степени: число t является корнем степени n числа z, если tn=z и при этом n – нечетное число. Если n – четное число, то на t накладывается ограничение: t≥0.
Обозначается корень значком 
, где k – степень корня (или показатель корня), а z – подкоренное выражение. Этот значок называют радикалом, а зачастую и сам корень называют радикалом, что не совсем верно. Если речь идет о корне второй степени – квадратном корне – то индекс k практически всегда опускают.
Для нахождения корней натуральных чисел можно воспользоваться специальными таблицами. Их можно найти в учебной литературе или в интернете.
Конечно, можно пользоваться и калькуляторами. А некоторые целочисленные корни (например, в пределах сотни-двух) несложно запомнить. Так, обычно запоминаются корни из 4, 9, 16, 25 (соответственно 2, 3, 4, 5) и т.д.
Во многих случаях найденное значение корня может быть иррациональным и представлено в виде бесконечной дроби (например, √5≈2,236… — если ограничиться первыми тремя знаками). Чаще всего при решении задач по окончании вычислений лучше не записывать число, а ответ оставить в компактном виде √5. И это еще одно применение радикалов — запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня можно делать без округления. Операция округления, да и работа с приближенными значениями в целом, чревата ошибками, вызванными погрешностью операций, да и таблицы вместе с калькуляторами выдают ограниченное количество знаков после запятой. По этим причинам зачастую лучше оставить результат в виде радикала.
Степень с натуральным показателем
Чаще всего в школьной алгебре используются корни с натуральным показателем. По определению, натуральные числа (числа, возникшие в результате счета) – целые, положительные и неравные нулю. Следовательно, арифметический корень натуральной степени имеет основанием целое ненулевое число, большее нуля. Поэтому такой корень попадает под определение арифметического (он будет дано далее) в том случае, если подкоренное выражение будет неотрицательным. По этим причинам в школьном курсе алгебры, особенно на начальном этапе изучения, практически все задачи и примеры – на арифметический корень натуральной степени.
Cтепень с целым показателем
Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, дополнительно к ним – целые отрицательные, а также ноль. На самом деле в математике не установлено ограничений на корни с отрицательным показателем. Исходить надо из того, что радикал с любым показателем можно записать в виде степени:
Для отрицательной степени можно записать:
Отсюда 
. Очевидно, что корень отрицательной степени всегда можно переписать в виде дроби с корнем натуральной степени. Такая запись используется гораздо чаще (в рамках школьной алгебры – практически всегда).
Отдельно можно рассмотреть случай корень степени n из нуля. Независимо от значения n, значение этого выражения будет равно нулю, так как ноль при сколько угодно кратном умножении на себя даст в итоге ноль. По этой причине надо следить, чтобы в результате алгебраических преобразований √0 (любой степени) не оказался в знаменателе дроби.
Однако одно ограничение в области целочисленных показателей все же есть – корень нулевой степени. Так как любое число t в степени 0 даст единицу, то запись 
не имеет смысла, так как при извлечении корня требуется найти такое число, чтобы при возведении в степень оно давало подкоренное выражение. В данном случае этому условию удовлетворяют все числа. С другой стороны, найти корень n-й степени – значит, возвести число в степень 1/n. Если n=0, получим запрещенное в математике выражение.
По перечисленным причинам, если в школьном курсе алгебры идет речь о корне с целым показателем, то практически всегда подразумевается корень с натуральным показателем.
Кубический корень
Кубический корень является частным и наиболее распространённым случаем (по крайней мере, в курсе школьной алгебры) корня нечетной степени. Поэтому можно изучить его свойства, спроецировав их для всех случаев нечетных n. В первую очередь интересно рассмотреть график степенной функции y=x3.
Этот график представляет собой параболу, и обе ее ветви уходят в бесконечность. Это означает интервал области значений (-∞;∞). По области определения тоже не имеется никаких ограничений — это и означает, что под знаком корня может быть любое число, причем для него имеется единственное значение корня 3 степени. Поэтому для данного вида радикалов, как и для всех корней нечетной степени, отсутствует неоднозначность выбора решения.
Основные свойства корней
При рассмотрении свойств арифметического корня натуральной степени в первую очередь следует учесть, что в алгебре корни делятся на две категории:
- корни четных степеней;
- корни нечетных степеней.
Принципиальное отличие между ними в том, что корни четных степеней могут быть извлечены только из натуральных (т.е. неотрицательных) чисел. Корни с нечетным показателем извлекаются из любых чисел. Это наглядно видно на графиках функций y=x2 (синяя линия) и y=x3 (красная линия), как представителей обоих классов.
Очевидно, что для кубической функции для любой линии, параллельной оси абсцисс, найдется точка пересечения с гиперболой. Для квадратичной же функции все подобные линии расположатся только в области y>0. Следует обратить внимание, что горизонтальная линия пересечет параболу в двух точках, что означает двойственность корней для значений четной степени при решении квадратных уравнений. Но для определения корня намеренно введено ограничение в виде x>0, чтобы избежать неоднозначностей такого рода. Это относится и к четным корням с более высоким показателем (корень в четвертой степени, шестой и т.д.)
Таким путем вводится понятие арифметического корня. Арифметическим корнем n-ной степени из числа t≥0 называется такое число a≥0, для которого an=t. Например, для числа 16 корнями в алгебраическом смысле являются числа 4 и -4, но арифметическим корнем является только число 4.
Таким образом, для t>0:
- корень четной степени из –t не существует (утверждение относится только к действительным числам);
- корень нечетной степени из –t существует, причем .
Однако, имеет право на существование корень четной степени, если отрицательное число под знаком радикала возведено в четную степень. В общем виде это можно записать так:
В этой записи должно соблюдаться:
- t≥0;
- m и n – четные.
Например,
Однако не стоит путать эту запись с записью вида 
. Несмотря на внешнюю схожесть, порядок действий здесь иной. Сначала потребуется найти четный корень из отрицательного числа, что невозможно.
Действия с корнями
Корни, как и обычные числа, можно складывать, умножать, делить, возводить в степень – то есть, выполнять с ними все математические операции. Однако некоторые действия можно выполнять только с корнями с одинаковыми показателями.
Например, складывать и вычитать можно корни не только с равными степенями, но и с равными подкоренными выражениями. Например, 2√3+√3=3√3. А вот √45 сложить с √5 непосредственно нельзя, несмотря на то, что в обоих случаях основание корня – квадрат. Но можно произвести преобразования. Например, √45=√5*9. Далее будет показано, что корень произведения равен произведению корней, отсюда √5*9=√5*√9=3√5. Теперь можно выполнить сложение: 3√5+√5=4√5.
Чтобы научиться выполнять операции с корнями, надо изучить их свойства. Первое свойство, которое потребуется запомнить: 
равен:
- t, если i нечетное;
- |t|, если i четное.
Это правило называют взаимным погашением корня и степени. Привести к столь удобному виду выражения с радикалами помогут формулы:
, то есть, вместо того, чтобы возводить корень в степень, можно степень «спрятать» под знак корня (или наоборот, если есть необходимость — вынести степень за скобки);
– последовательное извлечение корней можно заменить однократной операцией, но степени при этом перемножаются;
– степени подкоренного выражения с корнями можно сокращать, разделив их на общий множитель, или наоборот — можно домножить и степень подкоренного выражения, и показатель корня на одинаковое число;
– частный случай предыдущего правила (от степени под корнем можно избавиться, если она равна одному из множителей степени корня).
Для приближенной оценки значений и решения неравенств пригодится свойство, гласящее что t≤s, если 
. Во всех приведенных примерах t>0, z>0, а i и k – натуральные числа.
Можно рассмотреть вариант возведения числа z в рациональную степень i/k. Равенство s=ti/k означает запись в виде дроби ti/tk, отсюда 
. Этим свойством также можно пользоваться для алгебраических преобразований.
Возможно возведение любого числа и в иррациональную степень. Эта тема выходит за рамки курса школьной алгебры и вводится в курсе математического анализа в виде сходящейся последовательности. Соответственно, нет запрета на существование корня иррациональной степени, но это понятие также не может быть рассмотрено в рамках школьного курса.
Умножение корней
Можно перемножать корни с различающимися основаниями и различающимися степенями. Для этого применяется формула 
. Следует обратить внимание, что под знаком радикала подкоренные числа возводятся в степень «чужого» корня, а это означает, что преобразование может привести к случаю отрицательного числа под квадратным корнем. Это недопустимо, поэтому накладывается условие, что t≥0 и s≥0. Если это невыполнимо, то проблема решается выносом знака «минус» из-под корня нечетной степени.
В качестве примера рассмотрим 
. Конечно, решить это громоздкое выражение можно было проще, извлекая почленно корни и перемножая их. Но этот пример легко проверить: 4*3=12.
Если степени равны (i=k), то выражение упрощается: 
. Эту запись можно применять для любого количества множителей.
Иными словами, произведение корней в этом случае равно корню из произведения подкоренных чисел.
Деление корней
Деление можно рассмотреть, как частный случай умножения. Запишем: 
. Здесь также подкоренное число или выражение умножается на «чужую» степень. Для примера подставим конкретные числа:
Если степени равные (k=i), получим:
. Иными словами, отношение корней одинаковой степени равно корню отношения.
Очевидно, что корни н степени непосредственно связаны и обладают схожими математическим свойствами, зачастую преобразуются через друг друга. Тема свойств корней n-й степени обычно не вызывает проблем при усвоении. Тем не менее, она должна быть хорошо изучена, а навыки решения задач на извлечение корней и на математические операции с ними должны быть хорошо отработаны. Для этого абсолютно необходимо потратить время на решение задач и примеров по теме.
